《微积分》课程教学资源（PPT讲稿）曲线积分与曲面积分

∫(x,y,z)d=刂fx,y,(x,y)+2+zyxo 中y (ds面元素(曲) R(, 3, z)dxdy=l fIx,y, (r, y)ldxdy (d面元素(投影) 其中x+y=j(Pc9a+9s J Pdydz +0dzdx+Rdxdy (P coS a +Q cos B+R cos r)ds

   = +  +  Dxy f x y z ds f x y z x y zx z y dxdy 2 2 ( , , ) [ , , ( , )] 1    = Dxy R(x, y,z)dxdy f[x, y,z(x, y)]dxdy 其中 P Q R ds Pdydz Qdzdx Rdxdy ( cos  cos  cos  )    = + + + + Pdx Qdy P Q ds L ( cos  cos)   + = + (ds面元素(曲)) (dxdy面元素(投影))

理论上的联系 1定积分与不定积分的联系 f(xdx= F(b)-Fla (F(x= f(x)) 牛顿一莱布尼茨公式 2二重积分与曲线积分的联系 ∫a0-)M=+y(沿的正向) 格林公式

理论上的联系 1.定积分与不定积分的联系 f(x)dx F(b) F(a) (F (x) f(x)) b a = −  =  牛顿--莱布尼茨公式 2.二重积分与曲线积分的联系 ( )dxdy Pdx Qdy (沿L的正向) y P x Q L D   = +   −   格林公式

3三重积分与曲面积分的联系 aP o OR Pdydz dzdx Rdxdj Q Or O az 高斯公式 4曲面积分与曲线积分的联系 OR dQ OP OR Ddydz +o Dazai +o Dady ay az az ax ar av =P+Q小+Rdz 斯托克斯公式

3.三重积分与曲面积分的联系     = + +   +   +   dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) 高斯公式 4.曲面积分与曲线积分的联系 dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ( ) ( ) ( )   −   +   −   +   −       = Pdx + Qdy + Rdz 斯托克斯公式

Green/公式, Guass公式, Stokes公式之间的关系 Pdx Qd a4_ or-)dxdy Ox a 或5-a+/y +-)dxdy D ax ay AM为平面向量场 中A·d=「(r0tkdy (A·n)ds divAdxdy 推广 A(M)为空间向量场 推广 A·dS (rotA·n)dS 中(n)dks ∫J divide Q Pdx + Qdy rdz Pdydz +aded +rdxdy ayaz azax andy aP a OR Ox a dy az R QOR

   =  D L A ds (rotA k )dxdy        = D L A n ds divAdxdy    ( ) Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系     A  dS = (rotA  n)dS             = + + P Q R x y z dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz     A  n ds = divAdv    ( ) dv z R y Q x P Pdydz Qdzdx Rdxdy ( )   +   +   = + +         −   + = D L dxdy y P x Q Pdx Qdy ( )     +   − + = D L dxdy y Q x P 或 Qdx Pdy ( ) 推广 推广 A(M)为平面向量场  A(M )为空间向量场 