复变函数A习题课讲义 本科15级理科试验1班吴天 2018年12月8日
复变函数A习题课讲义 本科15级 理科试验1班 吴天 2018年12月8日
前言 复变函数是一门以研究单变量全纯函数的分析性质为主的一门数学分支，其理论主要包 括Cauchy的积分理论、Weierstrass的级数理论、Riemanne的几何理论.同学们在此课程之前已经学 习过了微积分的课程，其中有一些定积分是比较难以计算出解析结果的，而复变函数这门课程中的 留数定理可以有效地解决很多这种问题.对于一些微分方程，有的阶数较高，难以求解析解，如果通 过此门课程的拉普拉斯变换，可以将微积分运算转化为代数运算，因此可以大大简化微分方程的求 解过程.由此可见，复变函数的理论对于同学们将来从事物理方面的研究起者至关重要的作用. 本讲义为本门课程习题课的讲稿，主要以补充书本上没有的内容，以及强调重要内容为主， 适当补充一些数学系的专业内容供感兴趣的同学参考.每一讲的习题建议学习不太吃力的同学做 做，问题难度较大，也仅供感兴趣的同学参考.由于水平所限，谬误在所难免，还望广大同学批评 指正 2018秋-复变函数A助教吴天 2018年9月5日于中国科学技术大学
前 言 复变函数是一门以研究单变量全纯函数的分析性质为主的一门数学分支，其理论主要包 括Cauchy的积分理论、Weierstrass的级数理论、Riemann的几何理论. 同学们在此课程之前已经学 习过了微积分的课程，其中有一些定积分是比较难以计算出解析结果的，而复变函数这门课程中的 留数定理可以有效地解决很多这种问题. 对于一些微分方程，有的阶数较高，难以求解析解，如果通 过此门课程的拉普拉斯变换，可以将微积分运算转化为代数运算，因此可以大大简化微分方程的求 解过程. 由此可见，复变函数的理论对于同学们将来从事物理方面的研究起着至关重要的作用. 本讲义为本门课程习题课的讲稿，主要以补充书本上没有的内容，以及强调重要内容为主， 适当补充一些数学系的专业内容供感兴趣的同学参考. 每一讲的习题建议学习不太吃力的同学做一 做，问题难度较大，也仅供感兴趣的同学参考. 由于水平所限，谬误在所难免，还望广大同学批评 指正. 2018秋-复变函数A助教 吴天 2018年9月5日 于中国科学技术大学
目录 前言 i 常用记号 1复数的性质 1 2复平面的拓扑与初等函数 6 3调和函数的性质 9 4留数定理与积分计算 12 5解析函数性质的综合应用 参考文献
目 录 前 言 i 常用记号 iii 1 复数的性质 1 2 复平面的拓扑与初等函数 6 3 调和函数的性质 9 4 留数定理与积分计算 12 5 解析函数性质的综合应用 16 参考文献 19
常用记号 R 实数域 c 复数域 复数域的完备化CU{co} D 单位开圆盘{z:<1} D的内部 D的闭包 aD D的边界 B( o的r邻域 BR(o) 无穷远点的邻域 H(D) D上的解析函数族
常用记号 R 实数域 C 复数域 C1 复数域的完备化C S{1} D 单位开圆盘{z : |z| < 1} D D的内部 D D的闭包 @D D的边界 Br(z0) z0的r邻域 BR(1) 无穷远点的R邻域 H(D) D上的解析函数族
第1讲复数的性质 正式发车之前，我们需要先来一点开胃小莱 —某位车技高超的助教 事实上，同学们接触复数能够最早追溯到高中.但是，仅仅是复数本身的性质就值得好好研究 一番。本章先抛开复变函数一这门注重研究复变量函数的分析性质的学问，论述复数本身的性质 以及一些有趣的应用.首先，我们陈述下列几条常用而又漂亮的性质. 定理11取模运算是保乘法和取逆的，即=2,2=1 定理1.2（分部的Cauchy不等式）Re(a12)≤al2l.(事实上，它关于，2是对称的) 由定理1.2容易推得三角不等式，留作练习.由以上和教材出现过的性质，以及算子代数理论可 知：(C,山，×，)是一个C代数，且(C,+,×)是域，因此我们经常称之为复数域。 上述说法听起来很是专业，但这说明了℃具有极其优良的结构，以至于我们经常能够随心所欲 地把研究实数的方法推广到复数域中.从代数的角度来看，复数域相对于实数域是2维的，因此，每 一个复数都可以等价于某个平面直角坐标系中的点，即存在双射： p:C→R2,(2)=(,),其中z=x+ 而事实上，这个双射还是C到R作为线性空间的线性同构，而复数的辐角表示也的确对应于二维欧 式空间的极坐标表示.既然如此，我们可以用复数的方程表示平面图形. 例11试探究直线与圆用复数表示的方程. 解设B∈C代表一条直线的某个法向量，由于垂直向量的点乘为0，有：ReBz=C∈R. 整理，得：B:+Bz+C=0,其中B∈C,C=-2C∈R.反之证明其为直线是容易的， 设圆心为0，半径为R,则|2-0l=R,即运-02-0z+|02-2=0. 取A=1,B=-0,C=oP-肥，圆周方程为：A运+B元+Bz+C=0. 想要证明其逆命题，还需要A,C∈R,B∈C,BP>AC的条件，证明留作练习 注由于形式的一致性，我们通常把直钱视作园周。 1
第1讲 复数的性质 正式发车之前，我们需要先来一点开胃小菜. ——某位车技高超的助教 事实上，同学们接触复数能够最早追溯到高中. 但是，仅仅是复数本身的性质就值得好好研究 一番. 本章先抛开复变函数——这门注重研究复变量函数的分析性质的学问，论述复数本身的性质 以及一些有趣的应用. 首先，我们陈述下列几条常用而又漂亮的性质. 定理1.1 取模运算是保乘法和取逆的，即|z1z2| = |z1||z2|，|z1| = |z| 1. 定理1.2 (分部的Cauchy不等式) Re(z1z2) 6 |z1||z2|. (事实上，它关于z1, z2是对称的) 由定理1.2容易推得三角不等式，留作练习. 由以上和教材出现过的性质，以及算子代数理论可 知：(C, |·|, ⇥, ·) 是一个C⇤代数，且(C, +, ⇥)是域，因此我们经常称之为复数域. 上述说法听起来很是专业，但这说明了C具有极其优良的结构，以至于我们经常能够随心所欲 地把研究实数的方法推广到复数域中. 从代数的角度来看，复数域相对于实数域是2维的，因此，每 一个复数都可以等价于某个平面直角坐标系中的点，即存在双射： ' : C ! R2，'(z)=(x, y)，其中z = x + iy. 而事实上，这个双射还是C到R2作为线性空间的线性同构，而复数的辐角表示也的确对应于二维欧 式空间的极坐标表示. 既然如此，我们可以用复数的方程表示平面图形. 例1.1 试探究直线与圆用复数表示的方程. 解 设B 2 C代表一条直线的某个法向量，由于垂直向量的点乘为0，有：ReBz = Ce 2 R. 整理，得：Bz + Bz + C = 0，其中B 2 C，C = 2Ce 2 R. 反之证明其为直线是容易的. 设圆心为z0，半径为R，则|z z0| = R，即zz z0z z0z + |z0| 2 R2 = 0. 取A = 1, B = z0, C = |z0| 2 R2，圆周方程为：Azz + Bz + Bz + C = 0. 想要证明其逆命题，还需要A, C 2 R，B 2 C，|B| 2 > AC的条件，证明留作练习. 注 由于形式的一致性，我们通常把直线视作圆周. 1