sinh(x±y)= sinh x cosh y± cosh x sinh y; scos(x±y)= cosh x cosh y± sinh sinh y cosh x-sinh x=1; sinh 2x=2 sinh x cosh x; 2 cosh 2x= cosh x+ sinh x 反双曲正弦y= arsinh x 反双曲余弦y= arcose; 牛反双曲正切y= aryan; 上页
反双曲正弦 y =arsinh x; 反双曲正切 y = artan x; 反双曲余弦 y = arcosh x; cosh( x y) = cosh x cosh y sinh x sinh y; cosh sinh 1; 2 2 x − x = sinh 2x = 2sinh x cosh x; cosh 2 cosh sinh . 2 2 x = x + x sinh( x y) = sinh x cosh y cosh x sinh y;
数列极限函数极限 无穷大 两者的 limon=a limf(x)=A lim f(x)=A imf(x)=00 关系 n→ x→0 →x0 充墨解/右极限天穿小的比教无穷小 极限存在的M lim f(x)=0 判定极限 两个重要等价无穷小 无穷小 存在的准则 极限 及其性质 的性质 唯一性 求极限的常用方法 极限的性质 王页下
左右极限 两个重要 极限 求极限的常用方法 无穷小 的性质 极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则 无穷小的比较 极限的性质 数列极限 函 数 极 限 xn a n = → lim f x A x x = → lim ( ) 0 f x A x = → lim ( ) 等价无穷小 及其性质 唯一性 无穷小 lim f (x) = 0 两者的 关系 无穷大 lim f (x) =
1极限的定义 定义如果对于任意给定的正数c(不论它多么 王小总存在正数N,使得对于n>N时的一切,不 上等式x,-a<E都成立那末就称常数是数列n 的极限或者称数列xn收敛于,记为 imxn=a,或xn>a(n→∞) n→ 工工 上已"a-N"定义 V6>0,3N>0,使n>N时,恒有xn-a<E 上页
定 义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么 小),总存在正数N ,使得对于n N 时的一切 n x ,不 等式 x − a n 都成立,那末就称常数a 是数列 n x 的极限,或者称数列 n x 收敛于a ,记为 lim x a, n n = → 或x → a (n → ). n 0,N 0, n N , x − a . 使 时 恒有 n 1、极限的定义 " − N"定义
定义2如果对于任意给定的正数(不论它多么小), 中总存在正数6使得对于适合不等式0<x-xk8的 一切x对应的函数值∫(x)都满足不等式 ∫(x)-A<E, 上那末常数4就叫函数(x)当x→x时的极限记作 mf(x)=A或f(x)→4(当x→x) "e-8"定义ve>0,38>0,使当0<x-xo<8时, 恒有f(x)-A<ε 上页
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小) , 总存在正数,使得对于适合不等式 − 0 x x0 的 一切x,对应的函数值 f ( x)都满足不等式 f ( x) − A , 那末常数A就叫函数 f ( x)当x → x0时的极限,记作 lim ( ) ( ) ( ) 0 0 f x A f x A x x x x = → → → 或 当 " − "定义 ( ) . 0, 0, 0 , 0 − − f x A x x 恒有 使当 时
左极限ve>0,38>0,使当x0-8<x<x时, 恒有f(x)-A<E 记作limf(x)=A或f(x0-0)=A. x→x (x→>x0) 王右极限ve>03>0使当<x<x+8时 恒有f(x)-A<E 庄记作=4玻+0=4 牛定理:mf(x)=A(x-0)=(x+0)=A x→x 王页下
左极限 ( ) . 0, 0, , 0 0 − − f x A x x x 恒有 使当 时 右极限 ( ) . 0, 0, , 0 0 − + f x A x x x 恒有 使当 时 lim ( ) ( 0) . 0 ( ) 0 0 0 f x A f x A x x x x = − = → − → − 记作 或 lim ( ) ( 0) . 0 ( ) 0 0 0 f x A f x A x x x x = + = → + → + 记作 或 : lim ( ) ( 0) ( 0) . 0 0 0 f x A f x f x A x x = − = + = → 定理