(7)|z|>2,且x-21<2: (8)1mz>1,且|zl<2; (9)y<lmz≤y2； 20.证明：复平面上的直线方程可以写成 a区十a=c(a≠0，a为复常数，c为实常数). 21.求下列方程(t为实参数)所给出的曲线： (1)x=(1+i)t(-∞<t<+∞)； (2)x=acost+ibsint(0≤t≤2π，a>0,b>0)； (3)=+(≠0)： (4④)=+京(>0. 22.试写出方程x2十2x十y2=1的复数形式 98 22
"2#%$%-$%且%$&$%)$$ "8#*+$-!%且%$%)$$ "=##!)*+$'#$$ "!,# $&! $'! -!! $," 证明!复平面上的直线方程可以写成 &$$'&$$%."&#,%&为复常数%.为实常数#! $!" 求下列方程"@为实参数#所给出的曲线! "!#$%"!'##@"&B)@)'B#$ "$#$%+9:;@'#,;#<@",'@'$!%+-,%,-,#$ "-#$%@'# @ "@#,#$ ".#$%@$'# @$ "@-,#! $$" 试写出方程"$'$"'#$%!的复数形式! $$
第2章复变数函数 本章先引入复变数函数、极限、连续和导数的概念，然后讨论 复变函数论的主要研究对象一 一解析函数，这类函数在理论和实 际问题中都有着广泛的应用，接着介绍一些常用的复初等函数及 它们的基本性质 2.1复变数函数 定义1设E是复平面上的一个点集，若对于E中的每一点 ,按一定规律有一个复数与之对应，则称在E上定义了一个复 单值函数，记作=f(z)(z∈E);如果对于自变量之的一个值，按 规律与之对应的心不止一个，则称=f()是多值函数。 例如，w=1,w=2,f()=(:≠0)都是单值函数：而 w=5(n为自然数，n≥2)，w=Arg之(：≠0)都是多值函数.在以 下的讨论中，如不作特殊声明，所谈到的函数都是单值函数. 设x=x十iy,=u十iw,则一个复函数w=f(z)相当于两个以 x,y为自变量的实二元函数： u=u(z,y),v=v(z,y). 例如函数0=22，令z=x十iy,w=u十iw,则由 +iw=(x+iy)2=(x2-y2)+i2xy, 有 u=x2-y2,0=2y. 为了赋予复变数函数w=f(之)以几何意义，我们取两张复数 平面：之平面和平面.对于之平面上点集E中的每个点x,我们在 平面上描出相应的点w(即f(e).当：在x平面上跑遍E时，w 就相应地跑遍w平面上的一个点集E'(图2.1).这样一来，函数 23
第$章 复变数函数 本章先引入复变数函数,极限,连续和导数的概念!然后讨论 复变函数论的主要研究对象///解析函数!这类函数在理论和实 际问题中都有着广泛的应用!接着介绍一些常用的复初等函数及 它们的基本性质! $"! 复变数函数 定义! 设>是复平面上的一个点集!若对于> 中的每一点 $!按一定规律有一个复数0 与之对应!则称在> 上定义了一个复 单值函数!记作0%B"$#"$">#&如果对于自变量$的一个值!按 规律与之对应的0 不止一个!则称0%B"$#是多值函数! 例如!0%%$%!0%$$!B"$#%! $ "$#,#都是单值函数&而 0%) 槡$ ")为自然数!)2$#!0%564$ "$#,#都是多值函数!在以 下的讨论中!如不作特殊声明!所谈到的函数都是单值函数! 设$%"'##!0%C'#D!则一个复函数0%B"$#相当于两个以 "!#为自变量的实二元函数' C&C""!##! D&D""!##! !!例如函数0%$$!令$%"'##!0%C'#D!则由 C'#D& ""'###$ & ""$ (#$#'#$"#! 有 C&"$ (#$! D&$"#! !!为了赋予复变数函数0%B"$#以几何意义!我们取两张复数 平面'$平面和0 平面!对于$平面上点集> 中的每个点$!我们在 0 平面上描出相应的点0"即B"$##!当$在$平面上跑遍> 时!0 就相应地跑遍0 平面上的一个点集>E"图$"!#!这样一来!函数0 -$
=f()就可以看成是一个变换（或映照），它把：平面上的一个点 集E变换成平面上的一个点集E',E常记作f(E).在映照= f(x)下，6=f(o)及E=f(E)分别称为点o及点集E的像，而 点及点集E则分别称为o及E的原像. ↑y w=f代z) -1 图21 对于单值函数w=f(),每个点之只能对应一个像点心，但是 一个像点的原像却可能不止一个.例如函数=2，点=士1的像 点都是w=1,即点w=1有两个原像x=1和之=一1. 定义2设u=f()是集合E上的单值函数，如果对于E中 的任意两个不同点1及2，它们在（函数值）集合E中对应的点 =f(1)及=f(2)也不同，则称=f()是集E中的一个 一映照（或双方单值映照）.或者说，=f(?)双方单值地把集E映 成集E'. 上述概念（即把一个复变函数看成一个变换）虽然非常简单， 可是在复变函数理论的发展中却起着重要作用.下面举几个具体 例子来说明这些概念 例1考虑函数w=a:,其中，a是不为零的复常数.显然，这 是一个把整个之平面映为整个心平面的一一映照.依我们对∞所 规定的运算，它把：平面上的无穷远，点映为平面上的无穷远点， 因此它把闭之平面双方单值地映为闭平面， 令 a=r(cos0+isin0), 24
%B"$#就可以看成是一个变换"或映照#!它把$平面上的一个点 集> 变换成0 平面上的一个点集>E!>E常记作B">#!在映照0% B"$#下!0,%B"$,#及>E%B">#分别称为点$, 及点集> 的像!而 点$, 及点集>则分别称为0, 及>E的原像! 图$'! 对于单值函数0%B"$#!每个点$只能对应一个像点0!但是 一个像点的原像却可能不止一个!例如函数0%$$!点$%/!的像 点都是0%!!即点0%!有两个原像$%!和$%&!! 定义$ 设0%B"$#是集合> 上的单值函数!如果对于> 中 的任意两个不同点$! 及$$!它们在"函数值#集合>E中对应的点 0!%B"$!#及0$%B"$$#也不同!则称0%B"$#是集>中的一个一 一映照"或双方单值映照#!或者说!0%B"$#双方单值地把集> 映 成集>E! 上述概念"即把一个复变函数看成一个变换#虽然非常简单! 可是在复变函数理论的发展中却起着重要作用!下面举几个具体 例子来说明这些概念! 例! 考虑函数0%+$!其中!+是不为零的复常数!显然!这 是一个把整个$平面映为整个0 平面的一一映照!依我们对B所 规定的运算!它把$平面上的无穷远点映为0 平面上的无穷远点! 因此它把闭$平面双方单值地映为闭0 平面! 令 +&1"9:;"'#;#<"#! .$
则函数=a之是由下面两个函数复合而成的： @=(cos0+ising)z, 0=w. 如果把，w,w都看作是同一个平面 个y 上的点，由于w与x的模相同，而ω w 的辐角等于≈的辐角加0，因此上面 的第一个映照是之平面上的一个旋 转.由于心与ω有相同的辐角，心的 模是ω的模的r倍，因此第二个映照 是一个以原点为中心的相似变换（图 0 2.2).综上所述，映照心=az是由 个旋转映照和一个相似映照复合而 图2.2 得的. 例2求下列点集在映照=：2下的像 1)平行于坐标轴的直线； 2)双曲线族x2-y2=c1及2xy=c2; 3)半圆环域：1<z<2,0<arg<元 解1)先求直线x=c1的像.令=x十iy,=u十iw,则 u=x2-y2,v=2ry. 将x=(1代入上面两式，得 u=c12-y2,v=2c1y 从这两个方程中消去y,得（当c1≠0时） u=62-47 这是心平面上一族开口朝左的抛物线.此外，易见之平面上的虚轴 x=0被变换成 u=-y2,v=0, 这是w平面上的负实轴（包括原点）.同样道理，它把y=c变换成 u=x2-c2,v=2c, 消去x,得 a-若-心《≠0. 25
则函数0%+$是由下面两个函数复合而成的' )& "9:;"'#;#<"#$! 0 &1)! 图$'$ 如果把$!)!0 都看作是同一个平面 上的点!由于)与$ 的模相同!而) 的辐角等于$ 的辐角加"!因此上面 的第一个映照是$平面上的一个旋 转!由于0 与) 有相同的辐角!0 的 模是) 的模的1倍!因此第二个映照 是一个以原点为中心的相似变换"图 $"$#!综上所述!映照0%+$是由一 个旋转映照和一个相似映照复合而 得的! 例$ 求下列点集在映照0%$$ 下的像' !#平行于坐标轴的直线& $#双曲线族"$&#$%.! 及$"#%.$& -#半圆环域'!)%$%)$!,)764$)!! 解 !#先求直线"%.! 的像!令$%"'##!0%C'#D!则 C&"$ (#$! D&$"#! 将"%.! 代入上面两式!得 C&.! $ (#$! D&$.!#! 从这两个方程中消去#!得"当.!#,时# C&.! $ ( D$ .! $! 这是0 平面上一族开口朝左的抛物线!此外!易见$平面上的虚轴 "%,被变换成 C&(#$! D&,! 这是0 平面上的负实轴"包括原点#!同样道理!它把#%.变换成 C&"$ (.$! D&$."! 消去"!得 C& D$ .$ (.$ ".#,#! 0$
这是心平面上一族开口朝右的抛物线，而实轴y=0则被变换成心 平面上的正实轴（包括原点）. 2)因为u=x2-y2,所以双曲线x2-y2=c1的像曲线上的点 (u,)满足方程 u=G1. 又点(x,y)在双曲线上变化时，v=2xy可取全体实数，故x2一y =c1在映照w=2下的像是w平面上的直线u=c1. 同理，双曲线2xy=c2在映照w=2下的像是直线v=c2. 3)令x=re0,则w=22=r2e20.由题设 1<r<2,0<0<π， 年 1<2<4,0<20=argw<2元 所以，要求的像区域是平面上沿u轴（实轴）上线段[1,4幻剪开了 的圆环：1l<|u<4,0<arg2元 2.2函数的极限和连续性 定义1设函数w=f(:)在点o的某个去心邻域0<|z一o| <ρ内有定义，而且实极限 lim I f(z)-wo I=0, 就称当之趋于xo时f()的极限值为0，记作 limf(z)=wo 这个定义用“e8”的语言来说就是：对任意ε>0，存在6>0，使 得当0<|z-o|<6(p)时，有|f(z)一|<e 这个定义在几何上意味着：当变点进人的一个充分小的8 邻域时，它们的像点就落入o的一个给定的ε邻域（图2.3）. 有了极限的概念，就可以定义函数的连续性， 定义2如果等式 limf(2)=f(zo) 成立，就称函数f(2)在点连续.如果f(:)在区域D中的每点都 26
这是0 平面上一族开口朝右的抛物线!而实轴#%,则被变换成0 平面上的正实轴"包括原点#! $#因为C%"$&#$!所以双曲线"$&#$%.! 的像曲线上的点 "C!D#满足方程 C&.!! 又点""!##在双曲线上变化时!D%$"#可取全体实数!故"$&#$ %.!在映照0%$$ 下的像是0 平面上的直线C%.!! 同理!双曲线$"#%.$ 在映照0%$$ 下的像是直线D%.$! -#令$%1)#"!则0%$$%1$ )#$"!由题设 !)1)$! ,)")!! 故 !)1$ ).! ,)$"&7640 )$!! 所以!要求的像区域是0 平面上沿C轴"实轴#上线段-!!.剪开了 的圆环'!)%0%).!,)7640)$!! $"$ 函数的极限和连续性 定义! 设函数0%B"$#在点$, 的某个去心邻域,)%$&$,% )#内有定义!而且实极限 A#+$/$, %B"$#(0,%&,! 就称当$趋于$, 时B"$#的极限值为0,!记作 A#+$/$, B"$#&0,! !!这个定义用*%9(+的语言来说就是'对任意%-,!存在(-,!使 得当,)%$&$,%)("('##时!有%B"$#&0,%)%! 这个定义在几何上意味着'当变点进入$, 的一个充分小的( 邻域时!它们的像点就落入0, 的一个给定的%邻域"图$"-#! 有了极限的概念!就可以定义函数的连续性! 定义$ 如果等式 A#+$/$, B"$#&B"$,# 成立!就称函数B"$#在点$, 连续!如果B"$#在区域? 中的每点都 1$