高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(-) 元微积分学 第三十四讲常微分方程 脚本编写:刘楚中 教案制作:刘楚中
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第三十四讲 常微分方程 脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
第七章常微分方程 本章学习要求 了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. ■了解下列几种一阶微分方程:变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利( Bernoulli)方程和全微分 方程熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. ■会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. ■知道下列高阶方程的降阶法 "=f(x,y),y=f(,y), y=f(x) 了解高阶线性微分方程阶的结构,并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法 ■熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. 掌握自由项(右端)为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法
第七章 常微分方程 本章学习要求： ◼了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. ◼了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. ◼会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. ◼知道下列高阶方程的降阶法： ( ). ( ) y f x n y = f (x, y ), y = f ( y, y ), = ◼了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法. ◼熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. ◼掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法
第三节几种可降阶的高阶常微分方程 二阶和二阶以上的微分方程,称为高阶微分方程。 通过变量代换将高阶方程转化为较低阶的微 分方程进行求解的方法,称为“降阶法”。 降阶法”是解高阶方程常用的方法之
第三节 几种可降阶的高阶常微分方程 二阶和二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程。 通过变量代换将高阶方程转化为较低阶的微 分方程进行求解的方法，称为“降阶法”。 “降阶法”是解高阶方程常用的方法之一
1 f(x)型 令l=ym,则原方程化为 d u f(x) 这是变量可分离的方程,两边积分,得 (x)dx+C1=(x)+C1 y=(x)+C1。仍是y0=f(x)型 只需连续进行n次积分即可求解这类方程,但请注意: 每次积分都应该出现一个积分常数
1. y (n) = f (x)型 令 u = y (n−1)，则原方程化为( ) d d f x 。 x u = 这是变量可分离的方程，两边积分，得 ( )d ( ) , 1 C1 u = f x x +C = x + 即 ( ) 1 y (n−1) = x +C 。 ( ) 仍是 y (n) = f x 型 只需连续进行 n 次积分即可求解这类方程，但请注意： 每次积分都应该出现一个积分常数
例求方程y=lhx的通解。 解对方程两边关于x连续积分3次,得到所求的通解 ndx=xinx-x+Ci y=(Inx-x+Ci)dx nx +Cx+C2 24 Inx 3 +Cx+, dx 24 = - nx x32+1x2+C、x+C 36
例解 求方程 y = ln x 的通解。 ln d ln y = x x = x x − x + C1， y = (x ln x − x +C )d x 1 43 2 ln 1 2 2 C x C ， x x + + = − C x C x x y x d 43 2 ln 1 2 2 + + = − 36 2 11 ln 61 2 3 3 3 1 x2 C x C 。 C = x x − x + + + 对方程两边关于x 连续积分3次，得到所求的通解：