有两个相等的实根(△=0) P 特征根为r1=122’一特解为y1=e1, 设另一特解为y2=u(x)l1, 将 y代入原方程并化简 n+(2r+p)+(r2+pr1+q)u=0, 知u"=0,取u(x)=x,则y2=xe 得齐次方程的通解为y=(C1+C2x)e K
有两个相等的实根 , 1 1 r x , y = e 2 1 2 p r = r = − ( = 0) 一特解为 得齐次方程的通解为 ( ) ; 1 1 2 r x y = C + C x e 将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简， (2 ) ( ) 0, 1 2 u + r1 + p u + r1 + pr + q u = 知 u = 0, 取 u(x) = x, , 1 2 r x 则 y = xe ( ) , 1 2 r x 设另一特解为 y = u x e 特征根为
有一对共轭复根(△<0) 特征根为 a+iB, 2=a-iB (a+iB)x 2≈g(a-iB)x 重新组合1=(y1+y2)= e cos Bic V2=(1-V2)=e sin Bix, 得齐次方程的通解为 y=e(C cos Bix+ C2 sin Br)
有一对共轭复根 , r1 = + i , r2 = − i , ( ) 1 i x y e + = , ( ) 2 i x y e − = ( 0) 重新组合 ( ) 2 1 1 1 2 y = y + y e cos x, x = ( ) 2 1 2 1 2 y y i y = − e sin x, x = 得齐次方程的通解为 ( cos sin ). y e C1 x C2 x x = + 特征根为
2.求解y"+py+qy=0的步骤 (1)写出特征方程r2+p+q=0 (2)求出特征方程的根n1,n (3)由n1,n2的情况写出通解: 两不等实根≠n)时,y=C1e1+C2e2 两相等实根n=n=r)时,y=(C1+C2x)e 对共轭复根n,2=a±i)时 y=e(C cos &x+ C2 sin Br)
2. 求解y + py + qy = 0的步骤 (1) 0 2 写出特征方程 r + pr + q = 1 2 (2) 求出特征方程的根 r ,r (3) , : 由 r1 r2 的情况写出通解 ( ) , 两不等实根 r1 r2 时 r x r x y C e C e 1 2 = 1 + 2 ( ) , 两相等实根 r1 = r2 = r 时 rx y (C C x)e = 1 + 2 ( ) , 一对共轭复根 r1,2 = i 时 ( cos sin ). y e C1 x C2 x x = +
Example1.求解下列微分方程(1)y+2y-3y=0, (2)y"-2y+y=0,(3)y+4y+5y=0, (4)y"-4y3=0,(5)y"+y=0 Solution.(1)特征方程为r2+2r-3=0, 解得n=1,n2=-3 故所求通解为p=Ce+C2e-3x (2)特征方程为r2-2r+1=0, 解得 故所求通解为y=(C1+C2x)e K
Example 1. 求解下列微分方程 (1) y + 2 y − 3 y = 0, (2) y − 2 y + y = 0, (3) y + 4 y + 5 y = 0, (4) y − 4 y = 0, (5) y + y = 0. Solution. (1)特征方程为 2 3 0, 2 r + r − = 解得 r1 = 1,r2 = −3 故所求通解为 . 3 1 2 x x y C e C e − = + (2)特征方程为 2 1 0, 2 r − r + = 解得 r1 = r2 = 1 故所求通解为 ( ) . 1 2 x y = C + C x e
(3)特征方程为r2+4r+5=0, 解得n12=-2±i 故所求通解为y=e2X(C1cosx+C2sinx) (4特征方程为r2-4r=0, 解得r=0,n=4 故所求通解为p=C1+C2e4x (5)特征方程为r2+1=0, 解得n12=±i 故所求通解为y=C1cosx+C2sinx K
(3)特征方程为 4 5 0, 2 r + r + = r = −2 i 解得 1,2 故所求通解为 ( cos sin ). 1 2 2 y e C x C x x = + − (4)特征方程为 4 0, 2 r − r = 解得 r1 = 0,r2 = 4 故所求通解为 . 4 1 2 x y = C + C e (5)特征方程为 1 0, 2 r + = r = i 1,2 解得 故所求通解为 cos sin . y = C1 x + C2 x