高数课程妥媒血课件 理工大理>> 谁论 如果幂级数∑anx"不是仅在x=0一点收敛,也 n=0 不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数R存在,它具有下列性质: 当x<R时,幂级数绝对收敛; 当x>R时级数发散; 当x=R与x=-R时,幂级数可能收敛也可能发散 Http://www.heut.edu.cn
如果幂级数 n=0 n an x 不是仅在x = 0一点收敛,也 不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数R存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当x = R与x = −R时,幂级数可能收敛也可能发散. 推论
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 上面的正数R称为幂级数的收敛半径 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间 如果幂级数∑nx"的所有系数an≠0, 设lim n+1 n→0 =p(或man=p) (1)则当p≠0时R=-;(2)当p=0时,R=+00 (3)当p=+0时,R=0 Http://www.heut.edu.cn
上面的正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. 如果幂级数 n=0 n n a x 的所有系数an 0, 设 = + → n n n a a 1 lim (或 = → n n n lim a ) (1) 则当 0时, = 1 R ; (3) 当 = +时,R = 0. (2) 当 = 0时,R = + ; 定 理
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 3幂级数的运算 a.代数运算性质: 设∑anx和∑bnx的收敛半径各为R和R2, 0 H=0 R=minR, R2 加减法 ∑anxn±∑bx"=∑nx.x∈(R,R) n-=0 n=0 (其中Cn=an±bn) Http://www.heut.edu.cn
a.代数运算性质: 加减法 = = 0 n 0 n n n n an x b x . 0 = = n n cn x (其中 R = minR1 ,R2 ) n an bn c = x (− R,R) , 1 2 0 0 a x b x R R n n n n n 设 n 和 的收敛半径各为 和 = = 3 幂级数的运算
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 乘法 ∑anx)∑bx")∑cnx"·x∈(-R,R H=0 H=0 H=0 (其中 bn+a1·bn1+…+anb) 除法 收敛域内∑bnx"≠ H=0 ∑anx -=0 ∑ ∑bnx n Http://www.heut.edu.cn
乘法 ( ) ( ) 0 0 = = n n n n n an x b x . 0 = = n n cn x x (− R,R) (其中 ) a0 b a1 b 1 a b0 cn n n n = + + + − 除法 = = 0 0 n n n n n n b x a x . 0 = = n n cn x ( 0) 0 n= n 收敛域内 bn x
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> b.和函数的分析运算性质 幂级数∑ax“的和函数(x)在收敛区间 H=0 R,R)内连续,在端点收敛则在端点单侧连续 幂级数∑anx"的和函数(x)在收敛区间 n=0 (-R,R)内可积且对x∈(-R,R)可逐项积分 幂级数∑anx"的和函数(x)在收敛区间 (-R,R)内可导,并可逐项求导任意次 Http://www.heut.edu.cn
b.和函数的分析运算性质: 幂级数 n=0 n an x 的和函数s(x)在收敛区间 (−R,R)内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续. 幂级数 n=0 n an x 的和函数s(x)在收敛区间 (−R,R)内可积,且对x (−R,R)可逐项积分. 幂级数 n=0 n an x 的和函数s(x)在收敛区间 (−R,R)内可导, 并可逐项求导任意次