10 行波法分离变量法 有了数学物理方程和所需的附加条件,下一步就是:如何解? 先从物理上考虑 101一维无界区域的自由振动 D'Alembert公式 Q无界区域的自由振动 以弦的横振动为例。振动方程 其中:a2=T/,f=Fp,F为单位长度受到的外力,p弦的线密度。 对自由振动,f=0。无限长的弦,不必计及边界的影响 物理上的理解:弦足够长,边界足够远,以致于边界的影响(反射)尚来不及传到我们所感兴趣的这段弦 定解问题: 双曲型泛定方程 (x,0)=(x),a(x,0)=(x) Cauchy初始条件(给定函数及其导数值) 方程对应于§94节(14)式: +B-y 中A=1,B=0,C=-a2,B2-4AC=4a2>0,可作变换 E=Ax+-1-B+vB2-44C =x+aL, 把方程化为 0形式 n=Ax+--B-vB-4Ac t=x-a asan 从而可解得 l=f()+f(m)=f(x-a0+h(x+a,其中f(x)和hx)为任意函数。 可见,只有泛定方程,远远不能完全确定解 解的物理意义: 第一项:f(x-a)=f(x),x'=x-at 以S为实验室坐标系,x为在S坐标系中的坐标, 以S为相对于实验室坐标以速度a沿x方向运动的坐标系
10 行波法 分离变量法 有了数学物理方程和所需的附加条件，下一步就是：如何解？ 先从物理上考虑。 10.1 一维无界区域的自由振动 D’Alembert 公式 无界区域的自由振动 以弦的横振动为例。振动方程： utt - a2 uxx = f 其中：a2 = T/ρ, f = F/ρ, F 为单位长度受到的外力，ρ 弦的线密度。 对自由振动，f = 0。无限长的弦，不必计及边界的影响。 物理上的理解：弦足够长，边界足够远，以致于边界的影响（反射）尚来不及传到我们所感兴趣的这段弦。 定解问题： utt = a2 uxx 双曲型泛定方程 u(x, 0) = φ(x), ut(x, 0) = ψ(x) Cauchy初始条件 （给定函数及其导数值 ） 方程对应于 § 9.4节(1.4)式： A ∂2 φ ∂ t 2 + B ∂2 φ ∂ t ∂ x + C ∂2 φ ∂ x2 = 0 中 A = 1, B = 0, C = -a2，B2 - 4 A C = 4 a2 > 0 ，可作变换 ξ = A x + 1 2 -B + B2 - 4 A C t = x + a t, η = A x + 1 2 -B - B2 - 4 A C t = x - a t 把方程化为 ： ∂2 u ∂ ξ ∂ η = 0 形式 从而可解得 ： u = f1(ξ) + f2(η) = f1(x - a t) + f2(x + a t)， 其中 f1(x) 和 f2(x) 为任意函数 。 可见，只有泛定方程 ，远远不能完全确定解 。 解的物理意义： 第一项： f1(x - a t) = f1(x′ ), x′ = x - a t x at ′ x S S′ 以 S 为实验室坐标系 ，x 为在 S 坐标系中的坐标 ， 以 S′ 为相对于实验室坐标以速度 a 沿 x 方向运动的坐标系
2 z10anb 据伽利略变换,在S坐标系中的坐标x=x-at 因波形f(x)不显含时间,所以在S坐标系中看,波形是固定不变的 从而在实验室坐标系S上看,f(x-a)表示一个以速度a不畸变地向右运动的波形 第二项:f2(x+a)=f(x"),x"=x+at 类似于f(x-at),在实验室坐标系S上看,f(x+a表示一个以速度a不畸变地向左运动的波形 因此,泛定方程的解为两个不畸变的传播波,一个向右传播,一个向左传播。 f[x If-4<x< 0.915,-sinx1-2x-1.,25,0 Animat Pot(x],2[xa],2[x+a],(x,-9,4) PlotRange→{{-8,4},(-0.1,0.7}}, Plotstyle+((Black, Thick], [Red, Thick], bLue, Dashing [o 02], Thick)] RegionFunction Function[[x, Y),y>0] [t,0,5,0.02), AnimationRunning False D公巴 现在需确定适当的函数f和,使解满足两个初始条件 u(x, 1)=i(x-ar+f(r+an), a(x,0)=g(x) f(x)+(x)=(x) nx0)=)=-a/()+ag(=)=()-()=-1wed+c
据伽利略变换 ，在 S′ 坐标系中的坐标 x′ = x - a t 因波形 f1(x′ ) 不显含时间 ，所以在 S′ 坐标系中看 ，波形是固定不变的 。 从而在实验室坐标系 S 上看，f1(x - a t) 表示一个以速度 a 不畸变地向右运动的波形 。 第二项： f2(x + a t) = f2(x′′), x′′ = x + a t 类似于 f1(x - a t)，在实验室坐标系 S 上看，f2(x + a t) 表示一个以速度 a 不畸变地向左运动的波形 。 因此，泛定方程的解为两个不畸变的传播波，一个向右传播，一个向左传播。 f[x_] := If -4 < x < -0.915, -Sin[x] - 1 2 x - 1.25, 0 ; a = 1; Animate Plot f[x], 1 2 f[x - a t], 1 2 f[x + a t] , {x, -9, 4}, PlotRange {{-8, 4}, {-0.1, 0.7}}, PlotStyle {{Black, Thick}, {Red, Thick}, {Blue, Dashing[0.02], Thick}} , RegionFunction Function[{x, y}, y > 0] , {t, 0, 5, 0.02}, AnimationRunning False t -8 -6 -4 -2 2 4 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 现在需确定适当的函数 f1 和 f2，使解满足两个初始条件。 u(x, t) = f1(x - a t) + f2(x + a t), u(x, 0) = φ(x) ⟹ f1(x) + f2(x) = φ(x) ut(x, 0) = ψ(x) ⟹ -a f1 ′ (x) + a f2 ′ (x) = ψ(x) ⟹ f1(x) - f2(x) = - 1 a x0 x ψ(ξ) ξ + c 2 z10a.nb
f(x)=-(x)- v(edE 解得 f(x)=-g(x)+ ψ(E)df x,D=f1(x-a1)+2(x+a1)=-y(x-a1)+(x+a)+ 从而,一维无界波动方程的解 D'Alembert公式 u(x, n=-(x-an+o(x+anl+ (eds (x,0)=b(x) 其物理意义为:一个向左、一个向右传播的无畸变的行波,如上图所示。故称这种解法为行波法 目例1.无限长弦在x=x受一冲量/冲击,弦的线密度为p,求弦振动 解:先写出定解问题(定解条件):无限长,无需边条 ln-afux=0 泛定方程 (a(x,0)=0,a(x,0)=?初条 在x0点得到冲量,从而仅在该点有初速度:(r,0)=co(x-xo) =|u(,0)pdx→cp=l→a(x,0)=-(x-x0)(参见§94例2) 利用 D'Alembert公式:M=1C-)E=1C-mnd 2a Jx-at a 当1x-+01>0即小上一s的 xo 2ap u(x,0)=12ap otherwise 物理意义:离x距离为d=x-xo之处,要等到时间在 后才有响应(位移) 即:波从x传到距x的距离为d=x-xol处,需要时间一,故a也称为波传播速度
解得： f1(x) = 1 2 φ(x) - 1 2 a x0 x ψ(ξ) ξ + c 2 f2(x) = 1 2 φ(x) + 1 2 a x0 x ψ(ξ) ξ - c 2 ⟹ u(x, t) = f1(x - a t) + f2(x + a t) = 1 2 [φ(x - a t) + φ(x + a t)] + 1 2 a x-a t x+ a t ψ(ξ) ξ 从而，一维无界波动方程的解 —— D’Alembert 公式 utt = a2 uxx u(x, 0) = φ(x) ut(x, 0) = ψ (x) ⟹ u (x, t) = 1 2 [φ (x - a t) + φ (x + a t)] + 1 2 a x-a t x+ a t ψ (ξ) ξ 其物理意义为：一个向左、一个向右传播的无畸变的行波，如上图所示。故称这种解法为行波法。 ☺ 例 1. 无限长弦在 x = x0 受一冲量 I 冲击，弦的线密度为 ρ，求弦振动 解：先写出定解问题 （定解条件 ）：无限长，无需边条 utt - a2 uxx = 0 泛定方程 u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = ? 初条 在 x0 点得到冲量 ，从而仅在该点有初速度 ：ut(x, 0) = c δ(x - x0) I = ut(x, 0) ρ x ⟶ c ρ = I ⟶ ut(x, 0) = I ρ δ(x - x0) （参见 §9 .4 例 2） 利用 D'Alembert 公式：u(x, t) = 1 2 a x-a t x+ a t I a δ(ξ - x0) ξ = 1 2 a x-x0-a t x-x0+ a t I a δ(η) η 当 x - x0 - a t < 0 x - x0 + a t > 0 即 t > x - x0 a 时，u = I 2 a ρ u(x, t) = I 2 a ρ , t > x - x0 a 0, otherwise 物理意义 ：离 x0 距离为 d = x - x0 之处，要等到时间在 x - x0 a 后才有响应 （位移）。 即：波从 x0 传到距 x0 的距离为 d = x - x0 处，需要时间 d a ，故 a 也称为波传播速度 。 z10a.nb 3
z10a.nb 1 =1 Ip=1 bs [x] u【x_,t_]:=It> Animate Plot [u[x, t], [x,-5, 5), AxesOrigin+[0,0), PlotRange[-05, 1.01 Plotstyle -[[Red, Thick]), RegionFunction Function[[x, y],y>-011] [t,0, 5,0.02), AnimationRunning False] 公 0.6
a = 1; ρ = 1; Ip = 1; u[x_, t_] := If t > Abs[x] a , Ip 2 a ρ , 0 ; Animate[ Plot[u[x, t], {x, -5, 5}, AxesOrigin {0, 0}, PlotRange {-0.5, 1.0}, PlotStyle {{Red, Thick}}, RegionFunction Function[{x, y}, y > -0.1]], {t, 0, 5, 0.02}, AnimationRunning False] t -4 -2 2 4 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 4 z10a.nb
Q半无界区域的自由振动一初始条件的延拓 1.第一类齐次边条一奇延拓 定解问题 x≥0(出现边界x=0,在x=0需要边条) u(x, 0)=o(r), u(x, 0)=v(x) 相当于一端固定 对这个定解问题,我们注意到两点 (a)我们仅需要在x≥0区域的解 (b)满足以上方程的解是唯一的,即只要满足(1.1),就是该问题的解 为此,我们可在x<0区域人为地附加一些条件,使得问题拓展为无界问题,即可用 D'Alember公式求解 然后在无界问题的解中取x≥0部分,如果解在这部分满足定解条件(1.1),即为原问题的解。 至于无界问题的解在x<0区域如何,并不重要。 这就是延拓的思想 半无界延拓,无界:需要 无界问题的解在x≥0区域仍满足(1.1) 延拓后可以用 D'Alembert公式 半无界 Dirichlet(I类)齐次边条的延拓: -a- llr -∞<x<+0 Ux,0)=(x) 0,D)=0 U(0,1)=0对应于:(0,t)=0 显然延拓后U满足的泛定方程与u相同。也就是说:U满足左边方程的第一行 所以,问题就归结为如何选取ψ(x)和屮(x),使得U在x≥0区域满足左边的第 四行 令在x≥0区域:4)和里x)分别退化为dx)和(x,(9()=)x≥0 这样无界解U就可满足左边的第二、三行。 而在x<0区域:(x)和平(x)如何取? 取适当的φ(x)和屮(x),使得在x=0,U(x,m)=0=0以满足左边的第四行 这样,无界解U就满足半无界问题的定解条件,根据解的唯一性,在x≥0区域:u(x,D=U(x,t)。 由(12),利用 D Alembert公式可得 U(, n=-lp(x-an+d(x+anl+ yed 现要求在x=0时,U(0,)=0以满足(1.1)中的第四行,为此,需要 0.0=0-a0++2r"vede=0 显然,只要4x)和屮(x)为奇函数即可 又因为,在x≥0区域:4x)和平(x)分别退化为dx)和u(x 因此,我们就确定了(1.2)式的小x)和(x) gp(r)= o(r) Y(x)= d(-x)x<0 ψ(-x) 0 因为把原来给定的在x≥0区域的初始条件做奇函数延拓至-∞<x<+∞区域,故称为奇延拓 这样,(1.2)式解出的U(x,D在x≥0区域满足(1.1)式,即:在x≥0区域,u(x,D)=U(x,D) 在x≥0区域
半无界区域的自由振动 —— 初始条件的延拓 1. 第一类齐次边条——奇延拓 定解问题： utt = a2 uxx x ≥ 0 （出现边界 x = 0，在 x = 0 需要边条 ） u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = ψ(x) u(0, t) = 0 相当于一端固定 (1.1) 对这个定解问题，我们注意到两点： (a) 我们仅需要在 x ≥ 0 区域 的解 (b) 满足以上方程的解是 唯一的，即只要满足(1. 1)，就是该问题的解 为此，我们可在 x < 0 区域人为地附加一些条件，使得问题拓展为无界问题，即可用D’Alembert公式求解。 然后在无界问题的解中取 x ≥ 0 部分，如果解在这部分满足定解条件 (1.1)，即为原问题的解。 至于无界问题的解在 x < 0 区域如何，并不重要。—— 这就是延拓的思想。 半无界 延拓 无界：需要： 无界问题的解在 x ≥ 0 区域仍满足 (1. 1) 延拓后可以用 D’Alembert公式 半无界 Dirichlet （I 类）齐次边条的延拓： utt = a2 uxx x ≥ 0 u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = ψ (x) u(0, t) = 0 延拓 Utt = a2 Uxx -∞ < x < +∞ U(x, 0) = Φ(x) Ut(x, 0) = Ψ(x) U(0, t) = 0 对应于：u(0, t) = 0 (1.2) 显然延拓后 U 满足的泛定方程与 u 相同。也就是说： U 满足左边方程的第一行。 所以，问题就归结为如何选取 Φ(x) 和 Ψ(x)，使得 U 在 x ≥ 0 区域满足左边的 第二、三、四行。 令在 x ≥ 0 区域：Φ(x) 和 Ψ(x) 分别退化为 ϕ(x) 和 ψ(x)， Φ(x) = ϕ(x) Ψ(x) = ψ(x) if x ≥ 0 这样无界解 U 就可满足左边的 第二、三行。 而在 x < 0 区域：Φ(x) 和 Ψ(x) 如何取？ 取适当的 Φ(x) 和 Ψ(x)，使得在 x = 0, U(x, t)x=0 = 0 以满足左边的 第四行。 这样，无界解 U 就满足半无界问题的定解条件，根据解的唯一性，在 x ≥ 0 区域：u(x, t) = U(x, t)。 由 (1.2)，利用D’Alembert公式可得： U(x, t) = 1 2 [Φ(x - a t) + Φ(x + a t)] + 1 2 a x-a t x+ a t Ψ(ξ) ξ 现要求在 x = 0 时，U(0, t) = 0 以满足 (1.1) 中的第四行，为此，需要 U(0, t) = 1 2 [Φ(-a t) + Φ(a t)] + 1 2 a -a t a t Ψ(ξ) ξ = 0 显然，只要 Φ(x) 和 Ψ(x) 为奇函数即可 。 又因为，在 x ≥ 0 区域：Φ(x) 和 Ψ(x) 分别退化为 ϕ(x) 和 ψ(x)， 因此，我们就确定了 (1.2)式的 Φ(x) 和 Ψ(x) Φ(x) = ϕ(x) x ≥ 0 -ϕ(-x) x < 0 , Ψ(x) = ψ(x) x ≥ 0 -ψ(-x) x < 0 因为把原来给定的在 x ≥ 0 区域的初始条件做奇函数延拓至 -∞ < x < +∞ 区域，故称为奇延拓。 这样， (1.2) 式解出的 U(x, t) 在 x ≥ 0 区域满足 (1.1) 式，即：在 x ≥ 0 区域，u(x, t) = U(x, t)。 在 x ≥ 0 区域 z10a.nb 5