问题Dirichlet收敛定理Riemann-Lebesgue引理Dini定理定理2（局部化定理）设函数f（αc）以2元为周期，在「一元，元上可积或绝对可积.则f(αc)的Fourier级数在ao是否收敛以及收敛到什么值，只与f(α)在co的附近的值有关注意根据定义，Fourier系数与f（α）在区间【一元，元上的值有关因此局部化定理体现了Fourier级数特别之处进一步有如下定理定理3（Dini定理）设函数f(α）以2元为周期，在「一元，元l上可积或绝对可积.对于实数s，令p(t) = f(co + t) + f(co - t) - 2s.若存在>0,使得函数 2(t 在[0,] 上可积或绝对可积,则 f(α)的 Fourier级数在Co处收敛于s返回全屏关闭退出6/16
Dirichlet Âñ½n Riemann-Lebesgue Ún Dini ½n ¯K ½n 2 (ÛÜz½n) ¼ê f(x) ± 2π ±Ï, 3 [−π, π] þȽýé È. K f(x) Fourier ?ê3 x0 ´ÄÂñ±9Âño, f(x) 3 x0 NCk'. 5¿ â½Â, Fourier Xê f(x) 3«m [−π, π] þk'. Ïd ÛÜz½nNy Fourier ?êAO?. ?ÚkXe½n. ½n 3 (Dini ½n) ¼ê f(x) ± 2π ±Ï, 3 [−π, π] þȽýé È. éu¢ê s, - ϕ(t) = f(x0 + t) + f(x0 − t) − 2s. e3 δ > 0, ¦¼ê ϕ(t) t 3 [0, δ] þȽýéÈ, K f(x) Fourier ?ê3 x0 ?Âñu s. 6/16 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Dini定理问题Dirichlet收敛定理Riemamn-Lebesgue引理证明营常值函数1的Fourier级数仍是1，所以在（12.2）中令f=1，可得"sin(n+)a2(12.5)dr.1152sin号元J02将（11.2）式减去（11.5）式的s倍，得f(ao+α)+f(ao-α)-2sYTn(co) - 8 =sin(n + =)a da2sin2元Jop(c)11(12.6)sin(n +)a dac.2sin2元Jo2因为根据条件2()在[0,]上可积或绝对可积,所以Tp(c)p(a)c22sing2sinr2也在[0,]上可积或绝对可积，因此此函数在[0,元]上也可积或绝对可积由Riemann-Lebesgue引理知，（11.6）式右端的积分当n→+o时趋于0,即lim Tn(co) = s.n8返回全屏关闭退出7/16
Dirichlet Âñ½n Riemann-Lebesgue Ún Dini ½n ¯K y² ~¼ê 1 Fourier ?êE´ 1, ¤±3 (12.2) ¥- f = 1, 1 = 2 π Z π 0 sin (n + 1 2 )x 2 sin x 2 dx. (12.5) ò (11.2) ª~ (11.5) ª s , Tn(x0) − s = 1 π Z π 0 f(x0 + x) + f(x0 − x) − 2s 2 sin x 2 sin(n + 1 2 )x dx = 1 π Z π 0 ϕ(x) 2 sin x 2 sin(n + 1 2 )x dx. (12.6) Ïâ^ ϕ(x) x 3 [0, δ] þȽýéÈ, ¤± ϕ(x) 2 sin x 2 = ϕ(x) x · x 2 sin x 2 3 [0, δ] þȽýéÈ, Ïdd¼ê3 [0, π] þȽýéÈ. d Riemann-Lebesgue Ún, (11.6) ªmàÈ© n → +∞ ªu 0, = lim n→∞ Tn(x0) = s. 7/16 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ