目录 符号表 2 第一章事件的概率 1 第二章随机变量及其分布 第三章随机变量的数字特征 第四章参数估计 23 第五章假设检验
目录 符号表 2 第一章 事件的概率 1 第二章 随机变量及其分布 7 第三章 随机变量的数字特征 16 第四章 参数估计 23 第五章 假设检验 29 1
符号表 IA(z) 集合A的示性函数，IA()=1,当x∈A:1A()=0,当xA B(n.p) 二项分布，0<p<1 P(A) 参数为入的泊松分布 U(a,b) 区间(a,)(-0<a<b<∞)上的均匀分布，概率密度函数 f()=(a<<b) N(4,a2) 均值为山，方差为g2的正态分布 Exp(X) 指数分布，均值为1/入.概率密度函数为 f(r)=Ae-AzI(0<z<oo)
符号表 IA(x) 集合 A 的示性函数, IA(x) = 1,当 x ∈ A; IA(x) = 0,当 x /∈ A B(n, p) 二项分布, 0 < p < 1 P(λ) 参数为 λ 的泊松分布 U(a, b) 区间 (a, b) (−∞ < a < b < ∞) 上的均匀分布, 概率密度函数 f(x) = 1 (b−a) I(a < x < b) N(µ, σ2 ) 均值为 µ, 方差为 σ 2 的正态分布 Exp(λ) 指数分布, 均值为 1/λ. 概率密度函数为 f(x) = λe−λxI(0 < x < ∞)
第一章 事件的概率 1.写出下列随机试验的样本空间： ()随机抽查10户居民，记录家中有计算机的户数 (2)统计某本书中印刷错误的字数 (3)同时掷n枚硬币，观察国微向上的个数 (④)以原点为圆心的单位圆内随机抽取一点。 2.设有A,B,C三个事件，试用集合运算表示下列事件. (1)只有B发生.（②）A,B发生，但C不发生. (③)至少一个事件发生 (④至少两个事件发生 (⑤)仅有两个事件发生. (6)至多一个事件发生】 (T)至多两个事件发生 3.设X为随机变量，其样本空间0,2，记事件A={1/2<x≤1，B={1/4<x≤ 3/2头，写出下列各事件 (1)AB (2)AUB (3)AB (4)B. 4.证明：若A.B为两事件，则 (I)A+B=A+(B-A),右边两事件互斥 (②)A+B=(A-B)+(B-A)+AB,右边三事件互斥. 5.试把任意n个事件A1,.,An之和表示为n个互斥事件之和， 6.根据英国某地区居民调查的材料知：父子都是黑眼晴(AB)的人数占调查人数的比例 为5%.父亲是黑眼睛但儿子为浅色眼睛(AB)的比例为79%，父亲是浅色眼睛而儿 子为黑眼睛(AB)的比例为8.9%，父子都是浅色眼睛(AB)的比例为79.2%.试问这 一调查材料是否有误？ 7.一种彩票游戏规则如下：每张彩票可以从1·33中不重复的任选7个数字，开奖时由 摇奖机在1-33中开出7个基本号和1个特别号（均不重复）.彩票号码如果与基本 1
第一章 事件的概率 1. 写出下列随机试验的样本空间: (1) 随机抽查 10 户居民, 记录家中有计算机的户数. (2) 统计某本书中印刷错误的字数. (3) 同时掷 n 枚硬币, 观察国徽向上的个数. (4) 以原点为圆心的单位圆内随机抽取一点. 2. 设有 A, B, C 三个事件, 试用集合运算表示下列事件. (1) 只有 B 发生. (2) A, B 发生, 但 C 不发生. (3) 至少一个事件发生. (4) 至少两个事件发生. (5) 仅有两个事件发生. (6) 至多一个事件发生. (7) 至多两个事件发生. 3. 设 X 为随机变量, 其样本空间 [0, 2], 记事件 A = {1/2 < x ≤ 1}, B = {1/4 < x ≤ 3/2}, 写出下列各事件 (1) AB (2) A ∪ B (3) AB (4) A B. 4. 证明: 若 A, B 为两事件, 则 (1) A + B = A + (B − A), 右边两事件互斥. (2) A + B = (A − B) + (B − A) + AB, 右边三事件互斥. 5. 试把任意 n 个事件 A1, · · · , An 之和表示为 n 个互斥事件之和. 6. 根据英国某地区居民调查的材料知: 父子都是黑眼睛 (AB) 的人数占调查人数的比例 为 5%, 父亲是黑眼睛但儿子为浅色眼睛 (AB¯) 的比例为 7.9%, 父亲是浅色眼睛而儿 子为黑眼睛 (AB¯ ) 的比例为 8.9%, 父子都是浅色眼睛 (A¯B¯) 的比例为 79.2%. 试问这 一调查材料是否有误? 7. 一种彩票游戏规则如下: 每张彩票可以从 1 - 33 中不重复的任选 7 个数字, 开奖时由 摇奖机在 1 - 33 中开出 7 个基本号和 1 个特别号 (均不重复). 彩票号码如果与基本 1
号全部对上（不计次序），为一等奖；对上6个基本号和特别号，为二等奖；对上6个基 本号，为三等奖：对上5个基木号和特别号，为四等奖.试分别求一、二、三、四等奖 的获奖概率. 8.考虑上题彩票游戏的一个变种：开奖方式不变，每张彩票只填两个不重复的号码，如 果这两个号码出现在基木号中即为中奖.问此时中奖的概率是多少？如果每张彩票可 以填三个不同的号码，中奖的概率又是多少？ 9.一间宿舍内住有6位同学，其中至少有2个人生日在同一个月份的概率。 10.现投掷三枚均匀骰子，试求恰好有两枚出现相同点数的概率 11.盒子中放有10个分别标有号码1,2，·，10的小球，从中随机抽取3个球.试对有放 回和无放回两种抽取方式分别求 ()三个球的号码都不大于7的概率」 (②)球上的最大号码为7的概率 12.·设有n个人随机地坐到礼堂第一排的N个座位上，试求下列事件的概率 (①)任何人都没有邻座. (②)每人恰有一个邻座 (③)关于中央对称的两个座位至少有一个空着。 13.考虑一元二次方程x2+Bx+C=0,其中B,C分别是将一枚均匀骰子连掷两次先后 出现的点数.求该方程有实根的概*和有重根的概*. 14.·抛掷一枚均匀硬币2+1次，试求正面出现的次数多于反面的概率。 15.甲投掷n+1枚均匀硬币，乙投掷n枚均匀硬币.试求甲的正面比乙的正面多这一事 件的概率。 16.*设两个赌徒的赌技相同，每赌一局都可分出胜负.现在两人各出500元赌资，事先约 定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本但赌博在中途被打断了，此时第一个赌徒还 需赢得局才能获胜，第二个赌徒还需意得刀局才能获胜，问此时应如何划分赌本才 比较合理. 17.父亲为了鼓励儿子打网球，宜称如果儿子能够赢得与父亲和教练的三场比赛中的连续 两场，就可获得一笔奖金.儿子可以选择比赛的顺序为：父亲一教练-父亲，或者教 练-父亲-教练.已知教练比父亲打得好.为了增加获得奖金的机会，儿子应该选择 哪个顺序？
号全部对上 (不计次序), 为一等奖; 对上 6 个基本号和特别号, 为二等奖; 对上 6 个基 本号, 为三等奖; 对上 5 个基本号和特别号, 为四等奖. 试分别求一、二、三、四等奖 的获奖概率. 8. 考虑上题彩票游戏的一个变种: 开奖方式不变, 每张彩票只填两个不重复的号码, 如 果这两个号码出现在基本号中即为中奖. 问此时中奖的概率是多少? 如果每张彩票可 以填三个不同的号码, 中奖的概率又是多少? 9. 一间宿舍内住有 6 位同学, 其中至少有 2 个人生日在同一个月份的概率. 10. 现投掷三枚均匀骰子, 试求恰好有两枚出现相同点数的概率. 11. 盒子中放有 10 个分别标有号码 1, 2, · · · , 10 的小球, 从中随机抽取 3 个球. 试对有放 回和无放回两种抽取方式分别求 (1) 三个球的号码都不大于 7 的概率. (2) 球上的最大号码为 7 的概率. 12. ∗ 设有 n 个人随机地坐到礼堂第一排的 N 个座位上, 试求下列事件的概率: (1) 任何人都没有邻座. (2) 每人恰有一个邻座. (3) 关于中央对称的两个座位至少有一个空着. 13. 考虑一元二次方程 x 2 + Bx + C = 0, 其中 B, C 分别是将一枚均匀骰子连掷两次先后 出现的点数. 求该方程有实根的概率和有重根的概率. 14. ∗ 抛掷一枚均匀硬币 2n + 1 次, 试求正面出现的次数多于反面的概率. 15. 甲投掷 n + 1 枚均匀硬币, 乙投掷 n 枚均匀硬币. 试求甲的正面比乙的正面多这一事 件的概率. 16. ∗ 设两个赌徒的赌技相同, 每赌一局都可分出胜负. 现在两人各出 500 元赌资, 事先约 定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本. 但赌博在中途被打断了, 此时第一个赌徒还 需赢得 m 局才能获胜, 第二个赌徒还需赢得 n 局才能获胜, 问此时应如何划分赌本才 比较合理. 17. 父亲为了鼓励儿子打网球, 宣称如果儿子能够赢得与父亲和教练的三场比赛中的连续 两场, 就可获得一笔奖金. 儿子可以选择比赛的顺序为: 父亲 – 教练 – 父亲, 或者 教 练 – 父亲 – 教练. 已知教练比父亲打得好. 为了增加获得奖金的机会, 儿子应该选择 哪个顺序? 2
18.甲乙两选手进行乒乓球单打比赛，已知在每局中甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4. 比赛可采用三局两胜制或五局三胜制，问哪一种比赛制度对甲更有利？ 19.一栋20层楼中的一架电梯在底层（第一层）上来8位乘客.电梯在每一层都停，设每 位乘客在每层离开是等可能的，求没有两位乘客在同一层离开的概率. 20.某路公共汽车共有11个停车站，由始发站开车时车上共有8名乘客.假设每人在各站 (始发站除外)下车的概率相同.试求下列各事件的概帝： (①)8人在不同的车站下车 (2)8人在同一车站下车. (③)8人中恰有3人在终点站下车 21.在一种双骰子博弈中，玩家投两枚骰子，如果其和是7或11，则玩家赢：如果其和是2。 3或者12，玩家输：若是其他结果时就继续玩，直到玩家输或者赢为止.计算玩家赢的 概率 22.掷三枚硬币，已知其中有一枚出现了正面，求至少出现一枚反面的概率 3.掷三颗骰子，已知所得三个数都不相同，求含有1点的概率。 24.投掷两枚酸子，问至少有一个是6的概率是多少？若这两个面不一样，求至少有一个 是6的概率. 25.在某个社区，60%的家庭拥有汽车，30%的家庭拥有房产，而20%的家庭既有汽车又 有房产，随机选取一个家庭，求此家庭或有汽车或有房产但不是两者都有的概率。 26.甲和乙两人同时独立地射击同一目标.假设甲射中目标的概率是0.7，乙射中目标的概 率是0.4.已知恰有一个子弹射中目标，求它是甲射中的概率 27.对于三个事件A,B,C,若 P(ABIC)=P(AIC)P(BIC) 成立，则称A与B关于C条件独立.若已知A与B关于C与C条件独立，且 P(C)=0.5,P(AC=P(BC)=0.9,P(AC)=0.2,P(BlC)=0.1,试求P(A) P(B,P(AB)并证明A与B不独立. 28.证明P(AB)=P(AB)成立的充分必要条件是P(AB)=P(A)P(B).试对此结论给 出直观的解释 29.如果B的发生使得A更可能发生，那么A的发生是否使得B更可能发生？
18. 甲乙两选手进行乒乓球单打比赛, 已知在每局中甲胜的概率为 0.6, 乙胜的概率为 0.4. 比赛可采用三局两胜制或五局三胜制, 问哪一种比赛制度对甲更有利? 19. 一栋 20 层楼中的一架电梯在底层 (第一层) 上来 8 位乘客. 电梯在每一层都停, 设每 位乘客在每层离开是等可能的, 求没有两位乘客在同一层离开的概率. 20. 某路公共汽车共有 11 个停车站, 由始发站开车时车上共有 8 名乘客. 假设每人在各站 (始发站除外) 下车的概率相同. 试求下列各事件的概率: (1) 8 人在不同的车站下车. (2) 8 人在同一车站下车. (3) 8 人中恰有 3 人在终点站下车. 21. 在一种双骰子博弈中, 玩家投两枚骰子, 如果其和是 7 或 11, 则玩家赢; 如果其和是 2, 3 或者 12, 玩家输; 若是其他结果时就继续玩, 直到玩家输或者赢为止. 计算玩家赢的 概率. 22. 掷三枚硬币, 已知其中有一枚出现了正面, 求至少出现一枚反面的概率. 23. 掷三颗骰子, 已知所得三个数都不相同, 求含有 1 点的概率. 24. 投掷两枚骰子, 问至少有一个是 6 的概率是多少? 若这两个面不一样, 求至少有一个 是 6 的概率. 25. 在某个社区, 60% 的家庭拥有汽车, 30% 的家庭拥有房产, 而 20% 的家庭既有汽车又 有房产, 随机选取一个家庭, 求此家庭或有汽车或有房产但不是两者都有的概率. 26. 甲和乙两人同时独立地射击同一目标. 假设甲射中目标的概率是 0.7, 乙射中目标的概 率是 0.4. 已知恰有一个子弹射中目标, 求它是甲射中的概率. 27. 对于三个事件 A, B, C, 若 P(AB|C) = P(A|C)P(B|C) 成立, 则称 A 与 B 关于 C 条件独立. 若已知 A 与 B 关于 C 与 C¯ 条件独立, 且 P(C) = 0.5, P(A|C) = P(B|C) = 0.9, P(A|C¯) = 0.2, P(B|C¯) = 0.1, 试求 P(A), P(B), P(AB) 并证明 A 与 B 不独立. 28. 证明 P(A|B) = P(A|B) 成立的充分必要条件是 P(AB) = P(A)P(B). 试对此结论给 出直观的解释. 29. 如果 B 的发生使得 A 更可能发生, 那么 A 的发生是否使得 B 更可能发生? 3