1 重积分、一型线面积分复习 一、二重积分 要求掌据： ()直角坐标系下的累次积分： (②)累次积分的顺序的交换 (3)极坐标变换。 (④注意积分区域的对称性及被积函数关于某积分变量的奇偶性。 170分)求积分广山幽，其中D为以@，Q,.L,为顶点的三角形 3.(16)(6分)积分fz,)ddy,其中D由直线x-2,y=0,y-2及曲线x= -√2y-围成，给出它的累次积分形式. 6s分)连续爵数e>0z红证明fe地厂同>≥- 6.(15)10分)计算二重积分广WP+r-2+2)d,其中区域D:2+r≤ 1,x≥0，y≥0. 7.(15)(8分)已知函数f红，)具有二阶连续偏导数，且f1,)=0,f红，)=0， /川fz,)da-a,其中区域D-{c,训0≤x≤1,0≤彩≤1以，计算二重 积分 fvi.)
· 1 · »©!ò.Ç°»©ES ò!»© ᶛºµ (1) ÜãIXe\g»©; (2) \g»©^SÜ; (3) 4ãICÜ. (4) 5ø»©´çÈ°59»ºÍ'u,»©C˛¤Û5. . 1. (17)(10©) ¶»© ZZ D e −y 2 dxdy,Ÿ•Dè±(0, 0), (0, 1), (1, 1)èº:n/. 2. (17)(8©) ¶»© ZZ D dxdy x 2 + y 2 ,Ÿ•D = {(x, y)|1 6 e x + e y , e2x + e 2y 6 1}. 3. (16)(6©) »© ZZ D f(x, y) dxdy,Ÿ•DdÜÇx = −2, y = 0, y = 29Çx = − p 2y − y 2å§,â—ß\g»©/™. 4. (16)(8©) ÎYºÍf(x) > 0, x ∈ [a, b], y² Z b a f(x)dx Z b a 1 f(x) dy > (b − a) 2 . 5. (15)(4©) Ü\g»©^S Z 1 0 dy Z 3−2y √y f(x, y)dx = . 6. (15)(10©) O黩 ZZ D ( p x 2 + y 2 − 2xy+2) dxdy, Ÿ•´çD : x 2+y 2 6 1, x > 0, y > 0. 7. (15)(8 ZZ ©)ƺÍf(x, y)‰k ÎY†Í, Öf(1, y) = 0, f(x, 1) = 0, D f(x, y) dσ = a, Ÿ•´çD = {(x, y)| 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1}, Oé »© ZZ D xyf00 xy(x, y) dσ.
2 a0厂g- 9.148分)计算二重积分广(Br2+5r)i, +gR肥 10.(13)6分)设fe)在0，上连续，且满足fa)=1+afy)fy-dg,证明：a≤ 11.(13)(10分)计算二重积分xd,其中积分区域D是第一象限中由x轴和上 半圆周x2+y-2红=0所围成. 2.(a26分)计算e 解 血e=era 13.(11)(4分)设1= Bwh-j-oah-eoho 其中 D1:x2+≤R:D2:x2+2≤2R2:D3:≤R且≤R,则有(） (A)五<2<；(B)<g<2: (C)2<h<:(D) 3<2<1. 14.(11(4分)设区域D-{,训2+y2≤2红，x≥0，y≥0，则V2+rdy= 1点.m0分)设F@=厂厂ee>1,求F'g 16(ao0分)含参变量积分e)=广eP求1e达 1.分)改变累次积分次序血+厂 -V-2 f红，)y=
· 2 · 8. (14)(3©) Z 1 0 dy Z 1 y sin x x dx = . 9. (14)(8©) O黩 ZZ x2+y26R2 3x 2 + 5y 2 dxdy. 10. (13)(6©) f(x)3[0, 1]˛ÎY,Ö˜vf(x) = 1+α Z 1 x f(y)f(y−x)dy,y²µα ≤ 1 2 . 11. (13) (10©)O黩 ZZ D xydxdy,Ÿ•»©´çD¥1òñÅ•dx¶⁄˛ å ±x 2 + y 2 − 2x = 0§å§. 12. (12)(5©)Oé Z 1 0 dx Z 1 x e y 2 dy. ): Z 1 0 dx Z 1 x e y 2 dy = Z 1 0 dy Z y 0 e y 2 dx = Z 1 0 yey 2 dy = e − 1 2 . 13. (11)(4©) I1 = ZZ D1 e −(x 2+y 2 )dσ, I2 = ZZ D2 e −(x 2+y 2 )dσ, I3 = ZZ D3 e −(x 2+y 2 )dσ, Ÿ• D1 : x 2 + y 2 6 R2 ; D2 : x 2 + y 2 6 2R2 ; D3 : |x| 6 RÖ|y| 6 R,Kk( ) (A) I1 < I2 < I3; (B) I1 < I3 < I2; (C) I2 < I1 < I3; (D) I3 < I2 < I1. 14. (11)(4©) ´çD = {(x, y)|x 2 + y 2 6 2x, x > 0, y > 0},K ZZ D p x 2 + y 2dxdy = . 15. (11)(10©) F(t) = Z t 1 dy Z t y e −x 2 dx (t > 1),¶F 0 (2). 16. (10)(10©) ¹ÎC˛»©I(x) = Z 1 x e y 2 dy,¶ Z 1 0 I(x)dx. 17. (09)(4©) UC\g»©gS Z 1 0 dx Z x 2 0 f(x, y)dy+ Z 2 1 dx Z 1− √ 1−(x−2)2 0 f(x, y)dy =
3 1R.(0侧a分)设f化)为连续函数则广的f北omr血t() w以aw画aTa @海T地 四0分)计算二重积分e+,其中D为双组线+=- 2)(a>0)所围的区域. 20.(07)(分)设函数f红，)在区域D:x2+y2≤1上有二阶连续偏导数且么十 片=e4的，求证以+=委 21.(06)(8分)(1)设fr,)=0,确定r是9在a,上的正值可微函数，平面区域D在极 坐标下由=a,0=月，fc,0)=0,f2r,6)=0,围成求证 I第-0-： 回求儿中可共中D油2+=1和z+y=1围成任≥0，y之 0). 2.(o58分)设平面区城D=红，2+r≤，求广V, 23.(04)(8分)求x2ed.D由x=2,y=1和xy=1闹成. 24.(0310分)设在o连续t>0时，记F-∥fwd,求证：当t> 益侧0)求 练习题 1.设D=，y≤x≤V,0≤y<1,计算ed
· 3 · 18. (09)(4©) f(x, y)èÎYºÍ,K Z π 4 0 dθ Z 1 0 f(r cos θ, r sin θ)rdr ( ) (A) Z √ 2 2 0 dx Z √ 1−x2 x f(x, y)dy (B) Z √ 2 2 0 dy Z √ 1−y2 y f(x, y)dx (C) Z √ 2 2 0 dx Z √ 1−x2 0 f(x, y)dy (D) Z √ 2 2 0 dy Z √ 1−y2 0 f(x, y)dx 19. (09)(10©) O黩 ZZ D (x 2 +y 2 )dxdy,Ÿ•DèV›Ç(x 2 +y 2 ) 2 = a 2 (x 2 − y 2 ) (a > 0)§å´ç. 20. (07)(7©) ºÍf(x, y)3´çD : x 2 + y 2 6 1˛k ÎY†Í,Öf 00 xx + f 00 yy = e −(x 2+y 2 ) , ¶y ZZ D (xf0 x + yf0 y )dxdy = π 2e . 21. (06)(8©) (1)f(r, θ) = 0,(½r¥θ3[α, β]˛äåáºÍ,²°´çD34 ãIedθ = α, θ = β, f(r, θ) = 0, f(2r, θ) = 0, å§,¶y ZZ D dxdy x 2 + y 2 = (β − α) ln 2 . (2) ¶ ZZ D dxdy xy(ln2 x + ln2 y) ,Ÿ•Ddx 2 +y 2 = 1⁄x+y = 1å§(x > 0, y > 0). 22. (05)(8©) ²°´çD = {(x, y)|x 2 + y 2 6 y},¶ ZZ D √ydxdy. 23. (04)(8©) ¶ ZZ D x 2 e xydxdy,Ddx = 2, y = 1⁄xy = 1å§. 24. (03)(10©) f(u)3[0, ∞)ÎY,t > 0û,PF(t) = ZZ [0,t] 2 f(xy)dxdy,¶y:t > 0û,F 0 (t) = 2 t Z t 2 0 f(s)ds. 25. (02)(9©) ¶ Z 2 1 ydy Z 2 y sin x x 2 − 1 dx. ˆSK 1. D = {(x, y)|y ≤ x ≤ √y, 0 ≤ y ≤ 1},Oé ZZ D e y x dσ
·4 2计识向a+ea 二、三重积分 要求掌握： ()直角坐标系下的累次积分： (②)球坐标、柱坐标变换 (③)注意积分区域的对称性及被积函数关于某积分变量的奇偶性 1700分)计算三重积分y++,其中v是由r2++2= a2与≤c所围的空间区域， 26010分)计算三重积分∬Yv,其中n由：=十，：=产+，y a 6y=d,y=a,y=Bx用成，其中0<a<6,0<c<d,0<a<a. 3.(15)10分)计算三重积分2+y2+)d业，其中0由：≥V2+乎和1≤ x2+2+2≤4确定 4.(14)3分)设0：z2+2+2≤1，(e≤0)则△2r2 drdydz= i(a四o分)计三重积分ea4h其中积分区装y是由面：-北 2)与平面：=8所围成。 6(126分)川c+y+)td,其中v是由平面：=0和椭球面三+后+号- 1的上半部分围成的区域a,b,c>0。 解：解法一：利用对称性，∬dd=川=0.对∬dyd先 对工，进行二重积分。注意到截面是 D:后+=1-
· 4 · 2. Oé Z 1/2 1/4 dy Z √y 1/2 e y x dx + Z 1 1/2 dy Z √y y e y x dx. !n»© ᶛºµ (1) ÜãIXe\g»©; (2) •ãI!ŒãICÜ. (3) 5ø»©´çÈ°59»ºÍ'u,»©C˛¤Û5. . 1. (17)(10©) Oén»© ZZZ V (x 2 y+xyz+z 2 ) dV ,Ÿ•V ¥dx 2+y 2+ a 2 − b 2 c 2 z 2 = a 2Ü|z| 6 c§åòm´ç. 2. (16)(10©) Oén»© ZZZ Ω x 2y 2 z dV , Ÿ•Ω dz = x 2 + y 2 a , z = x 2 + y 2 b , xy = c, xy = d, y = αx, y = βxå§,Ÿ•0 < a < b, 0 < c < d, 0 < α < β. 3. (15)(10©) Oén»© ZZZ Ω z(x 2 + y 2 + y) dV , Ÿ•Ω dz > p x 2 + y 2 ⁄1 6 x 2 + y 2 + z 2 6 4 (½. 4. (14)(3©) Ω : x 2 +y 2 +z 2 6 1, (z 6 0) K ∆ ZZZ Ω 2x 2dxdydz = . 5. (13)(10©) Oén»© ZZZ V (x 2+y 2 )dxdydz,Ÿ•»©´çV ¥d°z = 1 2 (x 2+ y 2 )ܲ°z = 8§å§. 6. (12)(6©) ZZZ V (x + y + z)dxdydz,Ÿ•V ¥d²°z = 0⁄˝•° x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1˛å‹©å§´ç,a, b, c > 0. ): ){òµ|^È°5ß ZZZ V xdxdydz = ZZZ V ydxdydz = 0ßÈ ZZZ V zdxdydzk Èx, y?1»©"5ø °¥ Dz : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 − z 2 c 2
5 其面积为rab1-2/c2). 1分) 所以 ∬h触-人=人-e- .(4分) D 从而所求的积分值为 1分) 解法二：采用椭球换元： =arsin e cos,y==rcos0,(0)00 则Jacobian为abcr2sind. 2分) 所以积分为 ate dr (asin20 cos+bsin20sin+ccos0sin)dodo. 0.02m 记内部二重积分为，则原积分等于abcl. 1分) 为了计算的值，对各求和项分别进行计算，可得结果。 (3分) 7(分)设为单位球：2+r+2<1.则三重积分川（传+3）w的值 为() (A) ® (C) &(05分)求由曲面：=2+和：=2-V≥+所围成的立体的体积和表 面积 9.(10)(10分)计算三重积分V2+y2+2 drdydz,其中V是由锥面2=V+P和 球面x2++22=R2所围区域 0侧(o计算三重积分∬V中行+关中v是由球面+r+ 2=所围区域。 11.(06)(8分)求积分1= 川e+y+h,其中v由：=V+乎和：- √1-x2-(x≥0，y≥0)围成
· 5 · Ÿ°»èπab(1 − z 2/c2 ). (1©) §± ZZZ V zdxdydz = Z c 0 zdz ZZ Dz dxdy = πab Z c 0 z(1 − z 2 /c2 )dz = πabc2 4 . (4©) l §¶»©äèπabc2 4 . (1©) ){µÊ^˝•Ü: x = ar sin θ cos φ, y = br sin θ sin φ, z = r cos θ,(θ, φ) ∈ [0, π 2 ] × [0, 2π], KJacobianèabcr2 sin θ. (2©) §±»©è abc Z 1 0 r 3 dr ZZ [0, π 2 ]×[0,2π] (a sin2 θ cos φ + b sin2 θ sin φ + c cos θ sin θ)dφdθ. PS‹»©èI, K»© u 1 4 abcI. (1©) è OéIäßÈà¶⁄ë©O?1Oéßå(J" (3©) 7. (11)(4©) Ω踆•µx 2 + y 2 + z 2 6 1ßKn»© ZZZ Ω 1 5 + z 2 y dV ä è( ). (A) 1 15 π; (B) 2 15 π; (C) 4 15 π; (D) 8 15 π. 8. (10)(15©) ¶d°z = x 2 + y 2⁄z = 2 − p x 2 + y 2§å§·NN»⁄L °». 9. (10)(10©) Oén»© ZZZ V p x 2 + y 2 + z 2dxdydz,Ÿ•V ¥dI°z = p x 2 + y 2⁄ •°x 2 + y 2 + z 2 = R2§å´ç. 10. (09)(10©) Oén»© ZZZ V p x 2 + y 2 + z 2dxdydz,Ÿ•V ¥d•°x 2 + y 2 + z 2 = z§å´ç. 11. (06)(8©) ¶»©I = ZZZ V (x + y + z)dxdydz,Ÿ•V dz = p x 2 + y 2⁄z = p 1 − x 2 − y 2(x > 0, y > 0)å§.