注:(1）排列123..n称为标准排列，其逆序数为0。(2)排列jijzjin白 tij..jin)的逆序数常记为(3)t(ijzjn）=ji后面比i小的数的个数+jz后面比j小的数的个数++jn-1后面比jn-1小的数的个数或 t(ijjn）=jz前面比j大的数的个数+j3前面比j3大的数的个数++jn前面比jn大的数的个数
(1) 排列 123 n 称为标准排列，其逆序数为０． 注： (2)排列 的逆序数常记为 1 2 ( ). n j j j 1 2 n j j j (3) ( ) j j j j 1 2 1 n 后面比 j 1 小的数的个数 n 1 j 后面比 小的数的个数. n 1 j j 2 后面比 j 2 小的数的个数 或 ( ) j j j j 1 2 2 n 前面比 j 2 大的数的个数 3 j 前面比 j 3 大的数的个数 n j 前面比 j n 大的数的个数．
例1·排列54231中，逆序有54，52，53，51 ,42，43,41,21,31::t(54231) = 9例2. 求n 级排列135...(2n-1)(2n)(2n-2)..·42的逆序数解: 135...(2n-1)(2n)(2n-2)...42121n-1n-1t =1+2+...+(n-1)+(n-1)+...+2+1= n(n-1)
例1．排列 54231 中，逆序有 (54231) 9 54，52， 53，51 的逆序数. 例2．求 n 级排列 135 (2 1)(2 )(2 2) 42 n n n 解： 135 (2 1)(2 )(2 2) 42 n n n 2 1 n 1 n 1 1 2 ( 1) ( 1) 2 1 ( 1) n n n n 1 ,42，43, 41, 21,31
三、奇排列和偶排列定义逆序数为奇数的排列称为奇排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列注：标准排列123…n为偶排列。练习：求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性(1) n(n-1)...321(2)(2n)1(2n -1)2(2n - 2)3...(n +1)n
逆序数为奇数的排列称为奇排列； 逆序数为偶数的排列称为偶排列． 三、奇排列和偶排列 定义 注： 标准排列 123 n 为偶排列． 练习：求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性． （1） n n( 1) 321 （2） (2 )1(2 1)2(2 2)3 ( 1) n n n n n
答案：n(n-1)(1) T=(n-1)+(n-2)+...+2+1= "2当n=4k，4k+1时为偶排列;当n=4k+2，4k+3时为奇排列T=1+2+...+n+(n-1)+(n-2)+...+2+1(2)n(n+1) . n(n-1)-22当k为偶数时为偶排列：当为奇数时为奇排列
答案: 2 ( 1) ( 1) 2 2 n n n n n （ 1 2 ( 1) ( 2) 2 1 n n n 2） 当 n k k 4 , 4 1 时为偶排列； 当 n k k 4 2, 4 3 时为奇排列. 当 k 为偶数时为偶排列， 当 k 为奇数时为奇排列. ( 1) (1) ( 1) ( 2) 2 1 2 n n n n
四、对换定义把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，得到另一个排列，这一变换称为一个对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换
四、对换 定义 把一个排列中某两个数的位置互换，而 其余的数不动，得到另一个排列，这一变换 称为一个对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．