就是说,计算定积分时可以使用换元法.换元 时只要同时改变积分的上、下限,就不必再返回到 原来的变量,直接往下计算并运用牛顿莱布尼 兹公式便可得到定积分的结果
就是说，计算定积分时可以使用换元法 . 换元 时只要同时改变积分的上、下限，就不必再返回到 原来的变量，直接往下计算并运用牛顿——莱布尼 兹公式便可得到定积分的结果
定积分的换元法 定理设()f(x)∈C([ab]) (2)x=0(1)∈C([a,])且单调 (3)q(a)=a,(B)=b, 则 (x)dx f(o(t)o' (tdt
一、定积分的换元法 定理 设 (1) f (x)C([a, b]); (2) x =(t)C 1 ([, ]) 且单调； (3) () = a， ( ) = b， ( )d ( ( )) ( )d . = f x x f t t t b a 则
证由条件(2)和(可知:当a≤1≤B时,有a≤()≤b 因为f(x)∈C([a,b]),所以,f(x)在[a,b]上有原函数存在 不妨设F(x)为f(x)在[a,b]上的一个原函数 由复合函数的求导法则及条件②2,得 (F((t))'=F'(q(t)'(t)=f(q(t)(t)t∈[,], 即F(q(t)为f(q(t)y(t)的一个原函数 由牛顿一莱布尼兹公式,得 o()o(dt=F(p()&=F((B)-F(o(a) F(b)-F(a)=f(x)dx 证
证 由条件(2)和（3）可知：当 t 时，有 a (t) b . 因为 f (x)C([a, b])，所以，f (x) 在[a, b]上有原函数存在. 不妨设 F(x)为 f (x) 在[a, b]上的一个原函数. 由复合函数的求导法则及条件（2），得 (F((t))) = F((t))(t) = f ((t))(t) t [, ], 即 F((t))为 f ((t))(t)的一个原函数. 由牛顿—莱布尼兹公式，得 (( )) ( )d (( )) (( )) (()) f t t t = F t = F − F = F(b) − F(a) ( )d . = b a f x x 证毕
2计算 d x x√1-x 解令 ,则dx d t 且x 时,t:2 故 y d d t In(t+vt2-1lls =In(2+ 3)-In3
例 2解 . 1d 5321 2 x − x x 计算 d d 1 令 ，则 2 ，t t x t x = = − 35 : 2 53 21 且 x : → 时，t → ，故 − − = − 352 2 5321 2 1 d 1d t t x x x − = 235 2 1 dt t 235 2 = ln | t + t −1| = ln(2 + 3) − ln3
例 计算「a2-x2dx.x=asmt在[0,n]上单调、连续可导 0 解令x= asin t,则dx= a cost d z 且x:0→a时,t:0→,故 xdx= 2 a cos tdt (1+cos 2t )dt sin2t、z (t+ 丌C
例 3解 d . 0 2 2 − a 计算 a x x 令 x = asin t，则 d x = acost dt， 2 且 : 0 时， : 0 ，故 x → a t → ] . 2 sin 在[ 0, 上单调、连续可导 x = a t − = 20 2 2 0 2 2 d cos d a x x a t t a (1 cos 2 )d 2 20 2 = + t t a 20 2 ) 2 sin 2 ( 2 t t a = +. 4 2 a =