中国科学技术大学 2010-2011学年第二学期《线性代数》期终考试试卷 题号 四五 六总分 得分 复评人 得分评卷人 一、填空题（本大题共9小题，共42分） (1)给定空间直角坐标系中点A(0,1,1),B(1,2,3),C(1,1,3)及D(1,3,5), 则(a)经过点A,B,C的平面的一般方程为 :(b)四 面体ABCD的体积为 。 恐 (2)设三阶方阵A=(a1,ag,B-(2ag,3a2,4a,其中a,2,a是三维列 向量。若det(A)=2,则det(B)=」 /121 (3)已知4= 012 则A1= 1001 (4设A为正交矩阵，A'为A的伴随矩阵。则det(A)= /z 12 (⑤)已知矩阵A= -1067的特征值为1=2=1，=2 y-2-1/ 则x= v= (6)已知矩阵A= 1t-1 t-11 是正定矩阵，则必须满足的条件是 (⑦)已知R上四维列向量a,a2,b1,b2,bg。若a,a2,ag线性无 关，b:(位=L,2,9)非零且与a1,2,ag均正交，则rank(b1,b2,.,bg) (⑧)设P3为次数小于等于3的实系数多项式全体构成的线性空间。定 义P回止的线性变换A:A》=(+品，则A在基1，r下 第1页共10页
学生所在系： 姓名： 学号： —————————————————————————– 答 题 时 不 要 超 过 此 线 —————————————————————————– 中 国 科 学 技 术 大 学 2010 – 2011 学年第二学期《线性代数》期终考试试卷 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 复评人 得分 评卷人 一、填空题（本大题共9小题，共42分） (1) 给定空间直角坐标系中点A(0, 1, 1)，B(1, 2, 3)，C(1, 1, 3)及D(1, 3, 5)， 则(a) 经过点A, B, C的平面的一般方程为 ；(b) 四 面体ABCD的体积为 。 (2) 设三阶方阵A = (a1, a2, a3)，B = (2a3, 3a2, 4a1)，其中a1, a2, a3是三维列 向量。若det(A) = 2，则det(B) = 。 (3) 已知A = 1 2 1 0 1 2 0 0 1 ，则A−1 = 。 (4) 设A为正交矩阵，A∗为A的伴随矩阵。则det(A∗ ) = 。 (5) 已 知 矩 阵A = x 1 2 −10 6 7 y −2 −1 的 特 征 值 为λ1 = λ2 = 1，λ3 = 2。 则x = ，y = 。 (6) 已知矩阵A = Ã 1 t − 1 t − 1 1 ! 是正定矩阵，则t必须满足的条件是 。 (7) 已 知R上 四 维 列 向 量a1, a2, a3, b1, b2, · · · , b9。 若a1, a2, a3线 性 无 关，bi (i = 1, 2, · · · , 9)非零且与a1, a2, a3均正交，则rank(b1, b2, · · · , b9) = 。 (8) 设P3[x]为次数小于等于3的实系数多项式全体构成的线性空间。定 义P3[x]上的线性变换A : A(p(x)) = (x+1) d dx p(x)，则A在基1，x，x 2，x 3下 第 1 页 共 10 页
的矩阵为 。 (⑨)在线性空间M(R)中（运算为矩阵的加法和数乘），记为所有对称矩阵 构成的子空间，为所有反对称矩阵构成的子空间。则dim=」 dim=」 得分评卷人 二、（本题15分） 己知线性方程组 +2 +3+T4 +x5=a 3x1+22+x3+x4-3x6=0 2+23+2x4+66=b 5m1+4红2+3x3+3r4-x6=2 (1)当a,b为何值时，方程组有解 (②)当方程组有解时，求出对应的齐次方程组的一组基础解系。 (③)当方程组有解时，求出方程组的全部解。 第2页共10页
的矩阵为 。 (9) 在线性空间Mn(R)中（运算为矩阵的加法和数乘），记V1为所有对称矩阵 构成的子空间，V2为所有反对称矩阵构成的子空间。则dimV1 = ， dimV2 = 。 得分 评卷人 二、（本题15分） 已知线性方程组 x1 +x2 +x3 +x4 +x5 = a 3x1 +2x2 +x3 +x4 −3x5 = 0 x2 +2x3 +2x4 +6x5 = b 5x1 +4x2 +3x3 +3x4 −x5 = 2 (1) 当a，b为何值时，方程组有解。 (2) 当方程组有解时，求出对应的齐次方程组的一组基础解系。 (3) 当方程组有解时，求出方程组的全部解。 第 2 页 共 10 页
的 得分评卷人 三、（本题12分） 好 在线性空间M(R)中，设a= 10 11 为M2(R)的两组基。 (①)求a1,a2,ag,a4到3,3，3的过渡矩阵T。 (2)设A∈M2(R)在，32，3下的坐标为(1，-2,3,0)7，求A在a1,a2,ag a4下的坐标。 第3页共10页
—————————————————————————– 答 题 时 不 要 超 过 此 线 —————————————————————————– 得分 评卷人 三、（本题12分） 在线性空间M2(R)中，设α1 = Ã 1 0 0 0! , α2 = Ã 1 1 0 0! , α3 = Ã 1 1 1 0! , α4 = Ã 1 1 1 1! 和β1 = Ã 0 1 1 1! , β2 = Ã 1 0 1 1! , β3 = Ã 1 1 0 1! , β4 = Ã 1 1 1 0! 分别 为M2(R)的两组基。 (1) 求α1, α2, α3, α4到β1, β2, β3, β4的过渡矩阵T。 (2) 设A ∈ M2(R)在β1, β2, β3, β4下的坐标为(1, −2, 3, 0)T，求A在α1, α2, α3, α4下的坐标。 第 3 页 共 10 页
得分评卷人 四、（本题8分） 考虑分块矩阵M= A B ,其中A为n阶可逆方阵 C D 证明：ramk(M)=n+rank(D-CA-1B)。 第4页共10页
得分 评卷人 四、（本题8分） 考虑分块矩阵M = Ã A B C D! ，其中A为n阶可逆方阵。 证明：rank(M) = n + rank(D − CA−1B)。 第 4 页 共 10 页
得分评卷人 五、（本题15分》 已知二次型Q(1,d2,3)=3x+2号+3号-2红13。 (①)写出二次型Q(红1，x2,x)对应的矩阵A,和Q(1,2,x)的矩阵式。 (②)求正交变换P,使x=Py把Q(1,2,3)化为标准形。 (③)二次型是正定的、负定的还是不定的，为什么？ (4指出Q(x1,x2,x3)=1的几何意义。 第5页共10页
—————————————————————————– 答 题 时 不 要 超 过 此 线 —————————————————————————– 得分 评卷人 五、（本题15分） 已知二次型Q(x1, x2, x3) = 3x 2 1 + 2x 2 2 + 3x 2 3 − 2x1x3。 (1) 写出二次型Q(x1, x2, x3)对应的矩阵A，和Q(x1, x2, x3)的矩阵式。 (2) 求正交变换P，使x = Py把Q(x1, x2, x3)化为标准形。 (3) 二次型是正定的、负定的还是不定的，为什么？ (4) 指出Q(x1, x2, x3) = 1的几何意义。 第 5 页 共 10 页