连续，就称f(z)在区域D中连续。 ↑y 1w=代z) x 图2.3 定理函数f()=u(x,y)十iw(x,y)在点=xo十i%处连 续的充分必要条件是u(x,y)和v(x,y)作为二元函数在(xo·%)处 连续. 证由不等式 |u(x,y)-u(xo,%)|(或|(x,y)-v(xo,y%)|) ≤|f()-f() u(y)-u(zo.yo)()-v(o,) 立即得知，等式 limf(z)=f(zo) 和下面两个等式 wi四w》=uow） 仑 ignw,》=w） 等价，因而定理得证 上面引进的复变函数的极限和连续性的定义与实变数函数的 极限和连续性的定义在形式上完全相同，因此，高等数学中证明过 的关于连续函数的和、差、积、商（分母不为零的点）及复合函数仍 然连续的定理依然成立，由此，即可断定幂函数 w=”(n为正整数) 2
连续!就称B"$#在区域? 中连续! 图$'% 定理 函数B"$#%C""!##'#D""!##在点$,%",'##, 处连 续的充分必要条件是C""!##和D""!##作为二元函数在"",!#,#处 连续! 证 由不等式 %C""!##(C"",!#,#%"或%D""!##(D"",!#,#%# '%B"$#(B"$,#% '%C""!##(C"",!#,#%'%D""!##(D"",!#,#% 立即得知!等式 A#+$/$, B"$#&B"$,# 和下面两个等式 " A#+ "!##/"",!#,# C""!##&C"",!#,# 及 " A#+ "!##/"",!#, D# ""!##&D"",!#,# 等价!因而定理得证! 上面引进的复变函数的极限和连续性的定义与实变数函数的 极限和连续性的定义在形式上完全相同!因此!高等数学中证明过 的关于连续函数的和,差,积,商"分母不为零的点#及复合函数仍 然连续的定理依然成立!由此!即可断定幂函数 0 &$) ")为正整数# 2$
连续；更一般地，多项式 P(z)=ao2+a121+.十an 是全平面上的连续函数；而有理函数 R(e)=a士a1十+a b0m十b1+.十b 除去若干个使分母为零的点外，在全平面上处处连续」 2.3导数和解析函数的概念 复变数函数的导数的概念，从形式上看，与实变数函数的导数 概念完全相同. 定义1设0=f(x)在点x的某个邻域U内有定义，x十△：∈ U.如果极限 mfe+A)-f △x 存在，就称函数f()在点：可微，而且这个极限称为f(:)在点： 的号数或微商，记为f().兰或密即 fe)=m+-1② (1) 设f(z)在点：可微，令 a=)-f(-(), △≈ ling0. 所以 f(x+△z)-f(x)=f(x)△e+o(|△xI), (2) 其中，o(|△：)=a△：是|△的高阶无穷小量.由(2)式立即得到 limf(x+△x)=f(z). 这就证得，若f(x)在点x可微，则在此点连续. 定义2如果f(x)在区域D内的每一点可微，则称f(x)在D 内解析，或者说f(x)是D内的解析函数；如果f(x)在点的某个 28
连续&更一般地!多项式 *"$#&+,$) '+!$)(! ')'+) 是全平面上的连续函数&而有理函数 ="$#&+,$) '+!$)(! ')'+) ,$4 ',!$4(! ')',4 除去若干个使分母为零的点外!在全平面上处处连续! $"- 导数和解析函数的概念 复变数函数的导数的概念!从形式上看!与实变数函数的导数 概念完全相同! 定义! 设0%B"$#在点$的某个邻域F 内有定义!$'"$" F!如果极限 A#+"$/, B"$'"$#(B"$# "$ 存在!就称函数B"$#在点$可微!而且这个极限称为B"$#在点$ 的导数或微商!记为BE"$#!DB D$或D0 D$!即 BE"$#&A#+"$/, B"$'"$#(B"$# "$ ! "!# !!设B"$#在点$可微!令 &&B"$'"$#(B"$# "$ (BE"$#! 则 A#+"$/, &&,! 所以 B"$'"$#(B"$#&BE"$#"$'G"%"$%#! "$# 其中!G"%"$%#%&"$是%"$%的高阶无穷小量!由"$#式立即得到 A#+"$/, B"$'"$#&B"$#! 这就证得!若B"$#在点$可微!则在此点连续! 定义$ 如果B"$#在区域? 内的每一点可微!则称B"$#在? 内解析!或者说B"$#是? 内的解析函数&如果B"$#在点$, 的某个 8$
邻域内可微，则称f(x)在点解析：如果f(z)在点，不解析，则 0称为f(z)的奇点. 由定义可见，函数的解析性概念是与一个区域联系在一起的， 即使是说到f(:)在点解析，也是指它在的某个邻域内解析 由于区域是开集，所以函数在区域内解析和函数在区域内每一点 解析的说法是等价的.解析函数是复变函数中一类加了很强条件 的函数，它有许多完美的性质，将在以后各章中陆续讨论 例1幂函数w=(n为自然数)是全平面上的解析函数，且 事实上，由二项式定理，有 （y=+42-2 =画[CA:+C(ar+.+(a] =e-1.0 198 这说明心=”在全平面上每一点都可微，因而是全平面上的解析 函数 例2证明：函数0=x十i认y在全平面上每一点都不可微，这 里，入为复常数，且入≠1. 证由所设，对任意点，有 Aw=x+△z)+Cy+△y)-x-iy △ △x+i△y =4红十△y △x+i△y 当△2沿实轴方向（即令△y=0,这时△=△x)趋于零时，它趋于1； 而让△：沿虚轴方向（即△：=i△y)趋于零时，它趋于λ≠1.所以，当 △一0时，兴的极限不存在，即不存在导数。 由于复变函数的导数定义在形式上与实变数函数的定义完全 一样，因此，关于微商运算的基本法则也与实变函数的情形相同. 现将几个求导法则罗列如下： 29
邻域内可微!则称B"$#在点$, 解析&如果B"$#在点$, 不解析!则 $, 称为B"$#的奇点! 由定义可见!函数的解析性概念是与一个区域联系在一起的! 即使是说到B"$#在点$, 解析!也是指它在$, 的某个邻域内解析! 由于区域是开集!所以函数在区域内解析和函数在区域内每一点 解析的说法是等价的!解析函数是复变函数中一类加了很强条件 的函数!它有许多完美的性质!将在以后各章中陆续讨论! 例! 幂函数0%$)")为自然数#是全平面上的解析函数!且 D$) D$ &)$)(!! !!事实上!由二项式定理!有 "$)#E&A#+"$/, "$'"$#) ($) "$ &A#+"$/, ! "$ -5! )$)(! "$'5$ )$)($""$#$ ')'""$#). &)$)(!! 这说明0%$) 在全平面上每一点都可微!因而是全平面上的解析 函数! 例$ 证明'函数0%"'#*#在全平面上每一点都不可微!这 里!*为复常数!且*#!! 证 由所设!对任意点$!有 "0 "$& ""'""#'#*"#'"##("(#*# ""'#"# & ""'#*"# ""'#"#! 当"$沿实轴方向"即令"#%,!这时"$%""#趋于零时!它趋于!& 而让"$沿虚轴方向"即"$%#"##趋于零时!它趋于*#!!所以!当 "$/,时!"0 "$的极限不存在!即不存在导数! 由于复变函数的导数定义在形式上与实变数函数的定义完全 一样!因此!关于微商运算的基本法则也与实变函数的情形相同! 现将几个求导法则罗列如下' =$
1)[f(x)±g()]'=f()±g'(x): 2)[f(x)g(x]'=f(x)g(z)+f(x)g'(x): 3)[g号]=toF)-fege][se≠o: 4){f[g(x]/=f()g(),这里，u=g(x): 0,这里，w=f八：)与=g()是两个互为反函 1 5)f(x)= 数的单值函数，且o'()≠0. 当然，这些法则的成立，要求各式右边出现的微商都存在.这 些公式的证明建议由读者自己来完成. 根据这些法则及”的可微性，我们立刻可以断定，多项式 P(z)=ao"+a1l十.十an 是全平面上的解析函数；有理函数 -丰轻 除掉分母为零的点外，也在全平面上处处解析 2.4柯西-黎曼方程 前面已经讲过，复函数f()=u(x,y)十io(x,y)在点之= x十iy连续，等价于二元函数u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)连续.函 数f(z)在点之可微，自然也与u(x,y)和o(x,y)在点(x,y)的可微 性有关，但两者却不等价.例如，2.3节例2中讨论的函数f(x) x十认y(入≠1)，它的实部u=x及虚部v=入y在全平面上处处可 微，而复函数f()=x十认y却处处不可导.那么，为使f()可微， 还要对，v添加什么条件呢？下面的定理回答了这个问题. 定理1函数f(x)=u(x,y)十iw(x,y)在点=x十iy可微的 充分必要条件是： 1)二元函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)可微； 2)u(x,y)及(x,y)在点(x,y)满足柯西-黎曼方程（简称C-R 方程) 30
!#-B"$#/H"$#.E%BE"$#/HE"$#& $#-B"$#H"$#.E%BE"$#H"$#'B"$#HE"$#& -# B"$# - . H"$#E% ! H$"$# -H"$#BE"$#&B"$#HE"$#.-H"$##,.& .#$B-H"$#.%E%BE"0#HE"$#!这里!0%H"$#& 0#BE"$#% ! !E"0# !这里!0%B"$#与$%!"0#是两个互为反函 数的单值函数!且!E"0##,! 当然!这些法则的成立!要求各式右边出现的微商都存在!这 些公式的证明建议由读者自己来完成! 根据这些法则及$) 的可微性!我们立刻可以断定!多项式 *"$#&+,$) '+!$)(! ')'+) 是全平面上的解析函数&有理函数 ="$#&+,$) '+!$)(! ')'+) ,$4 ',!$4(! ')',4 除掉分母为零的点外!也在全平面上处处解析! $". 柯西9黎曼方程 前面已经讲过!复函数B"$#%C""!##'#D""!##在点$% "'##连续!等价于二元函数C""!##和D""!##在点""!##连续!函 数B"$#在点$可微!自然也与C""!##和D""!##在点""!##的可微 性有关!但两者却不等价!例如!$"-节例$中讨论的函数B"$#% "'#*#"*#!#!它的实部C%"及虚部D%*#在全平面上处处可 微!而复函数B"$#%"'#*#却处处不可导!那么!为使B"$#可微! 还要对C!D添加什么条件呢0 下面的定理回答了这个问题! 定理! 函数B"$#%C""!##'#D""!##在点$%"'##可微的 充分必要条件是' !#二元函数C""!##!D""!##在点""!##可微& $#C""!##及D""!##在点""!##满足柯西9黎曼方程"简称EF( 方程# ,-
tay 证先证必要性.设f()在点之=x十y可微，记f(z)= a十b,则由2.3节的(2)式，有 f(x+△2)-f(z)=(a+ib)△2+o(|△~|) =(a+ib)(△x十i△y)+o(o).(1) 其中，△z=△x十i△y,p=|△z|=√（△x)2+(△y)严，这里，△x及△y 是实增量.(1)式两边分别取实部及虚部，就得到 u(x+△x,y+△y)-u(x,y)=a△x-b△y+o(p),(2) (x+△x,y+△y)-(xy)=bAx+a△y+o(p).(3) 这就是说，二元函数u(x,y)及v(x,y)在点(x,y)可微，并且 au-b, x-b,ay-a. 从而 (4) 再考虑条件的充分性.容易看出，上述推导是可逆的.事实上， 由于(4)式成立，且二元函数(x,y)及o(x,y)可微，从而(2)式及 (3)式成立，(2)+i×(3)即得(1)式.这就证得f()在点：有导数 a十i边. 由上面的讨论可见，当定理1的条件满足时，可按下列公式中 的任意一个计算f(x): f)=张+ 31
3C 3"&3D 3# ! 3C 3#&(3D 3" * + , ! !!证 先证必要性!设B"$#在点$%"'## 可微!记BE"$#% +'#,!则由$"-节的"$#式!有 B"$'"$#(B"$#& "+'#,#"$'G"%"$%# & "+'#,#"""'#"##'G"##! "!# 其中!"$%""'#"#!#%%"$%% 槡"""#$'""##$!这里!""及 "# 是实增量!"!#式两边分别取实部及虚部!就得到 C""'""!#'"##(C""!##&+""(,"#'G"##! "$# D""'""!#'"##(D""!##&,""'+"#'G"##! "-# 这就是说!二元函数C""!##及D""!##在点""!##可微!并且 3C 3"%+! 3C 3#%&,! 3D 3"%,! 3D 3#%+! 从而 3C 3"&3D 3# ! 3C 3#&(3D 3" * + , ! ".# !!再考虑条件的充分性!容易看出!上述推导是可逆的!事实上! 由于".#式成立!且二元函数C""!##及D""!##可微!从而"$#式及 "-#式成立!"$#'#G"-#即得"!#式!这就证得B"$#在点$有导数 +'#,! 由上面的讨论可见!当定理!的条件满足时!可按下列公式中 的任意一个计算BE"$#' BE"$#&3C 3"'#3D 3" &3D 3# '#3D 3" !-