定理1对换改变排列的奇偶性：即经过一次对换奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列，证明1）特殊情形：作相邻对换设排列为对换a与ba,...a, abb,...ba....a, ba b ..b,n除a,b外，其它元素所成逆序不改变
证明 1) 特殊情形：作相邻对换 a1 al ab b1 bm 对换 a 与 b a1 al ba b1 bm 除 a,b 外，其它元素所成逆序不改变. ab 对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换， 奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列． 定理1 设排列为
当a<b时，经对换后a的逆序增加1个，b所成逆序不变当a>b时，经对换后α所成逆序不变，b的逆序减少1个因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性2)一般情形设排列为a,...a,ab.·..b.bc....C.现来对换a与b
当 a b 时， 经对换后 a 的逆序增加1个 , b 所成逆序不变; 经对换后 a 所成逆序不变 ， b 的逆序减少1个. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 l m n a a ab b bc c 1 1 1 当 a b 时， 现来对换 a 与b. 2) 一般情形
a..a,abr...bmbc....c..m次相邻对换a, ...a, abb.... bmci....m+1 次相邻对换a,.a,bb....bmac..c..a....ajab,...bmbc....Cn.2m+1次相邻对换a,...a,bb, ...bmac....Cn.所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性
m 次相邻对换 l m n a a ab b b c c 1 1 1 m 1 次相邻对换 l m n a a b b b a c c 1 1 1 , 1 l 1 m 1 n a a ab b bc c 2m 1 次相邻对换 , 1 l 1 m 1 n a a bb b ac c 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性. ab l m n a a a b b b c c 1 a 1 b 1 b a
推论h!个所有n级排列中，奇、偶排列各半，均为2证明设在全部n阶排列中，有s个奇排列，t个偶排列，下证.S=t将S个奇排列的前两个数对换，则这S个奇排列全变成偶排列，并且它们彼此不同，：S≤t.同理，将t个偶排列的前两个数对换，则这t个偶排列全变成奇排列，并且它们彼此不同，：t≤s.n!故 s=t =2
所有 n 级排列中，奇、偶排列各半， ! 2 n 均为 个. 设在全部 阶排列中，有 个奇排列， 个 偶排列，下证． n s t s t 将 个奇排列的前两个数对换，则这 个奇排列 全变成偶排列，并且它们彼此不同， s s 同理，将 个偶排列的前两个数对换，则这 个 偶排列全变成奇排列，并且它们彼此不同， t t 推论 证明 s t. t s. 故 ! . 2 n s t
定理2任意一个排列与标准排列123.·n都可经过一系列对换互换，并且所作对换的次数与这个排列的奇偶性相同证明由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列（逆序数为0），因此知结论成立
一系列对换互换，并且所作对换的次数与这个 任意一个排列与标准排列 123 n 都可经过 排列的奇偶性相同． 定理2 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数, 因此知结论成立. 证明 而标准排列是偶排列（逆序数为0）