《微分几何》课程教学课件（讲稿）第2章 空间曲面 2.3 曲面的第二基本形式 2.3.5 曲面的主法方向和曲率线

结论 1)曲面上每非脐点总有两个不同的主方向，它们是迪潘(Dupin) 指标线的主轴方向 2)在脐点处，有EL=F/M=GN,行列式 dv2 -dudy du? E F G =0 L M 为恒等式，即对于任何方向，行列式为零，因此在脐点的每个 方向都是主方向. 3)L=M=N=O的脐点称为平点，L,M,N不同时为零的脐点叫圆点

结论： 1）曲面上每非脐点总有两个不同的主方向，它们是迪潘(Dupin) 指标线的主轴方向. 0 2 2 = − L M N E F G dv dudv du 2）在脐点处，有 E/L=F/M=G/N，行列式 3）L=M=N=0的脐点称为平点，L,M,N不同时为零的脐点叫圆点. 为恒等式，即对于任何方向， 行列式为零，因此在脐点的每个 方向都是主方向

例4球面上每一点都是圆点」 证明产={Rcos0cosp,Rcos0sinp,Rsin0} ={-Rcosesing,Rcosecoso,0) =-Rsinecoso,-Rsinsino,Rcos0; 得曲面的第一类基本量 E=。i=Rcos20,F=。6=0,G=66=R2, i=元x/WEG-FP={cos6cos0,cosin,.sin60队. To={-Rcosecosp,-Rcosesin,0; L=Ti=-Rcos20, Too={Rsinsinp,-Rsincoso,0) M=Ton=0, Too={-Rcosecoso,-Rcos0sing,-Rsine N=iae·i=-R, 知

例4 球面上每一点都是圆点. 证明 r R R R ={ cos cos , cos sin , sin }.      r R R { cos sin , cos cos ,0}  = −     r R R R { sin cos , sin sin , cos }  = − −      得曲面的第一类基本量 2 2 E r r R cos , =  =    F r r 0, =  =   2 G r r R . =  =   2 n r r EG F {cos cos ,cos sin ,sin }. =  − =        2 L r n Rcos ,  =  = −  M r n 0, =  =  N r n R, =  = −  r R R { cos cos , cos sin ,0}  = − −     r R R { sin sin , sin cos ,0}  = −     r R R R { cos cos , cos sin , sin }  = − − −      . E F G L M N 知 = =