邻域完全不属于集E,则M称为集E的外点. 如果集E的点全部是内点，则E称为开集.E的全部边界点的 集合称为E的边界.如果E的边界全属于E,则E称为闭集.如果 集E可以包含在原点的某个邻域内，则E称为有界集；否则，集E 称为无界集。 1.3.2区域与曲线 定义具有下列性质的非空点集D称为区域： 1)D是开集； 2)D中任意两点可以用一条全在D中的折线连接起来（连通 性). 区域D加上它的边界C后称为闭域，记为D=C十D. 为了研究区域的边界，下面介绍若尔当(Jordan)意义下的曲线 概念.设x(t)及y(t)是定义在[a,]上的连续函数，则由方程 I=x(t), (a≤t≤B) y=y(t) 或 之=x(t)=x(t)十iy(t)(a≤t≤) 所决定的点集！称为复平面上的一条连续曲线.设已给一条连续曲 线l,如果t1,t2是[a,]上两个不同的参数值，且它们不同时是 [α，]的端点，那么它们就对应着曲线l上不同的点，即x(1)≠ z(2),这样的曲线叫做若尔当曲线或简单曲线.一条若尔当曲线， 如果满足（α）=()，则称为若尔当闭曲线或简单闭曲线.由定义 可见，简单曲线是一条无重点的连续曲线。 显然，圆是一条简单闭曲线，它把平面分成两个没有公共点的 区域，其中一个有界，一个无界，并且这两个区域都以已给圆为边 界.任意一条简单闭曲线也把整个平面分成两个没有公共点的区 域，其中一个有界，称为它的内区域，一个无界，称为它的外区域， 这两个区域都以这条简单闭曲线作为边界.这个结果看来很直观， 但它的严格证明比较复杂，超出了本课程的范围.用简单闭曲线围 成的区域是比较简单的区域，也是通常所考虑的区域 17
邻域完全不属于集>!则; 称为集> 的外点! 如果集>的点全部是内点!则>称为开集!>的全部边界点的 集合称为> 的边界!如果>的边界全属于>!则> 称为闭集!如果 集>可以包含在原点的某个邻域内!则> 称为有界集&否则!集> 称为无界集! !"%"$ 区域与曲线 定义 具有下列性质的非空点集? 称为区域' !#? 是开集& $#? 中任意两点可以用一条全在? 中的折线连接起来"连通 性#! 区域? 加上它的边界5 后称为闭域!记为?0%5'?! 为了研究区域的边界!下面介绍若尔当"C:6D7<#意义下的曲线 概念!设""@#及#"@#是定义在-&!'.上的连续函数!则由方程 "&""@#! $#&#"@# "&'@''# 或 $&$"@#&""@#'##"@#"&'@''# 所决定的点集A称为复平面上的一条连续曲线!设已给一条连续曲 线A!如果@!!@$ 是-&!'.上两个不同的参数值!且它们不同时是 -&!'.的端点!那么它们就对应着曲线A上不同的点!即$"@!## $"@$#!这样的曲线叫做若尔当曲线或简单曲线!一条若尔当曲线! 如果满足$"&#%$"'#!则称为若尔当闭曲线或简单闭曲线!由定义 可见!简单曲线是一条无重点的连续曲线! 显然!圆是一条简单闭曲线!它把平面分成两个没有公共点的 区域!其中一个有界!一个无界!并且这两个区域都以已给圆为边 界!任意一条简单闭曲线也把整个平面分成两个没有公共点的区 域!其中一个有界!称为它的内区域!一个无界!称为它的外区域! 这两个区域都以这条简单闭曲线作为边界!这个结果看来很直观! 但它的严格证明比较复杂!超出了本课程的范围!用简单闭曲线围 成的区域是比较简单的区域!也是通常所考虑的区域! 2!
若尔当闭曲线的内区域D有这样一个性质：域D中任何简单 闭曲线的内区域中的每一点都属于D.一般地，我们把具有这种性 质的区域叫做单连通区域，简称单连域.不是单连通的区域称为多 连通区域。 复平面上的区域通常是由复数的实部、虚部、模及辐角的不等 式所确定的点集.例如，上半平面：mx>0,左半平面：Re<0,水 平带域：Ⅵ<mx<y2(y,2是实常数)，上半圆：|z<1,Im>0 (也可表示为0<arg之<π)，等等，都是单连通区域：而圆环：r< |z一a<R(r及R是正实常数)及去掉实数轴上的线段-l≤Re ≤1的竖直带域一2<Re<2(图1.5)是多连通区域.如果把一个 单连通域挖去若干个点，所得的区域也是多连通域.例如，α点的去 心邻域 0<|x-a1<6 即是二连通域，这种多连通域以后常用到.一般来说，多连通区域 的边界是由有限条闭曲线及一些割痕和点组成的（图1.6）. 图1.5 图1.6 习 1.计算下列各题： (1)(3-√3i)(3+5i): 18
若尔当闭曲线的内区域? 有这样一个性质'域? 中任何简单 闭曲线的内区域中的每一点都属于?!一般地!我们把具有这种性 质的区域叫做单连通区域!简称单连域!不是单连通的区域称为多 连通区域! 复平面上的区域通常是由复数的实部,虚部,模及辐角的不等 式所确定的点集!例如!上半平面'*+$-,!左半平面'()$),!水 平带域'#!)*+$)#$ "#!!#$ 是实常数#!上半圆'%$%)!!*+$-, "也可表示为,)764$)!#!等等!都是单连通区域&而圆环'1) %$&+%)= "1及= 是正实常数#及去掉实数轴上的线段&!'()$ '!的竖直带域&$)()$)$"图!"0#是多连通区域!如果把一个 单连通域挖去若干个点!所得的区域也是多连通域!例如!+点的去 心邻域 ,)%$(+%)( 即是二连通域!这种多连通域以后常用到!一般来说!多连通区域 的边界是由有限条闭曲线及一些割痕和点组成的"图!"1#! 图!'( 图!') 习!!题 !" 计算下列各题! "!#"-& -#槡 #"-' -#槡 #$ 8!
(2)(x-i√)(-x-2i√)； 3)年费 5i (4万- 2.用三角式及指数式表示下列复数，并求辐角的一般值： (1)x=2-2i: (2)z=-√3i; (3)=-合-： (4)z=1-cos0++isin0. 3.利用复数的三角式或指数式计算下列各题： (1)i(1-√5i)(√3+i): (2)(W3+i)-3: (3)1+五. 4.解下列方程： (1)3=-1+5i: (2)23=-i; (3)x=-1. 5.如果w是1的立方根中的一个复根，求证： 1+w十w2=0. 6.设x十iy=√a十ib,求x,y(这里，要求用a,b的代数式表 示x,y). 7.利用复数的指数式证明下列等式： sin(n+)o 含-号-a+ (0<0<π). = 2sin0 19
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8.证明： |名1+212十H-212=2(|112十|2|2)， 并说明其几何意义， 9.设n是正整数，a是已知复数，试求当||≤1时|”十a的 最大值. 10.)知米=1，证明=1： （2)如果e<1,a<1,证明<1 11.(1)证明： |+2十.十之n≥1-|2-.-|nl: (2)设0<ao≤1≤.≤an,证明：方程 P(z)=ao2+a121+.十a1之十an=0 在圆|z<1内无根. [提示：证明I(1-z)P(z)|>0(|<1).] 12.证明下列三个条件中的任意一个都是三点刘1,2,3共线 的充分必要条件： (①)二2=实数： 232一33 (2)2十2十31=实数； (3)存在不全为零的实数1，入2，入3，使得 +2十入3=0， 入13十22十λ33=0 13.知果|=|2=||=1，且十2十3=0.证明：1， ,构成一内接于单位圆的内接正三角形. 14.设1,2是两个复数.如果1十2和刘12都是实数，证 明：和2或者都是实数，或者是一对共轭复数. 15.设a,b是正方形的两个顶，点，求在所有可能情况下的其他 两个顶点。 16.下面的复数列是否有极限？如果有的话，求出其极限值： 如果没有，则说明理由： 20
8" 证明! %$! '$$%$ '%$! ($$%$ &$"%$!%$ '%$$%$#% 并说明其几何意义! =" 设)是正整数%+是已知复数%试求当%$%'!时%$) '+%的 最大值! !," "!#如果%$%%!%证明 $&+ !&+$$ %!$ "$#如果%$%)!%%+%)!%证明 $&+ !&+$$ )!! !!" "!#证明! %$! '$$ '&'$)%2%$!%(%$$%(&(%$)%$ !!"$#设,)+,'+!'&'+)%证明!方程 *"$#&+,$) '+!$)(! '&'+)(!$'+) &, 在圆%$%)!内无根! '提示!证明%"!&$#*"$#%-,"%$%)!#!( !$" 证明下列三个条件中的任意一个都是三点$!%$$%$- 共线 的充分必要条件! "!#$!&$$ $$&$- %实数$ "$#$$!$$'$$$$-'$$-$!%实数$ "-#存在不全为零的实数*!%*$%*-%使得 *! '*$ '*- &,% $*!$! '*$$$ '*-$- &,! !!!-" 如果%$!%%%$$%%%$-%%!%且$!'$$'$-%,!证明!$!% $$%$- 构成一内接于单位圆的内接正三角形! !." 设$!%$$ 是两个复数!如果$!'$$ 和$!$$ 都是实数%证 明!$! 和$$ 或者都是实数%或者是一对共轭复数! !0" 设+%,是正方形的两个顶点%求在所有可能情况下的其他 两个顶点! !1" 下面的复数列是否有极限) 如果有的话%求出其极限值$ 如果没有%则说明理由! ,$
,(到.（广. 81-g-g 1 (3)1,i,-1,-i,1,i,-1-i,. 17.设→o,arg表示主值.证明 (1)m→0； (2)当0不为零及负数时，argn→argw.又问，当o为零或 负数时结论如何？ (3)当0=∞时，上述结论是否成立？ 18.求满足下列关系的点之是什么曲线，并作图： (1)|x-a=|-bl: (2)ls-al+lz-bl=R(R>1b-al); (以上a,b为复常数，R为正实常数.) 3)Re1 1985 ④rgai (6)a (以上a为实常数.) 19.试在复平面上画出满足下列关系的点集的图形，其中哪些 关系确定的点集是区域？它们的边界是什么？ (1)Rez<2: (2)1m2≥3： (3)larg<牙： (④开<arg<号，且1<1<2， (5)0<arg(e-i)<晋 (6)2<1+1<3,且-2<Re≤2： 21
"!#-'.# 1 %-'.# " # 1 $ %&% -'.# " # 1 ) %&$ "$#!%# $%&! -%&# .%! 0%# 1%&! 2%&# 8%&$ "-#!%#%&!%&#%!%#%&!%&#%&! !2"设$)/$,%764$表示主值!证明! "!#$$)/$$,$ "$#当$, 不为零及负数时%764$)/764$,!又问%当$, 为零或 负数时结论如何) "-#当$,%B时%上述结论是否成立) !8" 求满足下列关系的点$是什么曲线%并作图! "!#%$&+%%%$&,%$ "$#%$&+%'%$&,%%= "=-%,&+%#$ "以上+%,为复常数%=为正实常数!# "-#()! $%&$ ".#764$&! $'!%&$ "0# $&! $'! %&! "以上&为实常数!# !=" 试在复平面上画出满足下列关系的点集的图形%其中哪些 关系确定的点集是区域) 它们的边界是什么) "!#()$)$$ "$#*+$2-$ "-#%764$%)! .$ ".#! .)764$)! -%且!)%$%)$$ "0#,)764"$&##)! 1$ "1#$)%$'!%)-%且&$)()$'- $$ !$