平面薄片的质量(二））设有一平面薄片，占有xov面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为p(x,y)，假定p(x,J)在D上连续，平面薄片的质量为多少？V将薄片分割成若干小块(5i,n)取典型小块，将其近似看作均匀薄片，Noi所有小块质量之和0x近似等于薄片总质量
（二） 平面薄片的质量 设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域 D，在点(x, y)处的面密度为( x, y)，假定 ( x, y)在D上连续，平面薄片的质量为多少？ 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 x y o ( , ) i i i
定义设f(xV)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域Agi, o2,..", An'其中△，表示第i个小闭区域，也表示它的面积在每个△α，上任取一点（,n)，作乘积f(si,n;)Ao,,(i = 1,2, ..,n),Zf(5,n;)Ao),并作和i=1
定义 设 f (x, y)是有界闭区域 D 上的有界函数， 将闭区域D任意分成 n个小闭区域 1 ， 2 , ， n， 其中 i 表示第 i个小闭区域，也表示它的面积， 在每个 i上任取一点( , ) i i ， 作乘积 ( , ) i i f i， (i = 1,2, ,n)， 并作和 i i n i i f = ( , ) 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值入趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f（x，J）在闭区域D上的二重积分记为J[ f(x,y)do,D即[[ f(x,y)do= lim)Ef(5i,n;)Ao;2-0i-1D其中D叫做积分区域，f（x，y）叫做被积函数，do叫做面积元素，f（x，y）do叫做被积表达式，x与y叫做积分变量f(x)A叫做积分和i=1
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f (x, y) 在闭区域 D 上的二重积分， 记为 D f (x, y)d ， 即 D f (x, y)d i i n i i f = = → lim ( , ) 1 0
对二重积分定义的说明：(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的(2)当f(x,y)在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值
对二重积分定义的说明： (1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是 任意的. (2)当 f (x, y)在闭区域上连续时，定义中和式 的极限必存在，即二重积分必存在. 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．
二、二重积分的性质[[ kf(x, y)do =k [ f(x, y)do性质1设k为常数，DD[j[f(x, y)± g(x, y)]d = J[ f(x, y)do ±β ] g(x, y)do性质2DDD性质3若积分区域D被一条曲线分为两个部分D,,D,，则JJ f(x,y)do = Jj f(x,y)do + JJf f(x,y)doOD2D1
二、二重积分的性质 ( , ) ( , ) D D kf x y d k f x y d = 性质１ 设k为常数， 性质2 性质3 若积分区域D被一条曲线分为两个部分D1 ,D2，则