中国科学技术大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（讲义，共六章，打印版）

概率论与数理统计讲义 中国科学技术大学统计与金融系概率统计教研室 2008年4月

VÇ؆ênÚOù ¥I‰ÆEâŒÆÚO†7KXVÇÚOï¿ 2008c4

目录 第一章事件与概率 $11概率论发展简史 S1.2概率论的几个基本概念 1 S1.2.1随机试验和随机事件 51.2.2 事件的运算 ·”.4··。”···”·4· 2 51.2.3 概率的定义及性质 。·。.。·4。4。 51.2.4条件概率 S1.2.5全概率公式和Baves?公式 51.2.6事件的独立性 10 第二章随机变量及其分布 13 621随机变量的概今 13 2.2 离散型随机变量 ·。.·4.·。4。···。.·÷·”.···。 s2.210-1分布 。，。，。，。，。,，。 15 $2.2.2二项分布 15 62.2.3 Poisson分布 16 62.2.4离散的均匀分布 ” 18 2.3连续型随机变量 。4。·。·。4。 18 52.3.1正态分布 22 52.3.2指数分布 23 52.3.3均匀分布 24 2.4 多维分布 52.5边缘分布 27 S2.6条件分布和随机变量的独立性 29 62.6.1条件分布 29 2.62 随机变量的独立性 ···。.。.···。.。···。.···。 52.7随机变量的函数的概率分布 33 第三章 随机变量的数字特征 41 53.1 数学期望（均值）及中位数 。4。▣。4。▣。44。 53.1.1数学期望. 42 53.1.2数学期望的性质 44 53.13条件期望 45 531.4中位数 53.2方差、标准差和矩 48 $32.1方差和标准差 48 53.2.2矩. 49

8 ¹ 1Ù ¯‡†VÇ 1 §1.1 VÇØuÐ{¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §1.2 VÇØA‡ÄVg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §1.2.1 ‘ÅÁڑů‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §1.2.2 ¯‡$Ž . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 §1.2.3 VǽÂ95Ÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 §1.2.4 ^‡VÇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 §1.2.5 VÇúªÚBayesúª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 §1.2.6 ¯‡Õá5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1Ù ‘ÅCþ9Ù©Ù 13 §2.1 ‘ÅCþVg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 §2.2 lÑ.‘ÅCþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 §2.2.1 0-1©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 §2.2.2 ‘©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 §2.2.3 Poisson©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 §2.2.4 lÑþ!©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 §2.3 ëY.‘ÅCþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 §2.3.1 ©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 §2.3.2 ê©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 §2.3.3 þ!©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 §2.4 õ‘©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 §2.5 >©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 §2.6 ^‡©ÙڑÅCþÕá5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 §2.6.1 ^‡©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 §2.6.2 ‘ÅCþÕá5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 §2.7 ‘ÅCþ¼êVÇ©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1nÙ ‘ÅCþêiA 41 §3.1 êÆÏ"(þŠ)9¥ ê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 §3.1.1 êÆÏ" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 §3.1.2 êÆÏ"5Ÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 §3.1.3 ^‡Ï" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 §3.1.4 ¥ ê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 §3.2 !IOÚÝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 §3.2.1 ÚIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 §3.2.2 Ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 i

3.3协方差和相关系数 .·”. 50 331协方差. 50 53.3.2相关系数 60 3.4其他一些数字特征与相关函数.·····.··.···。· 535大数定律和中心极限定理. 53 3.5.1大数定律 。，。，。，。，。， 53.5.2中心极限定理.， 54 第四章数理统计的基本概念及抽样分布 公 4.1引言 54.1.1什么叫数理统计学 57 54.1.2数理统计学的应用 413统计学发展简史. 2 54.2数理统计的若干基本概念 63 54.2.1总体和样本 S4.2.2样本的两重性和简单随机样本 54.2.3 统计模型 64.2.4统计推断 67 54.3统计量 64.3.1统计量的定义. 68 $4.3,2若干常用的统计量 68 54.4三大分布一X2,，F分布及正态总体样本均值和样本方差的分布 69 54.4.1X2分布. 70 54.4.2t分布 72 64.4.3F分布 73 54.4.4正态总体样本均值和样本方差的分布 74 75 第五章参数估计 $5.1点估计 77 55.1.1矩估计方法 。，:。g:。,:。, 77 5.1,2极大似然估计方法············· 70 5.13点估计的优良准则 。·。 84 55.2.1置信区间 522置信界······· 87 55.2.3确定样本大小 88

§3.3 ڃ'Xê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 §3.3.1  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 §3.3.2 ƒ'Xê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 §3.4 Ù¦ êiA†ƒ'¼ê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 §3.5 Œê½ÆÚ¥%4½n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 §3.5.1 Œê½Æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 §3.5.2 ¥%4½n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1oÙ ênÚOÄVg9Ä©Ù 57 §4.1 Úó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 §4.1.1 ŸoênÚOÆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 §4.1.2 ênÚOÆA^ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 §4.1.3 ÚOÆuÐ{¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 §4.2 ênÚOeZÄVg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 §4.2.1 oNÚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 §4.2.2 ü­5Ú{ü‘Å . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 §4.2.3 ÚO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 §4.2.4 ÚOíä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 §4.3 ÚOþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 §4.3.1 ÚOþ½Â . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 §4.3.2 eZ~^ÚOþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 §4.4 nŒ©Ù—χ 2 , t, F©Ù9oNþŠÚ©Ù . . . . . . 69 §4.4.1 χ 2©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 §4.4.2 t©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 §4.4.3 F©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 §4.4.4 oNþŠÚ©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 §4.4.5 A‡­‡íØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1ÊÙ ëêO 77 §5.1 :O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 §5.1.1 ÝO{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 §5.1.2 4Œq,O{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 §5.1.3 :O`ûOK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 §5.2 «mO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 §5.2.1 &«m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 §5.2.2 &. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 §5.2.3 (½Œ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 ii

第六章假设检验 89 56.1 基本概念和问题的提法 89 56.1.1零假设，对立假设，两类错误，拒绝域，显著性水平，功效.·.··.。89 56.1.2假设检验问题的提法， 91 56.1.3检验统计量的选取及假设检验的步骤 92 s6.2重要参数检验 66.2.1 一样本正态总体均值和方差的检验 S6.22两样本正态总体的情形.·. 97 6623成对数据 99 6.2.401分布中未知参数p的假设检验 10 s6.3.1离散总体情形. 56.3.2列联表的独立性和齐一性检验 .103 56.3.3连续总体情形 104

18Ù bu 89 §6.1 ÄVgÚ¯KJ{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 §6.1.1 "b, éáb, üa†Ø, áý, wÍ5Y², õ . . . . . . . 89 §6.1.2 bu¯KJ{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 §6.1.3 uÚOþÀ9buÚ½ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 §6.2 ­‡ëêu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 §6.2.1 oNþŠÚu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 §6.2.2 üoNœ/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 §6.2.3 ¤éêâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 §6.2.4 0-1 ©Ù¥™ëêp bu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 §6.3 [Ü`Ýu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 §6.3.1 lÑoNœ/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 §6.3.2 éLÕá5Úà5u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 §6.3.3 ëYoNœ/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 iii

第一章事件与概率 教学目的： 1)掌握随机事件的概念和相关运算. 2)了解概率的不同定义，掌握古典概型的基本计算. 3)掌握条件概率的概念，熟练运用全概率公式和Bays公式 4)掌握事件独立的概念和有关运算. 1.1概率论发展简史 概率论起源于17世纪，现在公认是1654年Pascal与Fermat就赌博中的数学问题所展 开的讨论，在讨论中提出了一些基本概念，最典型的例子是如何分赌本的问题.两个赌 徒相约赌若干局，谁先赢s局就算谁赢.由此提出期望的概念.之后几个数学大家Huygens. Bernouli,J,De Moivre等研究了这个问题，Bernouli对频率与概率接近这一事实给予了 理论上的阐述.1812年Laplace在《分析概率论》中最早叙述了概率论的几个基本定理， 给出了古典概率的明确定义.1814年在《概率的哲学探讨》一书中，记载了一个有趣的统 计故事，根据伦敦、彼得堡、柏林和全法国的统计资料，得出几乎一致的男婴和女婴出生 的比例为22：21，即男婴比例为51.16%，或男婴与女婴的比值为104.76：100，可是统计1745 1784年整整40年巴黎男婴的出生率时，得到的比例为25：24(104.17：100)，调查研究后发现 巴黎人有遗弃男婴的陋习.1900年Hilbert在第二届世界数学家大会上提出了23个有名的 问题，主体是对新世纪数学发展方向的探讨.关于建立概率论的公理体系是他所提的 第六个问题“借助公理来研究那些在其中数学起重要作用的物理科学：首先是概率和力 学”.随后Poincare,.Borl等都对概率论公理体系的建立做出了努力，1933年苏联的大数 学家Kolmogorov(1903-1987)正式提出了概率论的公理体系.概率论从此得到迅速的发展 在此基础上，数理统计也得到了迅速的发展。 S1.2概率论的几个基本概念 1.2.1随机试验和随机事件 随机现象：自然界中的客观现象，当人们观测它时，所得结果不能预先确定，而仅仅 是多种可能结果之一 举例说明随机现象

1Ù ¯‡†VÇ Æ8µ 1) ݺ‘ů‡Vgڃ'$Ž. 2) )VÇØӽ§ݺ;V.ÄOŽ. 3) ݺ^‡VÇVg§Ùö$^VÇúªÚBayesúª. 4) ݺ¯‡ÕáVgÚk'$Ž. §1.1 VÇØuÐ{¤ VÇØå u17­V, y3ú@´1654cPascal†FermatÒÙÆ¥êƯK¤Ð m?Ø, 3?Ø¥JÑ ÄVg, ;.~f´XÛ©Ù¯K. ü‡Ù äƒÙeZÛ, XkIsÛҎXI. ddJÑÏ"Vg. ƒ￾A‡êƌ[Huygens, Bernouli, J, De Moivre ïÄ ù‡¯K, Bernouli éªÇ†VÇCù¯¢‰ƒ nØþã. 1812cLaplace 35©ÛVÇØ6¥@Qã VÇØA‡Ä½n, ‰Ñ ;VDz(½Â. 1814c35VÇóÆ&?6Ö¥, P1 ‡kÚ O¯, ŠâÔí!*!yÚ{IÚO], ÑAI?Úå?Ñ) '~22:21, =I?'~51.16%, ½I?†å?'Š104.76:100, Œ´ÚO1745- 1784c40cniI?Ñ)Ǟ, '~25:24 (104.17:100), NïÄ￾uy ni<k¢ïI?§S. 1900cHilbert 313­.êÆ[Œ¬þJÑ 23‡k¶ ¯K, ÌN´é#­VêÆuА•&?. 'uïáVÇØúnNX´¦¤J 18‡¯K“/Ïún5ïÄ@ 3Ù¥êÆ孇Š^Ôn‰Æ; Äk´VÇÚå Æ”. ‘￾Poincare, BorelÑéVÇØúnNXïá‰Ñ ãå, 1933c€éŒê Æ[Kolmogorov(1903-1987)ªJÑ VÇØúnNX. VÇØldׄuÐ, 3dÄ:þ, ênÚO ׄuÐ. §1.2 VÇØA‡ÄVg §1.2.1 ‘ÅÁڑů‡ ‘Åy: g,.¥*y, <‚*ÿ§ž, ¤(JØUýk(½, == ´õ«ŒU(Jƒ. Þ~`²‘Åy. 1