结论得到证明，（2）若a≠0，取pa，p为奇素数，作gi()=pf(r)+r+p(p-2)a,s>a(f(r)),gi(r)在常数项为pa+p(p一2)a=pa(p-1)，gi()在Q上不可约，令h(z)=—（r+p(p—2)a)，故pf(r)=gi(r)+h(r),h(z)显然在Q上不可约，(,()在Q上也不可约,因而p'pf(r) = Bl(z) + h(c)pp满足条件.I：一般情况，设f（r）为有理系数多项式，则存在充分大的正整数m，使mf（z）为整系数多项式，由上得到mf(r)=gi(r)+h(r),g(z),h(n)在Q上均不可约,故(),()在Q上均不可约,而mmf(r)=Bi()h(r)mm结论得证43.证明：多项式f(）=a"+an-"-1+.十ao能被（r-1)+1整除的充要条件为fa+a+a+...+a.=00.a+a+2az+..+na.=00a+a,+2a+...+na,=0(*):l.a+a+2a+.+na=0证明：必要性.由条件（r一1)+1f(α）,故1至少为f()的k+1重根，因而f(1)=f(1)==f(1)=0,·27
得到：a+a+a+.+a=0lo.a+a,+2a2+.+na,0f'(r)=ai+2r+..+nar"-11至少为f（）=a+2++na的k重根，因而为（a+2+十na"=a十2"a十.十na"-的至少k-1重根，故a+2a2+..+na.=0,1也至少为(a+2az+*+nan"-1)的k—1重根，故1至少为(r(a+2a+.+nax"-1))ma+2a+..+nan"-的k-2重根，故a+2a+..+nan-0,:1至少为(r(a+2*-lazx+..+n-ar"-1))'=a+2'a+.+n'ant"-1的1 重根,即a+2a2+.+na,=0,由上得到（*）成立充分性.由（*）成立，因而1是f（r）的根(ao+ar+..+ar)'=a,+2ar++nanr.-因为a,+2a+...+na.=0,故1为f（α）的根，从而1至少为f(α）的2重根.而1为f()=(ai+2a2++na-1)的根，又(r(a+2ax++na"))=a1+2ar++na-1ai+2a2+..+na=0,故1为（f（))=f(）+f()的根，即f(1)+f"(1)=0,1为f"1）的根，1至少为f（）的3重根.28
1为f（）+"）=a+2a+...+a-的根，而(r(f(r)+rf"(r)))'=a+2ar?+...+nar"-1a+2a++na.=01为((f()+f"(r)))=f"+f"()+(f"(r)+f"()+工（r））的根，故f"（1）=0，故1至少为f（）的4重根：1至少为f()的k十1重根，即（z=1)+1f()44.设n>4.41，.4.为彼此不同的整数，设f(r) = II(ra) + 1,则f(r)在Q上不可约（说明：n=2时结论不成立.事实上，f(）=（一1)（x+1）+1=可约.n=4时(+—1)=（+1)（+2)（—1）+1可约.）证明：设可约，则f(a) =g(r)h(r),0<a(g(r))<n,0<a(h(x))<n,f(a,) = 1 = g(a,)h(a,),故g(a)=h(a),i=l,"",n,故g(r)=h(r),r-a)+1=g(r)=可知n为偶数，用变量替换r-a=y,a2=-aaa2=y-(a2a):-ara-(aa,)·29
=y-(an-ai),再设g（y+ai)=y）+1可得到（变量仍用r）：r(x-a)(r-a2)..(r-a2m-1)+1=(p(r)+1)2,a彼此不同，且a≠0，1≤≤2m一1，故(—a1)(r-a'2).(a2m-1)=(r)+2(r)=r)(r)+2)因为a(r))=a(g()+2)>0可设）=（a)..(r-a.-)故（am）...(x—a2m-1)=r）+2=a(r-a,)...(a-a.-1)+2,t=0时，得到：(-am)...(-a2m-1)=2因为"一2m号=m>号,故m≥9.22的m个因子αm，a2m-中有2与一2、1与一1,不妨设am=2,a1=1,am+2=-1,若m>3,则2.（1）·（-1）·am+3*a2m-=2,故（1）（-1)am+3*a2m-1=1,3a=1或—1i≥m+3这样a，=α+或am+2，矛盾，同样得其他情况也矛盾.因而m=3时，有(-a)(a)(r-as)=r(r-a)(ra)+2r=0得到：(-a)（-a)αs)=2，可设（-a）)=1-a)=-1，（—a）=—2，故(-1)(+1)(r2)=r(-a)(r—az)+2x=a时(a-1)(a,+1)(a,-2)=2,a,-1,a+1,a,-2在1，-1，-2,2中，不妨设a1-1=1,a1+1=-1,a1-2=-2,a，取不同的值，矛盾.由上得f（）在Q上不可约.30
45.设f(r），g（r）为Q上的多项式，且（f(r），g（)）=1，又(r)=(3-1)f(r)+(r3-r2+r-1)g(r),(r)=(r21)f(r)+(2-r)g(r),则(g),())=r-1.证明：首先工一11g），一11（）.而()=(+x+1)f(a)+(r+1)g(z)T-(*)(1)=(r+)f(r)+rg(r)r-1在(*)中+r+1+11x+13故f(z)=u(a)+(a)),-1g(a)=u2(r)蹈+v(n),由(f(),g(z)=1,得()=1,1#-1即()，())=-1.f(r)g(r)46.证明：只要(,()的次数都大于零，就可适当选择适合等式u(r)f(α)+u(r)g(r)=(f(r),g(r))的u()与(),使g(a)f(r)a(u(r))<a1,a(v())<(f(r),g(α))(f(r),g(r))且u(）,(r)是惟一的.证明：首先存在u(),(),使u(r)f(r)+v(α)g(r)=(f(),g(r)),g(r)f(r)令u(a)=(,()(a)+(a),(a)=((g():31: