Lecture Note on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai, 2003 对线性算子,连续性与有界性是等价的。 设X,Y为 Hilbert空间,则它们的对偶X*=X,Y*=Y。定义线性算子T:X→Y的共轭 算子T*:Y→X为 <Tx,y>y=<x,Ty>x,wx∈X,y∈Y, 其中<,>x,<,>y分别为X与Y中的内积 自共轭:若T是X到自身的算子,且T=T,则称T是自共轭的。 例:设{e}为Hibe空间X的标准正交基。定义T:X→P2为 <aT 其共轭算子T*:P2→X为 r{e}=∑e 同构映射:设T:X→Y是1-1的满映射。则称T是X到Y的同构映射 特别,若(Tx,Tx)y={x,x)x,Vx∈X.则称T是等距的 等距映射将标准正交基变为标准正交基 3.有关积分的性质 设ECRn为可测集。 上atou引理:设{为E上的可积函数列.若存在E上的可积函数g使得g≤f,j=1,2,…a.e,且 in/fdr<∞ 则函数lmf在E上可积,且 lim f; dr≤lim/fdr Lebesque控制收敛定理:设{/}是E上的可积函数列。函数F在E可积(常称为控制函 数)。若 (1)|(x)≤F(x),j=1,2,…, (2)f(x)→f(x),a.e. 则∫(x)可积,且 lim/ f(r)d f(a)dr 即求极限与积分次序可换)
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai,2003 6 对线性算子，连续性与有界性是等价的。 设X, Y 为Hilbert空间，则它们的对偶X∗ = X, Y ∗ = Y 。定义线性算子T : X → Y 的共轭 算子T ∗ : Y → X为 < T x, y >Y =< x, T∗ y >X, ∀x ∈ X, y ∈ Y, 其中<, >X, <, >Y 分别为X与Y 中的内积。 自共轭：若T是X到自身的算子，且T ∗ = T, 则称T是自共轭的。 例：设{ej}为Hilbert空间X的标准正交基。定义T : X → l 2为 T x = {< x, ej >} 其共轭算子T ∗ : l 2 → X为 T ∗ {cj} = X j cjej 同构映射：设T : X → Y 是1-1的满映射。则称T是X到Y 的同构映射。 特别，若hT x, T xiY = hx, xiX , ∀x ∈ X. 则称T是等距的。 等距映射将标准正交基变为标准正交基。 3. 有关积分的性质 设E ⊂ Rn为可测集。 Fatou引理: 设{fj}为E上的可积函数列. 若存在E上的可积函数g,使得g ≤ fj , j = 1, 2, · · · a.e.,且 lim j→∞ Z E fjdx < ∞ 则函数 lim j→∞ fj在E上可积,且 Z E lim j→∞ fjdx ≤ lim j→∞ Z E fjdx. Lebesque控制收敛定理：设{fj}是E上的可积函数列。函数F在E可积（常称为控制函 数）。若 (1) |fj (x)| ≤ F(x), j = 1, 2, · · · , (2) fj (x) → f(x), a.e. 则f(x)可积，且 lim j→∞ Z E fj (x)dx = Z E f(x)dx. (即求极限与积分次序可换)
Lecture Note on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai, 2003 bini定理:设A,B为可测集合,E=A×B是它们的笛卡尔乘积。∫在E上可测,而且∫的 两个累次积分∫∫f(x,g) Dyer,∫∫|f(x,y)drdy中有一个存在,则它的另一个二次积分以 及二重积分∫f(x,9) dady也存在,且有 f(a, y)d cdy ∫(x,y) f(a, y)dcdy 例:设∫∈L1(R1),对任u∈R1,定义函数 g(w)=e f(a) 则g在R1上连续 证:由于|f(x)e-m叫=|f(x),而且e-m是u的连续函数,取f(x)作为{e-mf(x):u∈ (-∞,+∞)}的控制函数,由控制收敛定理知g(u)是u的连续函数 下面的定理讨论算子序列的收敛性(文献问的p8282) 定理2:设X,Y为 Banach空间.T:X→Y,j=1,2, 为有界线性算子序列且对vx∈ X,{T}收敛,当且仅当 1){T是有界数列 2)对于X的某个稠密子集M中的每个元x,{Tx}收敛 注:若对每个x∈X,{Tx}收敛,令Tx=imy一Tx.则T是线性有界算子,且‖叫‖≤ 4. Hilbert空间中的投影算子,框架与 Riesz基 投影算子:幂等的有界线性算子 设P为X上的投影算子,则P可分解为 X=M+N,(+空间直和,即M∩N=0) 其中M={Px,x∈X},N={x-Pr,x∈X} 证:对vx∈X,显然有x=Px+(x-Pr)。次证M∩N=0.设x∈M∩N,则存 在1,2∈X,使得x=Px1=22-P2。对后一等式两边作用P,得P21=Pa2-P 由P2=P,得P1=0,故x=0 在 Hilbert空间中,我们更感兴趣于正交直和,即X=M⊕N 定理3:P为 Hilbert空间X中的正交投影算子,当且仅当P2=P,P=P
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai,2003 7 Fubini定理：设A, B为可测集合，E = A × B是它们的笛卡尔乘积。f在E上可测，而且f的 两个累次积分 R A R B |f(x, y)|dydx, R B R A |f(x, y)|dxdy 中有一个存在，则它的另一个二次积分以 及二重积分 R E f(x, y)dxdy也存在，且有 Z E f(x, y)dxdy = Z A Z B f(x, y)dydx = Z B Z A f(x, y)dxdy 例：设f ∈ L 1 (R 1 )，对任ω ∈ R 1，定义函数 g(ω) = Z +∞ −∞ e −ixωf(x)dx. 则g在R 1上连续。 证：由于|f(x)e −ixω| = |f(x)|，而且e −ixω是ω的连续函数，取|f(x)|作为{e −ixω f(x) : ω ∈ (−∞, +∞) }的控制函数，由控制收敛定理知g(ω)是ω的连续函数。 下面的定理讨论算子序列的收敛性(文献[5]的p.82-82). 定理2：设X,Y为Banach空间. Tj : X → Y ，j=1,2,. . . . . . .，为有界线性算子序列.且对∀x ∈ X, {Tjx} 收敛，当且仅当 1) {kTjk} 是有界数列, 2) 对于X的某个稠密子集M中的每个元x, {Tjx} 收敛。 注：若对每个x ∈ X, {Tjx} 收敛，令T x = limj→∞ Tjx. 则T 是线性有界算子，且kTk ≤ limj→∞kTjk. 4. Hilbert空间中的投影算子，框架与Riesz基 投影算子：幂等的有界线性算子. 设P为X上的投影算子，则P可分解为 X = M • + N,( • + 空间直和，即M ∩ N = 0) 其中M = {P x, x ∈ X} , N = {x − P x, x ∈ X}. 证：对∀x ∈ X，显然有x = P x + (x − P x)。次证M ∩ N = 0。设x ∈ M ∩ N，则存 在z1, z2 ∈ X，使得x = P z1 = z2 − P z2。对后一等式两边作用P，得P 2 z1 = P z2 − P 2 z2， 由P 2 = P，得P z1 = 0，故x = 0。 在Hilbert空间中，我们更感兴趣于正交直和，即X = M ⊕ N 定理3: P为Hilbert空间X中的正交投影算子，当且仅当P 2 = P, P∗ = P