例3求方程x(y2-1)dx +y(x2-1)dy =0的通解提示与分析：变量分离，两边积分求出通解解 x(y2 -1)dx + y(x2 -1)dy = 0,分离变量Vxdx-1XA1C=-213d(x2-1) :22D2-2-3(x2 -1)(y2 -1)-45综上，通解为-223-304
例3 求方程x y x y x y ( 1) ( 1) 0 . 2 2 − + − = d d 的通解 提示与分析: 变量分离，两边积分求出通解. 解 分离变量 2 2 d d , 两端积分 1 1 x y x y x y = − − − 2 2 1 1 1 ln 1 ln 1 , 2 2 x y C − = − − + d d 2 2 x y x y x y ( 1) ( 1) 0, − + − = 凑微分 e 1 2 2 2 ( 1)( 1) , C x y − − = d d 2 2 2 2 1 1 1 1 ( 1) ( 1), 2 1 2 1 x y x y − = − − 2 − − x −1 2 x −1 2 y −1 2 y −1 C 综上，通解为 2 2 ( 1)( 1) . x y C − − = C = −2
放射性元素的自发衰减问题例4 研究表明，放射性物质镭的质量随时间而衰减，其衰减速度与镭的存余量成正比.设时间t=t,时，镭的质量是Rs,求镭在任意时刻的质量R(t).50提示与分析：衰减40=3C=230解C=120dR(t): -aR(t)C=0.510dt0-10C=-2R(t) = Ro,-20C=-1-30C = -0.5初值问题-40R(t) = C. ε50-0.20.20.40.8-0.8-0.6-0.400.6
例 4 研究表明，放射性物质镭的质量随时间而 衰减，其衰减速度与镭的存余量成正比.设时 间 时，镭的质量是 ，求镭在任意时刻 的 质量 0 0 ( ). t t R t R t = 提示与分析:衰减速度为质量关于时间的负导数. 放射性元素的自发衰减问题 解 = −R t( ), dR t( ) dt0 0 R t R ( ) , = 初值问题 变量分离 1 ln ( ) R t t C = − + e e1 ( ) , C t R t − = C d ( ) , ( ) R t dt R t = − 反解R(t) ( ) . e t R t C − = C = 2 C = 1 C = 0.5 C = −2 C = −0.5 C = −1 = 3
R(f)=Ce-nt,又R(t) = Ro,.. C= R,e综上，初值问题的特解为R(t)= R,e-a(t-t)
R t C RR t C ( )( ) 0 == ee −−ttt ，0 又R t R ( ) 0 0 = ， e 0 0 t C R = 综上，初值问题的特解为 e 0 ( ) 0 ( ) . t t R t R − − =
还有很多的现象，其变化规律都可以用上述函数模型来描述.如：细菌繁殖、森林增长、放射性物质衰减（14C衰减可用来测定遗体死亡年代）、冷却模型（可在刑事侦查中用来鉴定死亡时间）
还有很多的现象，其变化规律都可 以用上述函数模型来描述.如：细菌繁 殖、森林增长、放射性物质衰减（14C 衰减可用来测定遗体死亡年代）、冷 却模型（可在刑事侦查中用来鉴定死 亡时间）
可化为变量分离的方程类型I形如的方程,其中a,b是常数f(z)dz.dy则令z = ax + by,矛盾转化法=a+bdxdxdz.方程化为=a+bf(z)变量分离dx方程变量分离dz= dx.积分可求出通解a + bf(z)
二、可化为变量分离的方程 类型I d d ( ) y f ax by x 形如： = + 的方程，其中a b, . 是常数 矛盾转化法 令z ax by = + ， ax by + d d d d z y a b x x 则 = + ， d d y x d d y x 方程化为 d d ( ) . z a bf z x = + 变量分离 方程 d d . ( ) z x a bf z = + 变量分离 f z( )f z( ) 积分可求出通解