二、函数展开成幂级数 直接展开法一利用泰勒公式 展开方法 间接展开法一利用已知其级数展开式 1.直接展开法 的函数展开 由泰勒级数理论可知，函数f(x)展开成幂级数的步 骤如下 第一步求出x)的各阶导数， 第二步求函数及其各阶导数在x=0处的值； 第三步写出幂级数，并求出收敛半径R 第四步判别在收敛区间(-R,R)内lim R(x)是否为 n>o∞ BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 函数 f (x)展开成幂级数的步 第一步 求出f(x)的各阶导数 ; 第二步 求函数及其各阶导数在x＝0处的值 ; 第四步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim R (x) n n 是否为 骤如下 : 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 0. 的函数展开 第三步 写出幂级数，并求出收敛半径R
例10.4.1将函数f(x)=ex展开成x的幂级数 解：fm(x)=e,f(0)=1(n=1,2,),故得级数 1+x+ 2十 21 n. 其收敛半径为 R=lim =十00 n-→o0 (n+1) 对任何有限数x,其余项满足 n+1 R(x)= x2+1 n→oo (n+1)川 (n+1)! (飞在0与x之间) 故e=1+x+: 21 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例10.4.1 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: ( ) e , (n) x f x ( ) (0) 1 ( 1,2, ), n f n 1 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 e (n 1)! n1 x x e 故 , ! 1 3! 1 2! 1 e 1 x 2 3 x n n x x x n R lim ! 1 n ( 1)! 1 n n ( 在0与x 之间) x 2 2! 1 x 3 3! 1 x x n n! 1 故得级数
例10.4.2将函数f(x)=sinx展开成x的幂级数 解：fm(x)=sin(x+n:〉 ow-{ei n=2k (k=0,1,2,…） n=2k+1 得级数X-3x-+(-lx21+… 其收敛半径为R=+∞，对任何有限数x,其余项满足 sin(+(n+1)) n+l R(x)= (n+1)川 (n+1)月 snx=x-x3+京x3-…+(-1)” 十 x∈(-00，十0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例10.4.2 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: ( ) ( ) f x n (0) (n) f 得级数: x 其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足 sin( ( 1) ) 2 π n (n 1)! n1 x n 2k 1 (k 0,1, 2, ) 3 3! 1 x 5 5! 1 x 1 2 1 (2 1)! ( 1) + + n n n x sin x n n 2k ( 1) , k 0 , 2 1 1 1 3 5 3! 5! (2 1)! ( 1) + + n n x n x x x
2.间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质 将所给函数展开成幂级数 例10.4.4将函数 1+x2 展开成x的幂级数 解：因为 1=1+x+x2++x”+…(-1<x<1) 1- 把x换成-x2,得 1+x2=1-x+x-+(-1x2"+ (-1<x<1) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 2. 间接展开法 1 1 x 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例10.4.4 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 因为 2 1 n x x x (1 x 1) 把 x 换成 2 x 2 1 1 x 2 4 2 1 ( 1)n n x x x (1 x 1) , 得 将所给函数展开成幂级数