第二章极限理论习题课 主要内容 一、数列极限 1理解数列极限的：-m定义：会用定义求证数列极限。基本方法是1°解不等式an- d<e求no,2°先对an-al进行放大再求mo 2.掌握数列极限的性质：有界性，保号性，不等式性，数列极限与子列极限之间的关 系 3.掌握求数列极限的方法利用定义，夹逼准则，四则运算，利用单调有界原理判定 极限存在，再利用递推公式两边取极限，数列极限与函数极限之间的关系，重要极 限。 4,牢记一些重要结论： 1°若数列an满足1ima2k+1=1ima2k=a,则1ima=a 2°若lim an=a,则lim a=lal,反之不真，但若im nl=0,则iman=0. 3°1.0.Stoz2公式 an=imbn=0,且n}严格减，若iml二=a(有限或定号无穷 ,(四设私}严格增，且im=+e,若iml二公=a(有限或定号无穷大.则 lim g=a. 4°设iman=a或+ec,-c,则ima十去.土am=a或+o心，-心. 5°im +.a其中a>0 6°设a0.m”=a,则ima2=a 7p设an>0,lim8a是=a,则:im Va=a. 8 lim va=1,lim vn=1,lim(1+)"=e 5.例子 例1设f)在(0，+x)上连续，且对任何自然数n,)在m,n+1上严格单调，若fm)/+)<0， ()证明：存在唯一的5m∈(m,n+1),使得f(5)=0.(②)求极限m nsin 证明(1)因为f(x)在n,n+1]上连续，且严格单调，又f()fm+1)<0.由零值定理知，存在唯一 的n∈(m,n+1),使f(5n)=0. 10.Stok(1842.190)奥地利数学家
· 1 · 1Ÿ 4ÅnÿSKë ÃáSN ò!Í4Å 1.n)Í4Åε−n0½¬:¨^½¬¶yÍ4Å"ƒ ê{¥1 ◦ )ÿ ™|an− a| < ε¶n0, 2 ◦ kÈ|an − a|?1òå2¶n0. 2.›ºÍ4Å5ü:k.5ß“5ßÿ ™5ßÍ4ÅÜf4ÅÉm' X. 3.›º¶Í4Åê{:|^½¬ßY%OKßoK$éß|^¸Nk.n½ 4Å3ß2|^4Ì˙™¸>4ÅßÍ4ÅܺÍ4ÅÉm'Xßá4 Å" 4.OPò á(ÿ: 1 ◦ eÍan˜vlim a2k+1 = lim a2k = a,Klim an = a 2 ◦ elim an = a,Klim |an| = |a|,áÉÿ˝,elim |an| = 0,Klim an = 0. 3 ◦ 1. O.Stolz1 ˙™ (1) lim an = lim bn = 0, Ö {bn} ÓÇ~, e lim an+1 − an bn+1 − bn = a (kŽ½“ð å), K lim an bn = a. (2) {bn} ÓÇO, Ö lim bn = +∞, e lim an+1 − an bn+1 − bn = a(kŽ½“ðå). K lim an bn = a. 4 ◦ lim an = a½+∞, −∞,K:lim a1 + a2 + · · · + an n = a½+∞, −∞. 5 ◦ lim n 1 a1 + · · · + 1 an = a, Ÿ• an > 0. 6 ◦ an > 0, lim an = a,K:lim √n a1a2 · · · an = a. 7 ◦ an > 0, lim an+1 an = a,K:lim √n an = a. 8 ◦ lim √n a = 1, lim √n n = 1, lim (1 + 1 n ) n = e 5.~f ~1 f(x)3(0, +∞)˛ÎY,ÖÈ?¤g,Ín,f(x)3[n, n+1]˛ÓǸN,ef(n)f(n+1) < 0, (1)y²: 3çòξn ∈ (n, n + 1),¶f(ξn) = 0. (2)¶4Å limn→∞ n sin 2π ξn . y² (1) œèf(x)3[n, n + 1]˛ÎY,ÖÓǸN,qf(n)f(n + 1) < 0,d"ä½n,3çò ξn ∈ (n, n + 1),¶f(ξn) = 0. 1O.Stolz (1842-1905) c/|ÍÆ[.
2 解②因为m<<n+1得<<员所以=0君=1 i红~红所以m nsin=n经=2x 例2设0 解rn1=V-n≤ =5 +1-n=V3-En)n-(VEn)2 a云网=梁刘 所以可得数列{n}是递增的，由单调有界原理可知{xn}是收效的，设imxn=a,在xn+1=√3一xn)正n的 两边取极限，得a2=(3-)a中a= 刷3设,三 =60<a<b4=V,a1=证明与有 n+1=Vn≤"支业=h1 工n+i=Vrnm2 VEnEn=a.{rn}↑ h+1=n十hsn十=n{} 1≤xn≤n≤班{n}有上界6，{有下界a 由夹通定理{,小，{得极限存在.设im工=工，im%=y在递推公式两边取极限得 { ,→x=y 二、函数极 1.理解函数极限的定义：-6定义，-X定义，方法还是解不等式或放大再解不等式求6或X 2.掌捏函数极限的性质：局部有界性，不等式性，保号性，函数极限与数列极限之间的关系， 3掌握无穷小量与无穷大量：定义，无穷小量与无穷大量关系，无穷小（大）量级的此较，常用等 价无穷小量，函数与无穷小量之间的关系，吗)=1一f田=1+()其中吗o()=0 4.f(x)与f(x)极限之间关系： f回=1=一=川，但反之不真.但若有（训=0，则mf=0. 5.求极限的方法： 1°连续函数的极限值等于函数值。 2°四则运算（通分、分解因式，分子分母有理化）；复合函数的极限运算（变量代换）
· 2 · ) (2) œèn < ξn < n + 1, 1 n + 1 < 1 ξn < 1 n ,§± limn→∞ 1 ξn = 0, limn→∞ n ξn = 1. sin 2π ξn ∼ 2π ξn ,§± limn→∞ n sin 2π ξn = limn→∞ n 2π ξn = 2π. ~2 0 < xn < 3, xn+1 = p (3 − xn)xn,y²{xn}4Å3,ø¶d4Å. ) xn+1 = p (3 − xn)xn ≤ 3 − xn + xn 2 = 3 2 , xn+1 − xn = p (3 − xn)xn − ( √ xn) 2 = √ xn( √ 3 − xn − √ xn) = √ xn(3 − 2xn) √ 3 − xn + √ xn > 0 §±åÍ{xn}¥4O,d¸Nk.nå{xn}¥¬Ò,lim xn = a,3xn+1 = p (3 − xn)xn ¸>4Å,a 2 = (3 − a)a =⇒ a = 3 2 . ~3 x1 = a, y1 = b, 0 < a < b xn+1 = √xnyn, yn+1 = xn + yn 2 y²{xn}Ü{yn}k É”4Å.(vkûmÿ˘) y xn+1 = √ xnyn ≤ xn + yn 2 = yn+1 xn+1 = √ xnyn ≥ √ xnxn = xn ∴ {xn} ↑ yn+1 = xn + yn 2 ≤ yn + yn 2 = yn ∴ {yn} ↓ x1 ≤ xn ≤ yn ≤ y1 ∴ {xn}k˛.b, {yn}ke.a dY%½n{xn}, {yn}4Å3"lim xn = x, lim yn = y 34Ì˙™¸>4Å x = √xy y = x + y 2 ⇒ x = y !ºÍ4Å 1.n)ºÍ4Ž¬: ε−佬ßε−X½¬ßê{Ñ¥)ÿ ™½òå2)ÿ ™¶δ½X" 2.›ººÍ4Å5ü: ¤‹k.5ßÿ ™5ß“5ߺÍ4ÅÜÍ4ÅÉm'Xß 3.›ºÃ°˛Üðå˛: ½¬ßð˛Üðå˛'Xßð£å§˛?'ß~^ dð˛ßºÍÜð˛Ém'Xßlim x→ f(x) = l ⇐⇒ f(x) = l+α(x)Ÿ• lim x→ α(x) = 0 4.f(x)Ü|f(x)|4ÅÉm'X: lim x→ f(x) = l =⇒ lim x→ |f(x)| = |l|,áÉÿ˝.ek lim x→ |f(x)| = 0,K lim x→ f(x) = 0. 5.¶4Åê{: 1 ◦ ÎYºÍ4Åä uºÍä" 2 ◦ oK$飜©!©)œ™ß©f©1knz§; E‹ºÍ4Å$é£C˛ìܧ"
3 ~tan~arctan~arcsin~r:ln() 4°重要概限四=1皿Q+扩=e 5°利用左、右极限求极限 6°利用夹逼定理求极限。 7P以后将陆续介绍利用“罗必塔法则、Taylor公式、中值定理、定积分、级数”等求极限。 6.例子 期默+号中可“w2可-号 二0 阳我品衣品福剑 解限式=册V十Vo司册产“方 例侧3求m2-)() 0赋+1-六等0-六景品 sin 飘特+晋 "=+学+ 所以 +m)=2+(-1)=1. %若四P任+少.5求a 解2++b二二-x+m,由已知可得-x+m=5(任=1)，m=6,于是有r2+ar+b= 0-x(-x+6)=x2-7x+6,可得a=-7,b=6. 新已0：子+十5：→限物值时阳为正方本量内将值 时()为无穷大量， 解阳=2+34g++5c+5+6+++3 当r→0，≠0，p∈R,J0)为无穷大量 例7已知(2xy-2心a(任-1)+b红-1)2，任→1)，求a,b的值
· 3 · 3 ◦ dð£å§˛ìÜ"x → 0 sin x ∼ tan x ∼ arctan x ∼ arcsin x ∼ x; ln (1 + x) ∼ x; e x − 1 ∼ x, ax ∼ x ln a, tan x − sin x ∼ 1 2 x 3 , (1 + x) α − 1 ∼ αx. 4 ◦ á4Ålimx→0 sin x x = 1 limx→∞ (1 + 1 x ) x = e 5 ◦ |^Ü!m4Ŷ4Å" 6 ◦ |^Y%½n¶4Å" 7 ◦ ±ÚºY0 |^/¤7©{K!Taylor˙™!•ä½n!½»©!?Í0 ¶4Å" 6.~f ~1 ¶limx→1 √ 3 − x − √ 1 + x x2 + x − 2 ( 0 0 .) ) ™=limx→1 3 − x − 1 − x (x + 2)(x − 1)(√ 3 − x + √ 1 + x) = limx→1 −2 2 √ 2(x + 2) = − √ 2 6 . ~2 ¶ lim x→0+ 1 − √ cos x x(1 − cos √ x) ( 0 0 .) ) ™= lim x→0+ 1 − cos x x · 1 2 ( √ x) 2(1 + √ cos x) = lim x→x+ 1 2 x 2 1 2 x2 · 2 = 1 2 . ~3 ¶limx→1 (2 − x) tan π 2 x (1∞) ) ™=limx→1 (1 + 1 − x) 1 1 − x · sin π 2 x cos π 2 x · (1 − x) = e limx→1 1 − x cos π 2 x = e limx→1 1 − x sin π 2 (1 − x) = e 2 π . ~4 ¶limx→0 ( 2 + e 1 x 1 + e 4 x + sin x |x| ). ) lim x→0+ ( 2 + e 1 x 1 + e 4 x + sin x x ) = lim x→0+ ( 2e − 4 x + e − 3 x e − 4 x + 1 + sin x x ) = 0 + 1 = 1. lim x→0− ( 2 + e 1 x 1 + e 4 x + sin x −x ) = 2 + (−1) = 1. §±,™=1. ~5 elimx→1 x 2 + ax + b 1 − x = 5,¶a, b. ) x 2+ax+b = (1−x)(−x+m),dÆå−x+m = 5 (x = 1), m = 6,u¥kx 2+ax+b = (1 − x)(−x + 6) = x 2 − 7x + 6,åa = −7, b = 6. ~6 Æf(x) = px2 − 2 x2 + 1 + 3qx + 5,x → ∞û,p, q¤äûf(x)èð˛;p, qè¤ä ûf(x)èðå˛. ) f(x) = px2 − 2 + 3qx3 + 3qx + 5x 2 + 5 x2 + 1 = 3qx3 + (5 + p)x 2 + 3qx + 3 x2 + 1 , x → ∞, q = 0, p = −5û,f(x) = o(1); x → ∞, q 6= 0, p ∈ R, f(x)èðå˛. ~7 Æ(2x) x − 2 ∼ a(x − 1) + b(x − 1)2 , (x → 1),¶a, bä.
4 解当x→1时，a(x一1)+(x-1)2~a(x-1),所以b可为一切值. 所以2-h22+ 可得2-522+1e-)~ale-1).故a=202+1以 +岛) 例8已知职 5求 解由已如得吗侣=0及吗学-5 所以=0 0设e连续，且一（回-二）-2求0. 解由已知得吗（阳-1-血）-2因为职=∞ 所以（阳)-1-血）=0可得织因=f0)=2 例10已知=（但+。-0+)）=A求玛fe 解由已知得吗上()+怎-山1士8)）-A因为职}-心 可将妈（回+盖山+回）=0 所以，f国=一（n元 h0+3a)=-4+3=-1. 三、连续 1.掌握连续的定义： 能对函数进行连续性的讨论，间断点能指出类型。 3.学握闭区间上连续函数的性质：零值定理，介值定理，最大（小）值定理。 4.理解一致连续概念：一致连续定义，一致连续判定。 5.例子 例1若)=了 =0 解fe)在x≠0处点点连续 吗+-22+2+2
· 4 · ) x → 1û,a(x − 1) + b(x − 1)2 ∼ a(x − 1),§±båèòÉä. (2x) x−2 = e x ln 2x−e ln 2 = e ln 2(e x ln 2x−ln 2−1) ∼ 2(x ln 2x−ln 2) = 2[(x−1) ln 2+x ln x], œèlimx→1 x ln x x − 1 = x ln(x − 1 + 1) x − 1 = limx→1 x(x − 1) x − 1 = 1, §±limx→1 x ln 2x − ln 2 x − 1 = ln 2 + 1, å(2x) x − 2 ∼ 2(ln 2 + 1)(x − 1) ∼ a(x − 1),a = 2(ln 2 + 1). ~8 Ælimx→0 ln 1 + f(x) sin 2x e x − 1 = 5,¶limx→0 f(x) x2 . ) dÆlimx→0 f(x) sin 2x = 0,9limx→0 f(x) sin 2x x = 5. §±,limx→0 f(x) x2 = 10. ~9 f(x)ÎY,Ölimx→0 f(x) − 1 x − sin x x2 = 2,¶f(0). ) dÆlimx→0 1 x f(x) − 1 − sin x x = 2,œèlimx→0 1 x = ∞, §±,limx→0 f(x) − 1 − sin x x = 0,ålimx→0 f(x) = f(0) = 2. ~10 Ælimx→0 f(x) x + 4 sin x − ln(1 + 3x) x2 = A, ¶limx→0 f(x). ) dÆlimx→0 1 x f(x) + 4x sin x − x ln(1 + 3x) x2 = A,œèlimx→0 1 x = ∞, ålimx→0 f(x) + 4x sin x − x ln(1 + 3x) x2 = 0, §±,limx→0 f(x) = − limx→ 4x sin x − x ln(1 + 3x) x2 = −4 + 3 = −1. n!ÎY 1.›ºÎY½¬µ UȺÍ?1ÎY5?ÿßm‰:Uç—a." 2.ºÍf(x)Ü|f(x)|3x0:ÎYÉm'X:eºÍf(x)3x0:ÎY,K|f(x)|3x0:èÎY,áÉ ÿ˝. 3. ›º4´m˛ÎYºÍ5üµ "ä½nß0ä½nßÅ壧ä½n" 4.n)òóÎYVgµ òóÎY½¬ßòóÎY½" 5.~f ~1 ef(x) = ( sin 2x + e 2ax − 1 x x 6= 0, a x = 0. èÎYºÍ,¶aä. )f(x)3x 6= 0?::ÎY, limx→0 sin 2x + e 2ax − 1 x = limx→0 2 sin 2x 2x + limx→0 e 2ax − 1 x = 2 + 2a,
5 由连续定义2+2a=a,得a=-2. 所以，当a=-2时函数f(e)点点连续. 例2若fe)在a,+o∞)上连续，且1mfe)存在，则fe)在a,+∞)上或有最大值或有最小值. 证因为im.f回)=1，若3o∈a+6)使fo)>l 取c=fo)-L,X>o,当r>X有， f)<1+e=1+fa)-1=fo fa)在[aX上连续，故有最大值M,红∈[a,X灯有f(e)≤M. 也即有xea,+o有fa)<f)≤M. 所以，M就是fe)在a,+o)上的最大值. 从证明的过程可以看出，若取到f0)>1,就有最大值：若能取到f)<1,就有最小值 历年试卷 1.求1 lim sin2(xv2+刀(17) 2.己知am=nsin(2xnle)求极限iman.(17) 3程通数作直好号且0农超盟=其为自然数间 5.设fe)有二阶导数连续，且f(0)=了'@)=0，”(0)=6，试求极限m八sr卫.(17) 6.设{an}是一个数列，A为常数. ()若ma+1-an)=入其中以为常数试证明1m=入 (2)若p是大于1的正整数且m(a+p-an)=入试证明1m%一会(17） 7.求极限职(e-)而(16 &=(马) 9=22产±2包.时 ▣(aa+va+a.Va-a (16)
· 5 · dÎY½¬2 + 2a = a,a = −2. §±,a = −2ûºÍf(x)::ÎY. ~2 ef(x)3[a, +∞)˛ÎY,Ö lim x→+∞ f(x)3,Kf(x)3[a, +∞)˛½kÅåä½kÅä. y œè lim x→+∞ f(x) = l,e∃x0 ∈ [a, +∞)¶f(x0) > l, ε = f(x0) − l, ∃X > x0,x > Xk, f(x) < l + ε = l + f(x0) − l = f(x0). f(x)3[a, X]˛ÎY,kÅåäM, ∀x ∈ [a, X]kf(x) ≤ M. è=k∀x ∈ [a, +∞]kf(x) < f(x0) ≤ M. §±,M“¥f(x)3[a, +∞)˛Ååä. ly²Lßå±w—,ef(x0) > l,“kÅåä;eUf(x0) < l,“kÅä. {c£Ú 1. ¶ limn→∞ sin2 (π √ n2 + n) (17) 2. Æan = n sin(2πn!e) ¶4Å limn→∞ an. (17) 3. ºÍf3:aå, Öf(a) 6= 0 ¶4Å limn→∞ f(a + 1 n ) f(a) n ,Ÿ•nèg,Í.(17) 4. ¶limx→0 (1 + x) 1 x e 1 x .(17) 5. f(x)k ÍÎY,Öf(0) = f 0 (0) = 0, f 00(0) = 6,£¶4Ålimx→0 f(sin2 x) x4 .(17) 6. {an}¥òáÍ,λè~Í. (1)e limn→∞ (an+1 − an) = λ,Ÿ•λè~Í.£y² limn→∞ an n = λ. (2)ep¥åu1ÍÖ limn→∞ (an+p − an) = λ.£y² limn→∞ an n = λ p . (17) 7. ¶4Ålimx→0 (ex − x) 1 x tan(x) (16) 8. limx→1 3 x3 − 1 − 5 x5 − 1 .(16) 9. limx→0 cos(2x) − e 2x + 2 sin(x) x + ln(1 − x) . (16) 10. ek.Í{an} ∞n=1 Ü{bn} ∞n=1 ˜v limn→∞ n(an + bn) = 0, ¶4Å limn→∞ an q n2 + √ n + bn q n2 − √ n . (16)