§9.4幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛区间 三、幂级数的运算
一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛区间 三、幂级数的运算 §9.4 幂级数
§9.4函数项级数的概念 设4n(x)(n=1,2,.)为定义在区间L上的函数， 00 称 ∑4n(x)=41(x)+42(x)+.+4n(x)+. n=1 为定义在区间上的函数项级数 0∞ 对∈I,若常数项级数∑4n(xo)收敛，称x0 n=1 为其收敛点，所有收敛点的全体称为其收敛域： 若常数项级数4n(xo)发散，称X为其发散点， n=1 所有发散点的全体称为其发散域
§9.4 函数项级数的概念 设 为定义在区间I上的函数项级数 . 对 若常数项级数 敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 为定义在区间I上的函数， 收敛, 发散 , 为其收 为其发散点, u (x) (n =1,2, ) n 所有发散点的全体称为其发散域 . 称 0 称 x 0 称 x
在收敛域上，函数项级数的和是x的函数S(x),称它 为级数的和函数，并写成 00 S(x)=∑4.(x) n=1 若用Sn(x)表示函数项级数前n项的和，即 Sn(x)=∑4() k=1 令余项n(x)=S(x)-Sn(x) 则在收敛域上有 lim S,(x)=S(x),lim r (x)=0 n>00 n→0
为级数的和函数,并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前n项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是x的函数 称它
0● 例如，等比级数 ∑x”=1+x+x2+.+xm+ n=0 它的收敛域是(-1,1)，当x∈(-1,1)时，有和函数 00 1 n=0 1-x 它的发散域是(-0，-1]及[1，+0)，或写作x≥1. 又如，级数 之+”0，当x=1时收致 n=0 但当0<x≠1时，1imwn(x)=oo,级数发散， 所以级数的收敛域仅为x=1
例如, 等比级数 它的收敛域是 它的发散域是 (− , −1]及[1，+ ）, 或写作 x 1. 又如, 级数 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 有和函数
二、幂级数及其收敛区间 形如∑an(x-o)”=a0+a4(x-x0)+a2(0x-xo)2+ n=0 .+an(x-xo)”+. 的函数项级数称为幂级数，其中数列an(n=0,l,称 为幂级数的系数 下面着重讨论x=0的情形，即 ∑anx=a,+ax+a,r2+.+a,+.(①） n=0 例如，幂级数 ,x<1即是此种情形
二、幂级数及其收敛区间 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 , 1 1 1 0 − = = x x x n n 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 称