§6.5曲面及其方程二次曲面 一、曲面方程的概念 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹. 曲面方程的定义： 如果曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有下述关系： (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程； (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F(x,y,z)=0就叫做曲面S的方程， 而曲面S就叫做方程的图形
§6.5 曲面及其方程 二次曲面 一、曲面方程的概念 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义： 如果曲面S 与三元方程F(x, y,z) = 0有下述关系： （1）曲面S上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程 F( x, y,z) = 0 就叫做曲面 S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形．
↑z F(x,y,2)=0 S
S x y z o F x y z ( , , ) 0 =
1.球面 建立球心在点M(xo,yo,) 半径为R的球面方程。 解讠 设M(x,y,z)是球面上任一点， y 根据题意有|MM,=R (x-x}+(Gy-}+a-z}=R 所求方程为(x-K)2+(y-)2+(a-z》=R2 特殊地：球心在原点时方程为2+y2+z2=R2
M0 M R x o z y 1. 球面 建立球心在点 ( , , ) M0 x0 y0 z0 半径为R 的球面方程。 解 设M(x, y,z)是球面上任一点， 根据题意有 | MM0 |= R (x − x ) + ( y − y ) + (z − z ) = R 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 所求方程为 x − x0 + y − y + z − z = R 特殊地：球心在原点时方程为 2 2 2 2 x + y + z = R
例1方程x2+y2+z2-2x+4y=0 表示怎样的曲面？ 例2已知A(1,2,3),B(2,-1,4),求线段AB的 垂直平分面的方程· 解 设M(x,y,z)是所求平面上任一点， 根据题意有|MA=MB, V(x-1+(0y-2}+(a-3 =V(x-22+(y+12+(a-4)2, 化简得所求方程2x-6y+2z-7=0
例1 方程 2 4 0 2 2 2 x + y + z − x + y = 表示怎样的曲面？ 设M(x, y,z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA|=| MB |, ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x −1 + y − 2 + z − 3 ( 2) ( 1) ( 4) , 2 2 2 = x − + y + + z − 化简得所求方程 2x − 6y + 2z − 7 = 0. 解 例 2 已知 A(1,2,3)，B(2,−1,4) ，求线段 AB的 垂直平分面的方程
2.旋转曲面 一条平面曲线绕其所在平面上的一条定直线旋转一 周所生成的曲面叫做旋转曲面，定直线叫做旋转曲面 的轴。取定直线为z轴，平面曲线C在yOz平面上，则 C的方程为； f(y,z)=0 x=0 将曲线C绕z轴旋转一周，就得到了一个以z轴为轴 的旋转曲面，以下建立其方程
2. 旋转曲面 一条平面曲线绕其所在平面上的一条定直线旋转一 周所生成的曲面叫做旋转曲面，定直线叫做旋转曲面 的轴。取定直线为z轴，平面曲线C在 平面上，则 C的方程为; yOz ( , ) 0 0 f y z x = = 将曲线C绕z轴旋转一周，就得到了一个以z轴为轴 的旋转曲面，以下建立其方程