Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMaaPhys FDU (a)团<R (b) zl>r (c)R< z< R2 x (d)61<argz<的 (e)Imz>0 (f)|2<R.Imz>0 几个典型的区域(阴影在边界外侧) 2.复变函数: (1)复变函数定义:若对于复平面上区域D中的每一个复数z,按照 定规律,都有一个(或几个)复数值w与之相对应,则称v为 z的复变函数(单值函数(或多值函数)),区域D称为定义域。 复变函数有两种表示形式 iy,w=5+in =u(x,y)+nv(x,y),[(u,yv)均为实变量(x,y)的二元实函数] 例如 (1)w=z+b平移变换 (2)w=e"z旋转变换 (3)=n缩放变换 (4)=c+b设a=re, 三步:1旋转θ;2缩放r;3平移b (5)=R2/=(广义)反演变换。如果R==|,则v=R2/ 就是z的复共轭;如果R与|二|是相同的量纲(例如长度), 则亦具有相同的量纲。 6
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 6 2. 复变函数： （1） 复变函数定义：若对于复平面上区域 D 中的每一个复数 z ，按照 一定规律，都有一个（或几个）复数值 w 与之相对应，则称 w 为 z 的复变函数 (单值函数（或多值函数）)，区域 D 称为定义域。 复变函数有两种表示形式： w = f (z), （ z = x + iy,w = + i ）, w = u(x, y) + iv(x, y) , [ ( , ) u v 均为实变量 ( , ) x y 的二元实函数]。 例如： （1） w = z + b 平移变换 （2） w e z i = 旋转变换 （3） w = rz 缩放变换 （4） w = az + b 设 i a = re ， 三步：1/旋转 ；2/缩放 r ；3/平移 b . （5） w R z 2 = （广义）反演变换。如果 R z =| | ,则 w R z 2 = 就是 z 的复共轭；如果 R 与 | | z 是相同的量纲（例如长度）， 则 w 亦具有相同的量纲
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMaaPhys FDU (2)复变函数的极限:设二0是函数f()的定义域内的一点,如果对 VE>0,都彐>0,(隐含(E),O(二0)和E(=0))使得对于任意满足条 件0<-0|<6的复数z,都有f()-4<E,那么复数A(有限)称 为函数=f(=)当z趋于二0时的极限,记为lmf()=A.如果复数A 无限,则称函数f()在=0处发散( divergence)。设 f(z)=u(x,y)+n(x,y),A=u0+m,=0=x0+,则 lm u(x, y)=lo m f(a=A y→y0 lim v(x,y)=vo (3)复变函数的连续与一致连续:vE,36>0,当=--0<8,恒有 (-)-f(-0)<,那么称函数w=f()在点=连续(在点二邻域 连续)[等价定义:设二0是函数f()的定义域内的一点, ()=f(=0),那么称函数W=f()在点=连 如果函数w=f()在区域D上的每一点都连续,则称函数 =f()在区域D上是连续的 注:f()=(xy)+m(xy)在=0=x+00处连续e(xy)均在 v( x,y) (x,y)处连续 vE,36>0,对任何=∈D,只要-0<8,且z∈D,恒有 (-)-f(=)<6,那么称函数w=f(=)在D上一致连续 [等价定义:如果VE,3δ>0,只要1-2|<δ,=,2∈D, 恒有f(-)-f(=2)<E,那么称函数w=()在D上一致连续 注:*函数f()在区域D上一致连续,一定在D上连续
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 7 (2) 复变函数的极限：设 0 z 是函数 f (z) 的定义域内的一点，如果对 0 ，都 0，（隐含 ( ) ， 0 ( ) z 和 0 ( ) z ）使得对于任意满足条 件 0 z − z0 的复数 z ，都有 f (z) − A ，那么复数 A （有限）称 为函数 w = f (z) 当 z 趋于 0 z 时的极限，记为 f z A z z = → lim ( ) 0 . 如果复数 A 无 限 ， 则 称 函 数 f (z) 在 0 z 处 发 散 （ divergence ）。 设 f (z) = u(x, y) + iv(x, y)， 0 0 A = u + iv ， 0 0 0 z = x + iy ，则 = = = → → → → → 0 0 lim ( , ) lim ( , ) lim ( ) 0 0 0 0 0 v x y v u x y u f z A y y x x y y x x z z . (3)复变函数的连续与一致连续： ， 0 ，当 z − z0 ，恒有 ( ) − ( ) 0 f z f z ，那么称函数 w = f (z) 在点 0 z 连续（在点 0 z 邻域 连续） [等价定义：设 0 z 是函数 f (z) 的定义域内的一点， lim ( ) ( ) 0 0 f z f z z z = → ，那么称函数 w = f (z) 在点 0 z 连续]， 如果函数 w = f (z) 在区域 D 上的每一点都连续，则称函数 w = f (z) 在区域 D 上是连续的。 注： f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 在 0 0 0 z = x + iy 处连续 ( , ) ( , ) v x y u x y 均在 ( , ) 0 0 x y 处连续。 ， 0 ，对任何 z0 D ，只要 z − z0 ，且 z D ，恒有 ( ) − ( ) 0 f z f z ，那么称函数 w = f (z) 在 D 上一致连续 [等价定义：如果 ， 0 ，只要 z1 − z2 ， 1 2 z z, D ， 恒有 ( ) − ( ) 1 2 f z f z ，那么称函数 w = f (z) 在 D 上一致连续]。 注：* 函数 f (z) 在区域 D 上一致连续，一定在 D 上连续
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMaaPhys FDU *连续定义中的δ不仅与E有关,还与二点有关 致连续定义中的δ只与E有关,与=0点无关。 例如,f(=)=在区域0<<∞上连续,但不一致连续。 例:求函数f(-)=2x+y2在二0=2i的极限,并判断在该点的连续性。 解:因为 lmn(x,y)=(02) lim 2 因此, lm v(x, y) imf()=0+i4=4i,又 f(=0)=f(2i)=2x+y2=4i 所以,f()=2x+p2在二0=2的极限存在,并连续。 例:求函数()=1三-日在:0=0的极限,并判断在该点的连续性。 解:设z=x+py,则 2 f(=)= pixy =l(x,y)+ⅳv(x,y),显然 v(x,y)=0在(0.0)点的极限存在并连续, 然而,,limu(x,y)= ,不存在,事实上,令 2xy 2x(kx) 2K (xy)→0.0)x2+y x2+(x2、lm lin 612+k2=12+2,对于不同k 值,极限不同,故知u(x,y)在(0,0)点的极限不存在。 所以,f(=) 在zo=0的极限不存在。 2i(2z (4)复变函数的导数:设z0是函数f()的定义域内的一点,当z 在〓0的邻域内沿一切方向、按任何方式趋于点=时,即当
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 8 **连续定义中的 不仅与 有关，还与 0 z 点有关。 一致连续定义中的 只与 有关，与 0 z 点无关。 例如， z f z 1 ( ) = 在区域 0 z 上连续，但不一致连续。 例：求函数 2 f (z) = 2x + iy 在 z 2i 0 = 的极限，并判断在该点的连续性。 解：因为， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = → → → → lim ( , ) lim 4 lim ( , ) lim 2 0 2 , 0,2 , 0,2 , 0,2 , 0,2 v x y y u x y x x y x y x y x y ，因此， ( ) ( ) f z i i x y lim ( ) 0 4 4 , 0,2 = + = → ，又 f (z ) f (2i) 2x iy 4i 2 0 = = + = 所以， 2 f (z) = 2x + iy 在 z 2i 0 = 的极限存在，并连续。 例：求函数 = − z z z z i f z 2 1 ( ) 在 z0 = 0 的极限，并判断在该点的连续性。 解：设 z = x + iy ，则 ( , ) ( , ) 4 2 2 1 2 1 ( ) 2 2 2 2 u x y iv x y x y x y x y ixy z i z z z i f z = + + = + = = − ，显然， v(x, y) = 0 在 (0,0) 点的极限存在并连续， 然而， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , 0,0 , 0,0 2 lim ( , ) lim x y x y u x y x y x y + = → → 不存在，事实上，令 y = kx ，有 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 , 0,0 1 2 1 2 lim 2 ( ) lim 2 lim k k k k x k x x k x x y x y y kx x y kx x y x + = + = + = + = → → = → → → ，对于不同 k 值，极限不同，故知 u(x, y) 在 (0,0) 点的极限不存在。 所以， = − z z z z i f z 2 1 ( ) 在 z0 = 0 的极限不存在。 （4） 复变函数的导数：设 0 z 是函数 f (z) 的定义域内的一点，当 z 在 0 z 的邻域内沿一切方向、按任何方式趋于点 0 z 时，即当
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMaaPhys FDU A=2-20时,若极限m(+4)-/(a具 有同一有限值,则称函数∫(=)在点=0可导,称此极 限值为f()在的导数,记为f(=0)或c 注意:*与A→>0的方式无关; 求导f(x)最多有两个方向,而w()可有∞多个方向 *On(x,y)/ax是偏导,d(x+iy)/d是全导。 (5)复变函数可导的必要条件一 Cauchy- Riemann(C-R)条件 设f(x)=l(x,y)+nv(x,y)在 二0=x+0点可导,则(x,y),(x,y)在(x,y)处必定满足 . y) av(x, y) (x0,y av(x,y Ou(x,y) 证明:f(x)=l(x,y)+nv(x,y)在0=x+少点可导,根据定义, mnf(a+2)-/(a)存在,并且与:→三的路径无关。 下面选择两个特殊路径: 首先沿平行于实轴的直线(即y=y为常数), +lyo f(x0+△)-f( lim u(xo+ Ax,yo)-u(=o +iv(o+Ax, yo)-v(ro,y Ou(r,y) Ov(x,y ax ox 然后沿平行于虚轴的直线(即x=x为常数)
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 9 z = z − z0 → 0 时，若极限 ( ) z f z z f z z + − → 0 0 0 ( ) lim 具 有同一有限值，则称函数 f (z) 在点 0 z 可导，称此极 限值为 f (z) 在 0 z 的导数，记为 ( ) 0 f z 或 0 d d ( ) z z z f z = . 注意:* 与 →z 0 的方式无关; **求导 f x'( ) 最多有两个方向，而 w z'( ) 可有 多个方向。 *** u x y x ( , ) / 是偏导，df x iy dz ( ) / + 是全导。 （5） 复变函数可导的必要条件—Cauchy-Riemann(C-R)条件： 设 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 在 0 0 0 z = x + iy 点可导，则 u(x, y) , v(x, y) 在 ( ) 0 0 x , y 处必定满足 = − = ( , ) ( , ) 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y y u x y x v x y y v x y x u x y . 证明： f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 在 0 0 0 z = x + iy 点可导,根据定义， ( ) z f z z f z z + − → 0 0 0 ( ) lim 存在，并且与 0 z → z 的路径无关。 下面选择两个特殊路径： 首先沿平行于实轴的直线（即 0 y y = 为常数）， 0 z = x + iy ,z = x , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) , lim ( ) lim 0 0 0 0 , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x y x y x z x v x y i x u x y x v x x y v x y i x u x x y u x y z f z z f z + = + − + + − = + − → → 然后沿平行于虚轴的直线（即 0 x x = 为常数）