力单 (2)当s改变bs而s:=0,6A 此时δsc=δsg/2 F 2P SWr=POsR-Was=(p-m)Ss Q B=P--w 2 W 系统平衡时有QFQ=0 由Qs=0得W2P 由Q=0得FW2=P f 2P2
11 （2）当sB改变δsB而δsA=0， 此时δsC= δsB /2 B B C B W Ps Ws P W )s 2 1 = − = ( − P W s W Q B B B 2 1 = = − 系统平衡时有QA= QB=0 由QB= 0 得 W=2P 由QA= 0 得 F=W/2=P 2 1 2 = = P F f
学 §11-2拉格郎日方程 应用动力学普遍定理求解复杂的非自由质点系的动力学问 题并不方便,由于约束的限制,各质点的坐标不独立,解题时 必须用约束方程消去多余的坐标变分。如果先考虑约束条件, 采用广义坐标表示动力学普遍方程,就可得到与广义坐标数目 相同的一组独立的微分方程,从而使复杂的动力学问题变得简 单,这就是著名的拉格郎日方程。 拉格郎日方程
12 应用动力学普遍定理求解复杂的非自由质点系的动力学问 题并不方便，由于约束的限制，各质点的坐标不独立，解题时 必须用约束方程消去多余的坐标变分。如果先考虑约束条件， 采用广义坐标表示动力学普遍方程，就可得到与广义坐标数目 相同的一组独立的微分方程，从而使复杂的动力学问题变得简 单，这就是著名的拉格郎日方程。 §11-2 拉格郎日方程 一、拉格郎日方程
学 设有n个质点组成的质点系,具有k个自由度,可由k个广 义坐标q1,q,…,q确定其位置。在非定常约束下,质点 系中任一质点M的矢径 F=F(q192…qk,D)(=1,2,…n)……(a) M的虚位移(固定时间t): ar ar or= 41+O2+…+ aq k ∑ (i=1,2,n) (b) 代入质点系动力学普遍方程: (F1-m10)G;1=0 (10-3-1) 13
13 设有n个质点组成的质点系，具有k个自由度，可由k个广 义坐标q1， q2，... ， qk 确定其位置。在非定常约束下，质点 系中任一质点Mi的矢径 ( , , , ) ( 1,2, ) (a) ri = ri q1 q2 qk t i = n Mi的虚位移（固定时间t）： ( 1,2, ) ( ) ... 1 2 2 1 1 q i n b q r q q r q q r q q r r k j j j i k k i i i i = = = + + + = 代入质点系动力学普遍方程： ( ) 0 (10 3 1) 1 − = − − = n i i i i i F m a r
学 ∑(F-m2a)Gr=0 (10-3-1) 得:∑F·-∑mao=0 (c) 第一项:主动力在质点系的虚位移的元功之和: ∑F·=∑Q,c 第二项:惯性力在质点系的虚位移的元功之和: k dr ∑ma,C=∑ma1(∑x·c,) aq k ar =2∑ma1·c1= 0 (e) =1 14
14 ( ) 0 (10 3 1) 1 − = − − = n i i i i i F m a r ( ) 1 1 F r Q q d k j j j n i i i = = = = = − = n i n i i i i i i F r m a r c 1 1 得： 0 ( ) 第一项：主动力在质点系的虚位移的元功之和： 第二项：惯性力在质点系的虚位移的元功之和： 0 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 q e q r m a q q r m a r m a j j i k j n i i i n i j k j j i i i n i i i i = = = = = = = =
学 d ar nn.v =ma+mv dt Oe dt a O OF d or (mv1·x)-m dt (f) og dt aq 为简化上式,需要用到以下两个关系式: ①M点的速度:由(a)式 dr. a ar or q1+q2+…+4k+ at dq Oe qk ar =∑ (g) at 式中:q,一广义速度 15
15 ( ) ( f ) q r dt d m v q r m v dt d q r m a j i i i j i i i j i i i − = 为简化上式 , 需要用到以下两个关系式： ①Mi点的速度： 由(a)式 ( ) ... 1 2 2 1 1 g t r q q r t r q q r q q r q q r dt dr v i k j j j i i k k i i i i i + = + + + + = = = 式中：q j — 广义速度 j i i i j i i i j i i i q r dt d m v q r m a q r m v dt d + = ( )