00 例4：判别级数 2"si π 的收敛性。 n=1 32 π 解：当n≥1时，sinn>0, 所以原级数为正项级数。 32 又当0≤x≤Z时，simx≤x,所以sin 2 取un=2”sin 3 而 是收敛的几何级数， n=l n= 00 所以，∑4n=∑2”sim 是收敛的。 n= HIGH EDUCATION PRESS
解： 当n 1时, 0, 3 sin n sin x x, sin , 3 3 n n 例4：判别级数 =1 3 2 sin n n n 的收敛性。 所以 所以原级数为正项级数。 , 2 又当 0 时 x 取 2 sin 3 n n n u = 2 3 n n 2 ( ) 3 n = n =v 而 n=1 n v = = 1 ) 3 2 ( n n 是收敛的几何级数， 所以， n=1 un = = 1 3 2 sin n n n 是收敛的
定理3.（比较审敛法的极限形式） 00 00 设两正项级数 ∑4n,∑yn满足 lim 4n=1,则有 n=1 n=1 n-→ooVn (1)当0<1<0时，两个级数同时收敛或发散； (2)当1=0时，且∑y,收敛，则∑4n也收敛： n=1 (3)当1=时，且∑y,发散，则∑4n也发散 n=] n=1 注： lim4=0,且之y.发散则 0 un不一定发散。 n= n=] HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理3. (比较审敛法的极限形式) lim l, v u n n n = → 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 时， (3) 当 l =∞时， 设两正项级数 满足 (1) 当 0 < l <∞ 时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 则 注意：若 lim 0, n n n u → v = 1 n n v = 且 发散， 1 n n u = 则 不一定发散。 注：
0 例5.判别级数∑sin 的敛散性 n=] n 解 n 1 sin lim limn.sin=1 n-→01 n-→co n n 00 根据比较审敛法的极限形式知∑sn'发散 n n=l HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
～ 1 lim sin n n → n = 例5. 判别级数 =1 1 sin n n 的敛散性 . 解: 1 sin limn 1 n n → sin 1 n n 1 =1 根据比较审敛法的极限形式知 . 1 sin 1 发散 n= n 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例6.判别级数 n+】 的敛散性 n= ind+ 解： lim -→0 n 由较审敛法的极限形影式知a÷小]收效 n=] HIGH EDUCATION PRESS
例6. 判别级数 的敛散性. = + 1 2 1 ln 1 n n 解: lim n→ = 2 2 1 ln[1 ] limn 1 n n → + =1 由比较审敛法的极限形式知 . 1 ln 1 1 2 收敛 = + n n ln(1 ) 2 1 n + ～ 2 1 n 2 n 2 1 ln 1 n +
∑4n,∑yn是两个正项级数lim4n=l, n-→>00V, (1)当0<1<∞时，两个级数同时收敛或发散； (2)当1=0且∑Vn收敛时，∑4n也收敛， (3)当1=∞且∑yn发散时，∑4n也发散 0特别取，p>1.则.- 收敛 若m么=1imn.=l0s7<o三∑4n收敛 n→0 n-→0 2诹，=7，则∑，=发散， n= 若lim%=limu,=1>0《或为+o）∑n发散 n→01yn→∞ HIGH EDUCATION PRESS
是两个正项级数, (1) 当 0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (1)特别取 , 1 n p n v = p 1, 0 l (2) 当 l = 0 且 vn 收敛时, (3) 当 l = 且 vn 发散时, 也收敛 ; 也发散 . un 收敛 则 1 n n v = 收敛， 1 1 p n n = = 若 lim lim 0 n n n n n n u u l → → v = = (2)取 1 , n n v = 则 发散， 若 （或为+ ） 发散 1 n n v = 1 1 n n = =