中国科学技术大学 2002一2003学年第二学期考试试卷 考试科目：概率论与数理统计 得分： 学生所在系： 姓名 学号： (考期：2003年6月30日，闭卷，可用计算器) 一、考虑如图所示的电路图： A 其中开关A、B、C、D、E是独立工作的，每个开关以概率p开着，以概率q-Ip 关着，求一个输入的信号在输出处被接收到的概率：如果一个信号被接收到，那么 开关E是开着的条件概率是多少？ 二、设(X,Y的联合密度函数为： fc0=60<x<1 求(1)常数C的值：（②）条件密度函数fv(xy)及frxCvlx):(3)讨论X与Y的独立 性和相关性。 三、在一家保险公司里有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内 个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领取1000元的保险金，问： ()保险公司亏本的概率多大？ (2)保险公司一年的利润不少于40000元、60000元的概率各多大？ 四、设(X,X2,.,X)是从总体X中抽取的一个简单随机样本，已知X的概率密度函 数为： f网=6o>8 其中8是未知参数，-o<日<0。 (1)试求8的极大似然估计©和矩估计a: (2)求常数c1和c2,使得c10-c2为0的无偏估计： (3)求常数c3和c4,使得c30-c4为8的无偏估计： (4)在均方误差意义下比较这两个无偏估计哪个更优。（注：上述常数可与n有关） 五、据信有一种疾病会导致病人的白细胞数目较常人少，假设正常人白细胞数服从均值 为7250（单位：个/位方毫米，下同）的正态分布，现有16个病人，其白细胞的样 本均值为4767，样本标准差为3204，根据这批数据能否认为这种疾病使白细胞数
ѣള〇ᆜᢶᵥཝᆜ 2002—2003 ᆜᒪㅢӂᆜᵕ㘹䈋䈋ভ 㘳䈅、ⴞ˖ᾲ⦷䇪оᮠ⨶㔏䇑 ᗇ ࠶ ˖ ᆖ⭏ᡰ൘㌫˖ ဃ ᆖ ਧ˖ ˄㘳ᵏ˖2003 ᒤ 6 ᴸ 30 ᰕˈ䰝ধˈਟ⭘䇑㇇ಘ˅ аǃ㘳㲁ྲമᡰ⽪Ⲵ⭥䐟മ˖ ަѝᔰޣ AǃBǃCǃDǃE ᱟ⤜・ᐕⲴˈ⇿њᔰޣԕᾲ⦷ p ᔰ⵰ˈԕᾲ⦷ q=1-p ޣ≳ˈ⵰ањ䗃ޕⲴؑਧ൘䗃ࠪ༴㻛᧕᭦ࡠⲴᾲ⦷˗ྲ᷌ањؑਧ㻛᧕᭦ࡠˈ䛓Ѹ ᔰޣ E ᱟᔰ⵰ⲴᶑԦᾲ⦷ᱟཊቁ˛ Ҽǃ䇮(ܺ, ܻ)Ⲵ㚄ਸᇶᓖ࠭ᮠѪ˖ ൜ = (ݕ ,ݔ)݂ ;1 < ݔ > 0, ݔ > |ݕ| ,ܿ ݏݎ݄݁ݐ ,0 ≲(1)ᑨᮠ C Ⲵ٬˗(2)ᶑԦᇶᓖ࠭ᮠ݂|(ݔ|ݕ(৺݂|(ݕ|ݔ)˗(3)䇘䇪 X о Y Ⲵ⤜・ ᙗ઼ޣᙗDŽ йǃ൘аᇦ؍䲙ޜਨ䟼ᴹ 10000 њӪ৲؍࣐䲙ˈ⇿Ӫ⇿ᒤԈ 12 ؍ݳ䲙䍩ˈ൘аᒤа њӪ↫ӑⲴᾲ⦷Ѫ 0.006ˈ↫ӑᰦަᇦਟੁ؍䲙ޜਨ亶ਆ 1000 ݳⲴ؍䲙䠁ˈ䰞˖ (1) ؍䲙ޜਨҿᵜⲴᾲ⦷ཊབྷ˛ (2) ؍䲙ޜਨаᒤⲴ࡙⏖нቁҾ 40000 ݳǃ60000 ݳⲴᾲ⦷ཊབྷ˛ ഋǃ䇮( , , , ) X1 X 2 " X n ᱟӾᙫփ X ѝᣭਆⲴањㆰঅ䲿ᵪṧᵜˈᐢ⸕ X Ⲵᾲ⦷ᇶᓖ࠭ ᮠѪ˖ ൜ = (ݔ)݂ ݁ି(௫ିఏ) ;ߠ < ݔ , ݏݎ݄݁ݐ ,0 ަѝߠᱟᵚ⸕৲ᮠˈെλ < Ʌ < λDŽ (1) 䈅≲ߠⲴᶱབྷլ❦ՠ䇑ߠՠ⸙઼䇑ߠ˗෨ (2) ≲ᑨᮠܿଵ઼ܿଶˈ֯ᗇܿଵߠ െ ܿଶѪߠⲴᰐٿՠ䇑˗ (3) ≲ᑨᮠܿଷ઼ܿସˈ֯ᗇܿଷߠ ෨െ ܿସѪߠⲴᰐٿՠ䇑˗ (4) ൘൷ᯩ䈟ᐞѹл∄䖳䘉єњᰐٿՠ䇑ଚњᴤՈDŽ˄⌘˖к䘠ᑨᮠਟо n ᴹޣ˅ ӄǃᦞؑᴹа⿽⯮⯵Պሬ㠤⯵ӪⲴⲭ㓶㜎ᮠⴞ䖳ᑨӪቁˈۇٴ䇮↓ᑨӪⲭ㓶㜎ᮠᴽӾ൷٬ Ѫ 7250˄অս˖њ/・ᯩ∛㊣ˈл਼˅Ⲵ↓ᘱ࠶ᐳˈ⧠ᴹ 16 њ⯵Ӫˈަⲭ㓶㜎Ⲵṧ ᵜ൷٬Ѫ 4767ˈṧᵜḷ߶ᐞѪ 3204ˈṩᦞ䘉ᢩᮠᦞ㜭䇔Ѫ䘉⿽⯮⯵֯ⲭ㓶㜎ᮠ A C B D E
目减少？（显著性水平为a=0.05) 自由度为n的t分布的p分位数表 n0.90 0.95 0.975 0.99 151.3411.7532.1312.602 1613371.7462.1202.583 六、在0，]区间上随机独立地投掷两点，设X与Y分别表示这两点的坐标，试求这两 点间距离的概率密度函数、数学期望和方差
p ⴞ߿ቁ˛˄ᱮ㪇ᙗ≤ᒣѪߙ = 0.05˅ 㠚⭡ᓖѪ n Ⲵ t ࠶ᐳⲴ p ࠶սᮠ㺘 n 0.90 0.95 0.975 0.99 15 1.341 1.753 2.131 2.602 16 1.337 1.746 2.120 2.583 ޝǃ൘[0,1]४䰤к䲿ᵪ⤜・ൠᣅ᧧є⛩ˈ䇮 X о Y ࡛࠶㺘⽪䘉є⛩Ⲵḷˈ䈅≲䘉є ⛩䰤䐍Ⲵᾲ⦷ᇶᓖ࠭ᮠǃᮠᆖᵏᵋ઼ᯩᐞDŽ
中国科学技术大学 2003一2004学年第一学期考试试卷 考试科目：概率论与数理统计 得分： 学生所在系： 姓名 学号： (考期：2004年1月8日，闭卷，可用计算器 一、甲、乙、丙三人独立地向靶子各射击一次，其命中率分别为0.6、0.5和0.4，现已知 恰有两人命中靶子，问： (1)此两人中包括丙的可能性大，还是不包括丙的可能性大？ (2)此两人中包括乙的可能性大，还是包括丙的可能性大？（要求写出计算过程〉 二、某种商品一周的需求量是个随机变量，其概率密度为： fo=6e8 各周的需求量相互独立，试求 (1)两周需求量的概率密度： (2)三周需求量的概率密度。 三、利用中心极限定理求解： (1)设计算机在进行加法运算时，每次取整的误差相互独立，且服从0.5,0.5]止的均 匀分布，若婴保证误差总和的绝对值不超过20的概率大于或者等于095，问至多只 能进行多少次加法运算？ (2)lmnm张-oe-n=2 四、设样本(X1,X2,.,X)抽自总体x~fx;),其中： fx:9)=e号，x>9:0eR) (1)试求8的矩估计6和极大似然估计'： (2)验证和日是否为9的无偏估计，若不是无偏估计，试将其分别修正为无偏估 计0，和02 (3)比较a1和2何者为优？ 五、为考察钢铁工人和电厂工人平均工资的差别，从两厂各抽取若干工人调查，结果如 下 钢厂：74.65,72,69（元） 电厂：75,7874,76,72（元） 若钢厂工人与电厂工人工资分别服从正态分布N(4,)与N(2,),总体独立且均 值方差未知，试据上述数据判断： (1)是否可以认为a=经？(a=0.05) (2)钢铁工人平均工资是否低于电厂工人平均工资？(a=0.05)
ѣള〇ᆜᢶᵥཝᆜ 2003—2004 ᆜᒪㅢжᆜᵕ㘹䈋䈋ভ 㘳䈅、ⴞ˖ᾲ⦷䇪оᮠ⨶㔏䇑 ᗇ ࠶ ˖ ᆖ⭏ᡰ൘㌫˖ ဃ ᆖ ਧ˖ ˄㘳ᵏ˖2004 ᒤ 1 ᴸ 8 ᰕˈ䰝ধˈਟ⭘䇑㇇ಘ˅ аǃ⭢ǃ҉ǃщйӪ⤜・ൠੁ䶦ᆀሴࠫа⅑ˈަભѝ⦷࡛࠶Ѫ 0.6ǃ0.5 ઼ 0.4.⧠ᐢ⸕ ᚠᴹєӪભѝ䶦ᆀˈ䰞˖ ˄1˅↔єӪѝवᤜщⲴਟ㜭ᙗབྷˈ䘈ᱟнवᤜщⲴਟ㜭ᙗབྷ˛ ˄2˅↔єӪѝवᤜ҉Ⲵਟ㜭ᙗབྷˈ䘈ᱟवᤜщⲴਟ㜭ᙗབྷ˛˄㾱≲߉ࠪ䇑㇇䗷〻˅ ҼǃḀ⿽୶૱аઘⲴ䴰≲䟿ᱟњ䲿ᵪਈ䟿ˈަᾲ⦷ᇶᓖѪ˖ ൜ = (ݐ)݂ 0 > ݐ,௧݁ିݐ 0, ݐ 0 ઘⲴ䴰≲䟿ӂ⤜・ˈ䈅≲˖ ˄1˅ єઘ䴰≲䟿Ⲵᾲ⦷ᇶᓖ˗ ˄2˅ йઘ䴰≲䟿Ⲵᾲ⦷ᇶᓖDŽ йǃ࡙⭘ѝᗳᶱ䲀ᇊ⨶≲䀓˖ ˄1˅䇮䇑㇇ᵪ൘䘋㹼࣐⌅䘀㇇ᰦˈ⇿⅑ਆᮤⲴ䈟ᐞӂ⤜・ˈфᴽӾ[-0.5,0.5]кⲴ൷ र࠶ᐳˈ㤕㾱؍䇱䈟ᐞᙫ઼Ⲵ㔍ሩ٬н䎵䗷 20 Ⲵᾲ⦷བྷҾᡆ㘵ㅹҾ 0.95ˈ䰞㠣ཊਚ 㜭䘋㹼ཊቁ⅑࣐⌅䘀㇇˛ ˄2˅ ݈݅݉՜ஶ σ ೖ ! ݁ି =? ୀ ഋǃ䇮ṧᵜ( , , , ) X1 X 2 " X n ᣭ㠚ᙫփܺ~݂(ݔ ;ߠަˈ(ѝ˖ ଵ) = ߠ ;ݔ)݂ ଶ ݁ିೣషഇ (ܴ א ߠ ;ߠ < ݔ) , మ ˄1˅ 䈅≲ߠⲴ⸙ՠ䇑ߠ઼ᶱབྷլ❦ՠ䇑כߠ ˗ כߠ઼ߠ傼䇱˅ 2˄ ᱟѪߠⲴᰐٿՠ䇑ˈ㤕нᱟᰐٿՠ䇑ˈ䈅ሶަ؞࡛࠶↓Ѫᰐٿՠ ߠ䇑 ߠ઼ଵ ଶ˗ ˄3˅ ∄䖳ߠ ߠ઼ଵ ଶօ㘵ѪՈ˛ ӄǃѪ㘳ሏ䫒䫱ᐕӪ઼⭥লᐕӪᒣ൷ᐕ䍴Ⲵᐞ࡛ˈӾєলᣭਆ㤕ᒢᐕӪ䈳ḕˈ㔃᷌ྲ л˖ 䫒ল˖74ˈ65ˈ72ˈ69˄ݳ˅ ⭥ল˖75ˈ78ˈ74ˈ76ˈ72˄ݳ˅ 㤕䫒লᐕӪо⭥লᐕӪᐕ䍴࡛࠶ᴽӾ↓ᘱ࠶ᐳܰ(ߤଵ, ߪଵ ଶ)оܰ(ߤଶ, ߪଶ ଶ)ˈᙫփ⤜・ф൷ ٬ᯩᐞᵚ⸕ˈ䈅ᦞк䘠ᮠᦞࡔ˖ᯝ ˄1˅ ᱟਟԕ䇔Ѫߪଵ ଶ = ߪଶ ଶ˛˄ߙ = 0.05˅ ˄2˅ 䫒䫱ᐕӪᒣ൷ᐕ䍴ᱟվҾ⭥লᐕӪᒣ൷ᐕ䍴˛˄ߙ = 0.05˅
中国科学技术大学 2003一2004学年第二学期考试试卷 考试科目：概率论与数理统计 得分： 学生所在系： 姓名」 学号： (考期：2004年6月25日，闭卷，可用计算器) 一、判断和填空： (1)设PA)=0,则A为不可能事件。 (2)设XY)服从二元正态，Cov(X.Y0,则X、Y相互独立。 (3)设X、Y相互独立，则X、Y的联合分布可以由X和Y的边缘分布唯一确 定。 (4)设X1,.,Xn为从同一个总体中抽取的一个样本，则max(X,Xn) mim(X1,.,Xn)+3是统计量。 (5)设0>0，X的概率分布函数为： 0 x5u 则随机变量X的密度函数为()。 (6)设X、Y服从单位圆x2+y2≤1上的均匀分布，则在给定Y0.5条件下的 X的条件密度函数为()。 (7)设X和Y相互独立，它们的均值全为0，方差全为1，记V=XY,则X与 V的相关系数为() 二、求：(1)PX=2X=):(2X2+Y2的分布，其中X、Y的联合分布如下： -1 0 1 2 0.120.080.30 0.15 1 0.080.22 0 0.05 三、设X服从期望为2的指数分布，Y服从(0,1)上的均匀分布，且X与Y相互独立， 求：(1)X-Y的概率密度函数：(2)PX<Y)。 四、桌上有三个盒子，在甲盒中装有2支红芯圆珠笔，4支蓝芯圆珠笔，乙盒中装有 支红芯圆珠笔，2支蓝芯圆珠笔，丙盒中装有3支红芯圆珠笔，3支蓝芯圆珠笔 今从三个盒子中任取一支笔，设甲乙丙三盒取笔的概率相等。试求： (1)取得红笔的概率：(2)在已知取得红笔的条件下，问笔从哪个盒子中取出的概 率最大？ 五、某工厂生产线甲根据专利生产灯泡，生产线乙根据本厂原有技术生产。现分别在生 产线甲和乙两条生产线各抽取8个灯泡，测得其寿命分别为（千小时）： 对生产线甲：10,9,3,11,5,7,9,11： 对生产线乙：4,9,6,5,3,5,7,7： 设灯泡寿命服从正态分布，且方差相等。试分别在显著性水平a=0.05和a=0.01下 检验生产线甲的灯泡是否比生产线乙生产的寿命要长
Y ѣള〇ᆜᢶᵥཝᆜ 2003—2004 ᆜᒪㅢӂᆜᵕ㘹䈋䈋ভ 㘳䈅、ⴞ˖ᾲ⦷䇪оᮠ⨶㔏䇑 ᗇ ࠶ ˖ ᆖ⭏ᡰ൘㌫˖ ဃ ᆖ ਧ˖ ˄㘳ᵏ˖2004 ᒤ 6 ᴸ 25 ᰕˈ䰝ধˈਟ⭘䇑㇇ಘ˅ аǃࡔ઼ᯝປオ˖ ˄1˅ 䇮 P(A)=0ˈࡉ A Ѫнਟ㜭һԦDŽ ˄2˅ 䇮(X,Y)ᴽӾҼݳ↓ᘱˈCov(X,Y)=0,ࡉ XǃY ӂ⤜・DŽ ˄3˅ 䇮 XǃY ӂ⤜・ˈࡉ XǃY Ⲵ㚄ਸ࠶ᐳਟԕ⭡ X ઼ Y Ⲵ䗩㕈࠶ᐳୟа⺞ ᇊDŽ ˄4˅ 䇮ܺଵ, ڮ ܺ, ѪӾ਼ањᙫփѝᣭਆⲴањṧᵜˈࡉܽ݉ݔܺ)ଵ, ڮ (ܺ, െ ݉݅݊(ܺଵ, ڮ+(ܺ, 3 ᱟ㔏䇑䟿DŽ ˄5˅ 䇮Ʌ > 0ˈX Ⲵᾲ⦷࠶ᐳ࠭ᮠѪ˖ ൝ = (ݔ)ܨ 1 െ ݁ݔ ቄെ ݔ െ ߤ ቅ ߠ ߤ > ݔ , 0 ߤ ݔ , ࡉ䲿ᵪਈ䟿 X Ⲵᇶᓖ࠭ᮠѪ˄˅DŽ ˄6˅ 䇮 XǃY ᴽӾঅսശݔଶ + ݕଶ 1кⲴ൷र࠶ᐳˈࡉ൘㔉ᇊ Y=0.5 ᶑԦлⲴ X ⲴᶑԦᇶᓖ࠭ᮠѪ˄˅DŽ ˄7˅ 䇮 X ઼ Y ӂ⤜・ˈᆳԜⲴ൷٬ޘѪ 0ˈᯩᐞޘѪ 1ˈ䇠 V=X-Yˈࡉ X о V Ⲵޣ㌫ᮠѪ˄˅DŽ Ҽǃ≲˖˄1˅P(Y=2|X=1)˗(2)ܺଶ + ܻଶⲴ࠶ᐳˈަѝ XǃY Ⲵ㚄ਸ࠶ᐳྲл˖ X -1 0 1 2 -1 0.12 0.08 0.30 0.15 1 0.08 0.22 0 0.05 йǃ䇮 X ᴽӾᵏᵋѪ 2 Ⲵᤷᮠ࠶ᐳˈY ᴽӾ(0,1)кⲴ൷र࠶ᐳˈф X о Y ӂ⤜・ˈ ≲˖˄1˅X-Y Ⲵᾲ⦷ᇶᓖ࠭ᮠ˗˄2˅P(X<Y)DŽ ഋǃṼкᴹйњⴂᆀˈ൘⭢ⴂѝ㻵ᴹ 2 ᭟㓒㣟ശ⨐ㅄˈ4 ᭟㬍㣟ശ⨐ㅄˈ҉ⴂѝ㻵ᴹ 4 ᭟㓒㣟ശ⨐ㅄˈ2 ᭟㬍㣟ശ⨐ㅄˈщⴂѝ㻵ᴹ 3 ᭟㓒㣟ശ⨐ㅄˈ3 ᭟㬍㣟ശ⨐ㅄˈ ӺӾйњⴂᆀѝԫਆа᭟ㅄˈ䇮⭢҉щйⴂਆㅄⲴᾲ⦷ㅹDŽ䈅≲˖ ˄1˅ਆᗇ㓒ㅄⲴᾲ⦷˗˄2˅൘ᐢ⸕ਆᗇ㓒ㅄⲴᶑԦлˈ䰞ㅄӾଚњⴂᆀѝਆࠪⲴᾲ ⦷ᴰབྷ˛ ӄǃḀᐕল⭏ӗ㓯⭢ṩᦞу࡙⭏ӗ⚟⌑ˈ⭏ӗ㓯҉ṩᦞᵜলᴹᢰᵟ⭏ӗDŽ⧠࡛࠶⭏൘ ӗ㓯⭢઼҉єᶑ⭏ӗ㓯ᣭਆ 8 њ⚟⌑ˈ⍻ᗇަሯભ࡛࠶Ѫ˄ॳሿᰦ˅˖ ሩ⭏ӗ㓯⭢˖10ˈ9ˈ3ˈ11ˈ5ˈ7ˈ9ˈ11˗ ሩ⭏ӗ㓯҉˖4ˈ9ˈ6ˈ5ˈ3ˈ5ˈ7ˈ7˗ 䇮⚟⌑ሯભᴽӾ↓ᘱ࠶ᐳˈфᯩᐞㅹDŽ䈅࡛࠶൘ᱮ㪇ᙗ≤ᒣߙ = 0.05઼ߙ = 0.01л Ự傼⭏ӗ㓯⭢Ⲵ⚟⌑ᱟ∄⭏ӗ㓯҉⭏ӗⲴሯભ㾱䮯DŽ
六、设总体X服从(1，日+1)上的均匀分布，X,Xn为总体X中抽取的一个样本。试求： (1)求8的矩估计1和极大似然估计©2： (2)A,和A2是否为9的无偏估计，若不是，请加以修正： (3)A,=28。-2是0的无偏估计，其中A。=2+W4+t2,问，的修正（如果需 n+ 要修正的话)和3哪个更有效？
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