高等学校教学参考书 复变函数习题集 范宜传彭清泉编 55 人人名A“放站
序言 本习题集可作为理工科大学与师范院校有关复变函数论课程 的教学参考书；对于自修复变函数论的读者，也可作为一本辅助性 的读物.它的内容有四个部分，编排的顺序如下：每一章节的开 始，摘有基本知识提要，帮助读者复习；其次，选取了一定数量的例 题，供读者演题时参考；再次，安排大量的习题；最后，附有大部分 习题的提示、答案或解答.为了弥补某些题目没有给出解答，在附 录Ⅱ中列出主要参考书目，以便读者查阅。 本习题集的初稿写于一九六二年，这次付印前作了修订，但 限于编者的水平，书中一定存在许多不妥之处与错误，殷切地期 待使用本书的老师与读者们批评指正. 本习题集的编写，曾得到武汉大学李国平教授，南京大学叶 南薰教授、郑维德副教授热情鼓励，以及华侨大学数学系一些同 志的帮助，在此谨向他们表示衷心的感： 编者 一九七九年六月
录 序言 第一章复数 多上。复数的盐本运算，模与幅角.一】 2.复数序列与级数.测地投影.3 第二章.复变函数 月1、复变函数的极限与连续性.22 景2.复变函数的导数.25 第三章初等函数与它所构成的映射 §1.初等超越函数的定义与它的基本性质.33 52.导数的儿何意义，保角映射的概念.39 写3.初等函数所构成的映射.43 第四章积分 写1.复变积分. .58 2.哥西定理与哥西积分公式.63 第五章一致收敛性 图数项序列与级数，无穷乘积，含参变量的积分.75 第六章幕级数与它的应用 正则函数的展开，最大模原理，施瓦兹引理.88 第七章单值函数的奇点 §1.罗朗级数与孤立奇点的分类.113 写2.整函数与半纯函数.125 第八章残数与它的应用 多1，残数的计算与残数基本定理.136 员2。残数在实积分计算上的应用.144 $3。残数的其他应用（正则函数零点的分布，半纯函数的展开， 级数的求和).+.156 ·
第九章解析延拓与多值函数 1.解折延拓.164 S2。多值函数与它的黎曼曲面.173 第十章保角映射（续） §1，保角映射的一般原理. .180 §2。多角形映射的施瓦兹-克利斯托弗尔公式.188 S3。单叶映射的性质.198 第十一章伽马函数T(z).203 附录I提示与答案.11 附录夏主要参考书.279 附录厘人名对照表.281 ·2●
第一章复 数 §1.复数的基本运算，模与幅角 (一)设心、y是两个实数，则由它们组成的表示式x十称 为复数，记为a: =x+划(i=/-1), 其中x称为2的实部，y称为2的虚部，分别记作 x=Rez,y=Imz. 我们称x一为名的共轭数，记作元.两个复数1=x十1 与22=x2+2,当且仅当=2,1=时，才说它们相等. 关于复数的四则运算定义如下： 加法：1十2=(x1+x)十i(1+2), 减法：1-22=（一）十i(1-), 乘法：2=(x1一1y2)+i(12十1r2）, 显然，如上定义的加法与乘法，其运算满足交换律、结合律及乘法 对加法的分配律. 除法：设2≠0，则L-2坐+2二驰 22x经十行 x十y (二)当考虑笛卡尔坐标平面xOy时，那么，在平面上每一 个具有坐标(x,)的点便与复数2=x+划之间建立了一一对应 的关系.再者，注意到平面上的每一点又都对应于一个完全确定 的向量一这个点的向径；反之，平面上每一向径，也都对应干 一个完全确定的点一这个向径的终点.因此，我们也可以用 平面上的向径来表示复数.对应于2的向径的长度T称为复数 2的模，记作|；由Ox轴的正向转到和该向径的方向一致时所 ·1·