即α能由αzα，…,α线性表出例如，向量组α=（2,-1,3,1),α2=（4,-2,5,4）,α=(2,-1,4,-1)是线性相关的，因为α=3α-α2显然，向量组α1，α线性相关的充分必要条件是存在常数k，使得两向量的对应分量成比例在三维的情形，这就表示向量α与共线三个向量82线性想关的几何意义就是它们共面定理2设向量组β1，β2，,βB线性无关,而向量组β1,β2，，βα线性相关,则α能由向量组β1，β2，，β线性表出，且表示式是惟一的证由于β1,β2，,βt,α线性相关，就有不全为零的数k1,k2，",k,k使kβ+kzβ,+..*+k,β,+ka=0由β，β2，，β线性无关可以知道k0.因此k....-k,Bα=kkT即α可由β，β2，""，β线性表出.设α=lβi+l2β2+...+l.β=h.β.+h2β2+..+hβ为两个表示式.由αα= (l,β.+β2.+l.β)-(h.β,+h2β2+...+h,β.)=(li-hi)βi+（l2-h2）β2+.+（l-h)βr=0和βi，β2，*"，β线性无关可以得到li=hi,l2=h2,",l=ht因此表示式是惟一的.定义7如果向量组α1,α2，α中每个向量都可由β1，β2，"β线性表出，就称向量组α1，α2，α可由β1，β2，β线性表出，如果两个向量组互相可以线性表出，就称它们等价.显然，每一个向量组都可以由它自身线性表出.同时，如果向量组α1，α2，"，α可以由向量组β1,β2，β线性表出，向量组β1,β2，,β,可以由向量组.2,"，线性表出，那么向量组α1，α2，,α可以由向量组,2线性表出.事实上，如果α,=k,β,i=1,2,.,t,J=lB,=1mm.j=1,2,..,s,m=那么α,-mm-kmm-2kgmymLj=l_lilmm=l [ j=l 这就是说，向量组αi，α2，α中每一个向量都可以由向量组Y1,2，",，线性表出.因而，6
6 即 α１能由 α２,α3,.,αs 线性表出. 例如,向量组 α１＝（２,－１,３,１）,α２＝（４,－２,５,４）,α3＝（２,－１,４,－１） 是线性相关的,因为 α3＝３α１-α２. 显然,向量组 α１,α２线性相关的充分必要条件是存在常数 k,使得两向量的对应分量成 比例.在三维的情形,这就表示向量 α１与 α２共线.三个向量 α１,α２,α3线性相关的几何意义就 是它们共面. 定理 2 设向量组 β１,β２,.,βt 线性无关,而向量组 β１,β２,.,βt,α 线性相关,则 α 能 由向量组 β１,β２,.,βt 线性表出,且表示式是惟一的. 证 由于 β１,β２,.,βt,α 线性相关,就有不全为零的数 k１,k２,.,kt,k 使 k１β１+k２β２+.+ktβt+kα=0. 由 β１,β２,.,βt 线性无关可以知道 k≠0. 因此 1 2 1 2 t t k k k k k k = − − − − , 即 α 可由 β１,β２,.,βt 线性表出.设 α＝l１β１+l２β２+.＋ltβt＝h１β１+h２β２＋.＋htβt 为两个表示式.由 α－α＝（l１β１+β２+.＋ltβt)-(h１β１+h２β２＋.＋htβt) =（l１-h１）β１＋（l２-h２）β２＋.＋（lt-ht）βt＝0 和 β１,β２,.,βt 线性无关可以得到 l１=h１, l２=h２, ., lt=ht. 因此表示式是惟一的. 定义 7 如果向量组 α１,α２,.,αs 中每个向量都可由 β１,β２,.,βt 线性表出,就称向量 组 α１,α２,.,αs 可由 β１,β２,.,βt 线性表出,如果两个向量组互相可以线性表出,就称它们 等价. 显然,每一个向量组都可以由它自身线性表出.同时,如果向量组 α１,α２,.,αt 可以由向 量组 β１,β２,.,βs线性表出,向量组 β１,β２,.,βs可以由向量组 1 2 , , , p 线性表出,那么 向量组 α１,α２,.,αt 可以由向量组 1 2 , , , p 线性表出. 事实上,如果 1 , 1,2, , , s i ij j j k i t = = = 1 , 1,2, , , p j jm m m l j s = = = 那么 1 1 1 1 1 1 s s s p p p i ij jm m ij jm m ij jm m j m j m m j k l k l k l = = = = = = = = = . 这就是说,向量组 α１,α２,.,αt 中每一个向量都可以由向量组 1 2 , , , p 线性表出.因而
向量组αα2，""α可以由向量组2",线性表出由上述结论，得到向量组的等价具有下述性质：(1）反身性：向量组α1，α2，"，α与它自己等价(2）对称性：如果向量组α1,α2，",α与β1，β2"β等价，那么β,β2，"，β也与α1，α2，，α等价(3）传递性：如果向量组α1,α2，,α与β1，β2，"，β等价，而向量组β1,β2，"β又与2等价，那么α1,α2，",α与2等价83线性相关性的判别定理利用定义判断向量组的线性相关性往往比较复杂，我们有时可以直接利用向量组的特点来判断它的线性相关性，通常称一个向量组中的一部分向量组为原向量组的部分组定理3有一个部分组线性相关的向量组一定线性相关证设向量组α1，α2，,α有一个部分组线性相关.不妨设这个部分组为α1，α2，，αr(r≤s).则有不全为零的数ki,kz，,k使Zka,=2kα +0α,=0,i=lJer+i=l因此αi，α2，,α也线性相关推论含有零向量的向量组必线性相关定理4设pi,p2,",pn为1,2，,n的一个排列,α1,α2,,α和β1,β2,",β.为两向量组，其中[aip[adipdi2,β,α, =二....Lαimaip即β1β2，"，β.是对α1，α2，，α各分量的顺序进行重排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的线性相关性。证对任意的常数ki,k2,,k.注意到列向量[ka+k,a,+.+k,aska12+k,a22+.+k,as2Zk,a,=:[kain+ka2n+..+kasm和7
7 向量组 α１,α２,.,αs 可以由向量组 1 2 , , , p 线性表出. 由上述结论,得到向量组的等价具有下述性质： (1) 反身性：向量组 α１,α２,.,αs 与它自己等价. (2) 对称性：如果向量组 α１,α２,.,αs 与 β１,β２,.,βt 等价,那么 β１,β２,.,βt 也与 α １,α２,.,αs 等价. (3) 传递性：如果向量组 α１,α２,.,αs 与 β１,β２,.,βt 等价,而向量组 β１,β２,.,βt又 与 1 2 , , , p 等价,那么 α１,α２,.,αs 与 1 2 , , , p 等价. § 3 线性相关性的判别定理 利用定义判断向量组的线性相关性往往比较复杂,我们有时可以直接利用向量组的特点 来判断它的线性相关性,通常称一个向量组中的一部分向量组为原向量组的部分组. 定理 3 有一个部分组线性相关的向量组一定线性相关. 证 设向量组 α１,α２,.,αs 有一个部分组线性相关.不妨设这个部分组为 α１,α２,.,αr (r s ).则有不全为零的数 k１,k２,.,kr 使 1 1 1 0 , s r s i i i i j i i j r k k = = = + = + = 0 因此 α１,α２,.,αs 也线性相关. 推论 含有零向量的向量组必线性相关. 定理 4 设 p1,p2,.,pn 为 1, 2, .,n 的一个排列,α１,α２,.,αs 和 β１,β２,.,βs为两 向量组,其中 1 2 1 2 n ip i i ip i i in ip = = , 即 β１,β２,.,βs是对 α１,α２,.,αs 各分量的顺序进行重排后得到的向量组,则这两个向量组 有相同的线性相关性. 证 对任意的常数 k１,k２,.,ks注意到列向量 1 11 2 21 1 1 12 2 22 2 1 1 1 2 2 s s s s s i i i n n s sn k k k k k k k k k k = + + + + + + = + + + 和