第七章 多元函数微分学 我们前面讨论的函数只含有一个自变量，这种函 数称为一元函数但在许多实际问题中，常常会遇到依 赖于多个自变量的函数，即多元函数.例如，某种商品的 市场需求量不仅与其市场价格有关，而且与消费者的 收入等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一 个 本章将讨论多元函数微分学及其应用
第七章 多元函数微分学 我们前面讨论的函数只含有一个自变量,这种函 数称为一元函数.但在许多实际问题中,常常会遇到依 赖于多个自变量的函数,即多元函数.例如,某种商品的 市场需求量不仅与其市场价格有关,而且与消费者的 收入等因素有关,即决定该商品需求量的因素不止一 个. 本章将讨论多元函数微分学及其应用
§7.1多元函数的基本概念 一、平面点集 在平面直角坐标系中，建立了坐标平面上点与一 对有序数(x,y)的一一对应的关系。 坐标平面上满足某种条件P的点的集合，称为平 面点集，记作：E={(x,)水(x,y)满足条件P 例1全平面上的点集： R2={(x,y)-0<x<+o,-0<y<+∞} ()
一、平面点集 在平面直角坐标系中，建立了坐标平面上点与一 对有序数 ( , ) x y 的一一对应的关系。 坐标平面上满足某种条件 的点的集合，称为平 面点集，记作： P E x y x y P = ( , ) ( , )满足条件 例1 全平面上的点集 ： 2 R x y x y = − + − + ( , ) , (1) §7.1 多元函数的基本概念
例2以原点为中心，r为半径的圆 的内部的所C={x,x+y<(②- 有点的集合： 特别地，平面点集： {(x,y)x-x)2+(y-)2<82} 称为以P(x)为中心的6， 邻域记为U(P,6)。 {x,y)l0<(x-x)2+(y-%)2<82} 称为空心邻域，记为U°(P;δ)
特别地，平面点集: 2 2 2 0 0 ( , ) ( ) ( ) x y x x y y − + − 称为以 P x y 0 0 0 ( , ) 为中心的 ， x y o P0 2 2 2 0 0 ( , ) 0 ( ) ( ) x y x x y y − + − 称为空心邻域， x y o P0 例2 以原点为中心，r 为半径的圆 的内部的所 有点的集合： 2 2 C x y x y r = + ( , ) (2) y o x r 0 邻域记为 U P( ; ) 。 0 0 记为 U P( ; )
任意一点P∈R2与任意一个点集E∈R2之间必存在下列 三种关系之一： (1)内点一若存在点P的某邻 域U(P),使得U(P)cE,则称 P为E的内点，E的全体内点构成 的集合称为E的内部，记作intE (2)外点一若存在点P的某邻域U(P),使得U(P)∩E=O 则称P是E的外点。 (3)界点一若存在点P的任何邻域内既含有属于E的点， 又含有不属于E的点，则称P为E的界点。即对任何正数δ， 有 U(P,6)∩E≠☑且U(P,6)∩ǒE≠☑
任意一点 与任意一个点集 之间必存在下列 三种关系之一： 2 P R 2 E R y o x （ E 1）内点—若存在点 的某邻 域 ，使得 ，则称 为 的内点， 的全体内点构成 的集合称为 的内部，记作 P U P( ) U P E ( ) P E E E int E • P （2）外点—若存在点 的某邻域 ,使得 则称 是 的外点。 U P( ) U P E ( ) = P E P • P • P （3）界点—若存在点 的任何邻域内既含有属于 的点， 又含有不属于 的点，则称 为 的界点。即对任何正数 ， 有 U P E U P E ( ; ) ( ; ) 且 ð P P E E E
说明：E的边界点可能属于E,也可能不属于E。 以下按在点P的近旁是否密集着E中的无穷多个点而构 成另一类关系 (1)聚点一若在点P的任何空心邻域内都含有E中的 点，则称P是E的聚点。聚点可能属于E,也可能不属于E (2)孤立点一若点P属于E,但不是E的聚点，即存在 某一个正数δ使得U°(P,6)∩E=⑦，则称P为E的孤立 点。 例3讨论平面点集 D={x,yl≤x2+y2<4}
说明： E 的边界点可能属于 E ，也可能不属于 E 。 以下按在点 的近旁是否密集着 中的无穷多个点而构 成另一类关系： P E （1）聚点—若在点 的任何空心邻域内都含有 中的 点，则称 是 的聚点。聚点可能属于 ，也可能不属于 P E P E E E （2）孤立点—若点 属于 ，但不是 的聚点，即存在 某一个正数 ，使得 ，则称 为 的孤立 点。 P E E ( ; ) o U P E = P E 例3 讨论平面点集 2 2 D x y x y = + ( , ) 4 1 x y o D