38.证明:函数qt)=EX-t)2/,当t=E(X)时取得最小值,且最 小值为D(X). 证明:q(t)=E∥(X-t)2=E∥X-E(X川+|E(X)-t/P E/X-E(X川2+EE(X)-t/2 +2E/X-E(X川E(X)-t =D(X)+EE(X)-t/2 当t=E(X)时,卯(t)有最小值为D(X)
3.8. 证明：函数 , 当 t = E ( X ) 时取得最小值, 且最 小值为 D( X ). E)t( [( ])tX 2 ϕ −= 证明： { } )X(Et t X(D ). ]t)X(E[E)X(D X(EX[E )][ ]t)X(E X(EX[E )] ]t)X(E[E E)t( [( X(EX[E])tX )] ]t)X(E[ 当 时， ϕ （ ）有最小值为 ϕ = = + − + − − −= + − = =− − + − 2 2 2 2 2 2
3.9.某人的一串钥匙有n把,其中只有一把能开自己的门.他随意地试用这些钥 匙,并且试用过的钥匙不再试用。求试用次数的数学期望与方差 解:设随机变量X表示试用次数,X的可能取值为1,2,3,…,n,则它的概率函数 为 P(X=1)=-; n P(X=2) nn n k+1 P(X=k) n n-1 n-k+2 n-k+l n P(X=n) 12 E(X)=(1+2+….+n) 1_n+1 2 E(x2)=(12+22+…+n2)1=Cm+12n+1; n D(X)=E(X2)-/E(∥2=
3.9. 某人的一串钥匙有 n 把，其中只有一把能开自己的门. 他随意地试用这些钥 匙，并且试用过的钥匙不再试用。求试用次数的数学期望与方差. 解：设随机变量X表示试用次数，X 的可能取值为1, 2, 3, …, n, 则它的概率函数 为 . n n n n n )nX(P ;... nknkn kn n n n n )kX(P ; nnn n )X(P ; n )X(P 1 1 2 1 1 21 1 1 1 2 1 1 21 1 1 11 2 1 1 ×××× = − − × − == = +− × +− +− ××× − − × − == = − × − == == . n X(E[)X(E)X(D )] ; n( )( )n n ()X(E )n... ; n n )n...()X(E 12 1 6 1 121 21 2 11 21 2 2 2 2 22 2 − = − = ++ +++= ´ = + +++= ´ =