*形式记号的运算性质：设α,αz,",α,,β2",β,V，A=(a),B=(b,）是数域P上的n阶矩阵，则1)((α1, α2,*, αn)A)B=(α1, α2, **, α,)AB ;2)(α, α2,"", α,)A+(αi, α2,"", αn)B=(α, α2, ", α,)(A+B) ;3)(α,α2,*, α,)A+(β, β,", β,)A=(α, +β,α, +β2,*",α, +β,)A证明：略
* 形式记号的运算性质： 设 1 2 n 1 2 n , , , , , , , V ，A (a ), B (b ) ij ij = = 是数域 P 上的 n 阶矩阵， 则 1) 1 2 n 1 2 n (( , , , )A)B ( , , , )AB = ； 2) 1 2 n 1 2 n 1 2 n ( , , , )A ( , , , )B ( , , , )(A B) + = + ； 3) 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n ( , , , )A ( , , , )A ( , , , )A + = + + + . 证明： 略
一基变换公式命题1设minV=n,,&,,&; ,2,,, 是V 的基n 上的可逆矩阵 A=(,), 3(,2,",)=(,2,,&)A线性表示证明：（,,,是V的基→ (g,&2,.,c (i -1,2,...,n)→ 3a, eF,i,j=l,2,,n, 3 =ag +ae2+..+aneE, =a2G +a22 +.-+an6(1）（基变换公式）E, =anG +a2n2 +...+amen，用矩阵形式表达此关系：★
一 基变换公式
aa,a12na21a22a2n(cl,&2,",3))=(c,62,".,c,)A,其中A:anan2am现证明A是可逆矩阵线性表示因,2,,是基 → 8, <8.,...,8(i=1,2,...,n)，即3b,eF,i, j=l,2,..",n,33hb2)b22b.21(81,82,",,) =(81,82,...,6,)B,其中B-bnbbnnn(8),82,-,8n)=(81,82,**,8))B=((81, 82,.--, 8n)A)B =(81, 82,**-, 8)AB又(81,82,,8)=(81,82,,8,)I，据表示的唯一性得 AB=IA可逆，且A-1=B
/ / / 1 2 n 1 2 n ( , , , ) ( , , , )A = ，其中 11 12 1 21 22 2 1 2 A n n n n nn a a a a a a a a a =