6 二阶线性常微分方程的级数解法 复变函数在解析点邻域或孤立奇点的无心邻域可以展开成 Taylor或 Laurent级数,这种级数展开技巧不仅可以用于计算积 分,还可用于求解二阶线性常微分方程 许多物理规律都用微分方程描述,其中最常见的是二阶线性常微分方程,它的一般形式是 +p(-)-+q(-)w=f(-) (1.1) 如果∫()=0,则上式称为二阶线性齐次常微分方程。注意常微分方程的“常”是相对于偏微分方程的“偏”而言,指的是自单 变量,并非指常系数 在不同的物理问题中,常遇到的二阶线性常微分方程有:(这里的x可看为复变量) (1.2) Bessel方程 ry+xy+(r-m)y=0 Laguerre方程 xy+(1-x)y+ay=0 ermita方程 Chebyshev方程:(1-x2)y"-xy+n2y=0 Hypergeometric E: x(x-1)y+[(1+a+b)x-cly +aby=0 Confluent hypergeometri方程 xy+(c-x)y-ay=0 这些方程都是二阶线性常微分方程,因此数学上,每一个方程都有两个线性无关的解,本章要讨论如何求出这两个解。 我们将看到,这些方程的解各对应于一类特殊函数,而这些特殊函数在一般情况下,大都无法表示为简单的初等函数。因 此,无法通过传统的求积分方法求解。 但我们知道这些方程在某些区域必有解析解,因此就把解析解在此邻域展开成级数,于是,这些特殊函数解常用级数 我们将以 Legendre方程和 Bessel方程方程为例,学习二阶线性常微分方程级数解法, 就是求解无穷级数种各项系数之间的关系,从而确定级数。这种解法也称 Frobenius解法。 61二阶线性常微分方程的常点与奇点 二阶线性齐次常微分方程的一般形式是 +p() 其中p()和q()称为方程的系数。显然,方程的性质由其系数确定。特别是,方程解的形式与解的解析性也由系数的解析 确定 通常,人们并不需要在整个复平面内求解方程,更感兴趣的是求解某点0邻域的解(邻域可大可小)
6 二阶线性常微分方程的级数解法 复变函数在解析点邻域或孤立奇点的无心邻域可以展开成 Taylor 或 Laurent 级数，这种级数展开技巧不仅可以用于计算积 分，还可用于求解二阶线性常微分方程。 许多物理规律都用微分方程描述，其中最常见的是二阶线性常微分方程，它的一般形式是 2w z2 + p(z) w z + q(z) w = f (z) (1.1) 如果 f (z) = 0，则上式称为二阶线性齐次常微分方程。注意常微分方程的“常”是相对于偏微分方程的“偏”而言，指的是自单 变量，并非指常系数。 在不同的物理问题中，常遇到的二阶线性常微分方程有：（这里的 x 可看为复变量） Legendre 方程： 1 - x2 y″ - 2 x y′ + l(l + 1) y = 0 (1.2) Bessel 方程： x2 y″ + x y′ + x2 - n2 y = 0 (1.3) Laguerre 方程： x y″ + (1 - x) y′ + a y = 0 (1.4) Hermite 方程： y″ - 2 x y′ + 2 α y = 0 (1.5) Chebyshev 方程： 1 - x2 y″ - x y′ + n2 y = 0 (1.6) Hypergeometric 方程： x (x - 1) y″ + [(1 + a + b) x - c] y′ + a b y = 0 (1.7) Confluent hypergeometric 方程： x y″ + (c - x) y′ - a y = 0 (1.8) 这些方程都是二阶线性常微分方程，因此数学上，每一个方程都有两个线性无关的解，本章要讨论如何求出这两个解。 我们将看到，这些方程的解各对应于一类特殊函数，而这些特殊函数在一般情况下，大都无法表示为简单的初等函数。因 此，无法通过传统的求积分方法求解。 但我们知道这些方程在某些区域必有解析解，因此就把解析解在此邻域展开成级数，于是，这些特殊函数解常用级数表 示。 我们将以Legendre 方程和 Bessel 方程方程为例，学习二阶线性常微分方程级数解法， 就是求解无穷级数种各项系数之间的关系，从而确定级数。这种解法也称 Frobenius 解法。 6.1 二阶线性常微分方程的常点与奇点 二阶线性齐次常微分方程的一般形式是 2w z2 + p(z) w z + q(z) w = 0 (1.9) 其中 p(z) 和 q(z) 称为方程的系数。显然，方程的性质由其系数确定。特别是，方程解的形式与解的解析性也由系数的解析性 确定。 通常，人们并不需要在整个复平面内求解方程，更感兴趣的是求解某点 z0 邻域的解（邻域可大可小）
2z06a.nb 因此,若要在某点二的邻域求解微分方程,系数函数p()和q()在=0的性质就显得特别重要,为此,做以下定义 常点:如果在0点,p()和q()都解析,则称为方程的常点 ■奇点:如果在0点,p()或q(=)不解析,则0称为方程的奇点 正则奇点:在=0点,p()或q()不解析,但(2-=0)p(-)和(-=0)2q()都解析。 ·非正则奇点:在0点,连(二-=0)p()或(-=0)2q()也不解析 无穷远点的判断:方程做自变量变换z=1/4,则方程(19)化为 0 c1ear["G1oba1★"] v0=w[1/3]/.s→z w1=Dw[1/s],s/.s→z w2=D[w[1/3],【s,2)]/.s→z; eq=(w2+p[z]wl +q[z]wo)/z+1/si [s] Expand[eq/c](★将w[]的系数化为*) WISI [S] [s] (1.10)可写成 +P—+Qw=0,P(= 显然,当且仅当心和具 有以下形式时,P与Q(Q才解析 24+a22+a323+ =b44+bs5+ 因为这时对应于:P=-a2-a34+…,Q(=b4+bs+…在《=0均解析 从而∠=0是(1.10)的常点,对应地,z=∞是(1.9)的常点。 若心和引不具有(1形式,c=0G=)就是微分方程的奇点 若和引一具有以下形式,则(=0是(1.10)的正则奇点,对应地,=∞是(19)的正则奇点 (1.12) 2 为这时对应于:P)= a2-a35+…,Q=+-+…在=0,P(和2Qo均解析。 (1.7)式的超几何方程:x(x-1)y"+(1+a+b)x-cly+aby=0 系数为:p(x)= 故:二=0,1,∞是方程的三个正则奇点。 例:(1.8)式的合流超几何方程:xy"+(c-x)y-ay=0 系数为:p(x)= C-x glx 故:z=0是方程的正则奇点,z=∞则是非正则奇点
因此，若要在某点 z0 的邻域求解微分方程，系数函数 p(z) 和 q(z) 在 z0 的性质就显得特别重要，为此，做以下定义。 ◼ 常点：如果在 z0 点， p(z) 和 q(z) 都解析，则 z0 称为方程的常点 ◼ 奇点：如果在 z0 点， p(z) 或 q(z) 不解析，则 z0 称为方程的奇点 正则奇点：在 z0 点， p(z) 或 q(z) 不解析，但 (z - z0) p(z) 和 (z - z0)2 q(z) 都解析。 非正则奇点：在 z0 点，连 (z - z0) p(z) 或 (z - z0)2 q(z) 也不解析。 ◼ 无穷远点的判断：方程做自变量变换 z = 1 /ζ，则方程 (1.9) 化为 2w ζ2 + 2 ζ - 1 ζ2 p 1 ζ w ζ + 1 ζ4 q 1 ζ w = 0 (1.10) Clear["Global`*"] w0 = w[1 / ζ] /. ζ z; w1 = D[w[1 / ζ], ζ] /. ζ z; w2 = D[w[1 / ζ], {ζ, 2}] /. ζ z; eq = (w2 + p[z] w1 + q[z] w0) /. z 1 / ζ; c = Coefficient[eq, w ''[ζ]]; Expand[eq / c] (* 将 w′′[ζ] 的系数化为1 *) q 1 ζ w[ζ] ζ4 + 2 w′ [ζ] ζ - p 1 ζ w′ [ζ] ζ2 + w′′[ζ] (1.10) 可写成 2w ζ2 + P(ζ) w ζ + Q(ζ) w = 0, P(ζ) = 2 ζ - 1 ζ2 p 1 ζ , Q(ζ) = 1 ζ4 q 1 ζ 显然，当且仅当 p 1 ζ 和 q 1 ζ 具有以下形式时 ， P(ζ) 与 Q(ζ) 才解析， p 1 ζ = 2 ζ + a2 ζ2 + a3 ζ3 + ⋯, q 1 ζ = b4 ζ4 + b5 ζ5 + ⋯, (1.11) 因为这时对应于 ：P(ζ) = -a2 - a3 ζ + ⋯, Q(ζ) = b4 + b5 ζ + ⋯ 在 ζ = 0 均解析， 从而 ζ = 0 是 (1.10) 的常点，对应地，z = ∞ 是 (1.9) 的常点。 若 p 1 ζ 和 q 1 ζ 不具有 (1. 11) 形式，ζ = 0 (z = ∞) 就是微分方程的奇点 。 若 p 1 ζ 和 q 1 ζ 具有以下形式 ，则 ζ = 0 是 (1.10) 的正则奇点 ，对应地，z = ∞ 是 (1.9) 的正则奇点 。 p 1 ζ = a1 ζ + a2 ζ2 + a3 ζ3 + ⋯, q 1 ζ = b2 ζ2 + b3 ζ3 + ⋯, (1.12) 因为这时对应于 ：P(ζ) = 2 - a1 ζ - a2 - a3 ζ + ⋯, Q(ζ) = b2 ζ2 + b3 ζ + ⋯ 在 ζ = 0 ，ζ P(ζ) 和 ζ2 Q(ζ) 均解析。 ☺ 例： (1.7) 式的超几何方程 ： x (x - 1) y″ + [(1 + a + b) x - c] y′ + a b y = 0 系数为：p(x) = (1 + a + b) x - c x(x - 1) , q(x) = a b x(x - 1) , 故： z = 0, 1, ∞ 是方程的三个正则奇点 。 例： (1.8) 式的合流超几何方程 ： x y″ + (c - x) y′ - a y = 0 系数为：p(x) = c - x x , q(x) = - a x , 故： z = 0 是方程的正则奇点 ，z = ∞ 则是非正则奇点 。 2 z06a.nb
z06anb 3 以下 Mathematica代码的运算结果与(1.11)和(1.12)式比较表明: z=∞是超几何方程的正则奇点(当ab≠0时),是合流超几何方程的非正则奇点 C1ear["G1。ba1"] ·c /.x→1/y; x(x-1 .x→1/y 1 Series [pl, y,0, 4]] Series[ql, [ y,0, 41 Series[q2, [ y,0,41 (1+a+b)y+(1+a+b-c)y2+(1+a+b-c)y3+(1+a+b-c)y4+oy]5 aby+aby+aby+o[y]5 1+cy+o[y]5 ay+oli 62二阶线性齐次常微分方程的级数解 Frobenius and Fuchs定理: d -w 对二阶线性常微分方程:-+p(-) 1.如果=0是微分方程的常点,则在0的邻域-=0<R,即:p(-)和q(=)的解析区域, 该微分方程必存在两个如下形式的线性独立解 ()=)ckc-=0),其中 2.如果〓0是微分方程的正则奇点,则在0的邻域-〓0|<R )p()和(-x0)2q)的解析区域 该微分方程至少存在一个如下形式的解 ()=Sc2C=-=0,其中:co≠0,p是常数,称为指标 对非正则奇点,求解困难得多,幸亏,物理上常见的微分方程(1.2)-(1.8)的非正则奇点都在二=∞。 Q正则奇点邻域求解的指标方程 对微分方程的常点,可将级数解代入原微分方程,求出系数之间的递推关系即可。下一节将以 Legendre方程为例说明 而对微分方程的正则奇点,必须先求出指标p。 做法同样是将级数解形式代入原微分方程,但必须先利用=的最低幂次的系数为零
以下 Mathematica 代码的运算结果与 (1.11) 和 (1.12) 式比较表明 ： z = ∞ 是超几何方程的正则奇点 （当 a b ≠ 0 时），是合流超几何方程的非正则奇点 。 Clear["Global`*"] p1 = (1 + a + b) x - c x (x - 1) /. x 1 / y; q1 = a b x (x - 1) /. x 1 / y; p2 = c - x x /. x 1 / y; q2 = a x /. x 1 / y; Series[p1, {y, 0, 4}] Series[q1, {y, 0, 4}] Series[p2, {y, 0, 4}] Series[q2, {y, 0, 4}] (1 + a + b) y + (1 + a + b - c) y2 + (1 + a + b - c) y3 + (1 + a + b - c) y4 + O[y]5 a b y2 + a b y3 + a b y4 + O[y]5 -1 + c y + O[y]5 a y + O[y]5 6.2 二阶线性齐次常微分方程的级数解 Frobenius and Fuchs定理： 对二阶线性常微分方程 ：2 w z2 + p(z) w z + q(z) w = 0 1. 如果 z0 是微分方程的常点 ，则在 z0 的邻域 z - z0 < R，即：p(z) 和 q(z) 的解析区域 ， 该微分方程必存在 两个如下形式的 线性独立解 ： w(z) = k=0 ∞ ck(z - z0) k, 其中： c0 ≠ 0 2. 如果 z0 是微分方程的正则奇点 ，则在 z0 的邻域 z - z0 < R，即：(z - z0) p(z) 和 (z - z0) 2 q(z) 的解析区域 ， 该微分方程至少存在 一个如下形式的解 ： w(z) = k=0 ∞ ck(z - z0) k+ρ, 其中：c0 ≠ 0，ρ 是常数，称为指标 。 对非正则奇点 ，求解困难得多 ，幸亏，物理上常见的微分方程 (1.2) - (1.8) 的非正则奇点都在 z = ∞ 。 正则奇点邻域求解的指标方程 对微分方程的常点，可将级数解代入原微分方程，求出系数之间的递推关系即可。下一节将以 Legendre 方程为例说明。 而对微分方程的正则奇点，必须先求出指标 ρ 。 做法同样是将级数解形式代入原微分方程，但必须先利用 z 的最低幂次的系数为零， z06a.nb 3
z06a.nb 得到一个关于指标的一元二次方程(称为指标方程),先求出指标p 最简单的情况,该一元二次指标方程将给出的两个指标对应的两个解线性无关 这两个线性无关解的线性组合即构成常微分方程的通解 但如果不幸遇到:一元二次方程重根或两根之差为整数,情况将复杂化。以下详细讨论。 为简单起见,讨论正则奇点出现于x=0,这里将x看成复变量。 若x=0为正则奇点,微分方程必可改写成如下形式 (思考一下为什么? x2y"+xg(x)y+h(x)y=0,其中:g(x)和hx)在x=0点解析 (1.13) 据 Frobenius& Fuchs定理,该微分方程必定存在一个如下形式的解 =x,其中+0(若为常点,则对应于P=0) 对级数形式的yx)求导 y(x)=>(+p)akx+p-l y"(x)=(k+p)(k+p-1)ax+2 (1.14) 再将g(x)和h(x)作 Taylor展开 gx)=80+g1x+g2x2+ 代入微分方程(1.13)式,将得到以下形如>gx=0的幂级数形式 +p+p-1)+(k+p)(80+g1x+g2x2+…)+(ho+hx+hx2+…)ax+=0 因为是解析函数的展开,由唯一性定理,各幂次的系数ck=0 看最低幂次x项的系数(对应于上式的k=0项):p-1)+p8o+llao=0 由 Frobenius& Fuchs定理,形式解的系数ao≠0,故可得到一个关于指标的一元二次方程: p-1)+gp+h=0→p2+(g-1)p+h=0称为指标方程 (1.15 指标方程是一元二次方程,显然有两个根,以下分三种不同情况讨论 ■指标方程有两个不同的根P2≠p1,且两根之差不是整数:p2-p1≠n 由 Frobenius& Fuchs定理,微分方程的两个解可写成 n(x)=x(ao+ax+ax2+…)y2(x)=(6+dx+ax2+…) 因为P-p1是非整数,故y2(x)/y(x)不可能等于常数,y2x)和y(x)线性无关,其线性组合构成微分方程的通解 故指标方程两根之差为非整数时,微分方程的两个线性无关解写成 y()=yx,a*0,y2()=x∑,*0 (1.16) 其中系数ak与∝,可将yx)与y2(x)代入原微分方程来确定(见下一节) ■指标方程有重根:这时必有:p2=p1=(1-80)/2 由 Frobenius& Fuchs定理,微分方程必定有一个解可写成 y1(x)=y(a+a1x+a2x2+…),a≠0 (1.17) 其中系数ak可将y1(x)代入微分方程来确定。 由y(的形式,可导得:五=+9()(作为练习,不妨试推导) 这里以qk(x)表示仅含x的0次或正幂次的函数(x=0邻域的解析函数)
得到一个关于指标的一元二次方程（称为指标方程），先求出指标 ρ。 最简单的情况，该一元二次指标方程将给出的两个指标对应的两个解线性无关， 这两个线性无关解的线性组合即构成常微分方程的通解。 但如果不幸遇到：一元二次方程重根或两根之差为整数，情况将复杂化。以下详细讨论。 为简单起见，讨论正则奇点出现于 x = 0，这里将x 看成复变量。 若 x = 0 为正则奇点，微分方程必可改写成如下形式 （思考一下为什么？这样才能保证 x p(x) 和 x2 q(x) 解析）： x2 y″ + x g(x) y′ + h(x) y = 0, 其中：g(x) 和 h(x) 在 x = 0 点解析 (1.13) 据 Frobenius & Fuchs 定理，该微分方程必定存在一个如下形式的解： y = xρ k=0 ∞ ak xk, 其中 a0 ≠ 0 （若为常点 ，则对应于 ρ = 0） 对级数形式的 y(x) 求导, y′(x) = k=0 ∞ (k + ρ) ak xk+ρ-1, y″(x) = k=0 ∞ (k + ρ) (k + ρ - 1) ak xk+ρ-2, (1.14) 再将 g(x) 和 h(x) 作 Taylor 展开， g(x) = g0 + g1 x + g2 x2 + …, h(x) = h0 + h1 x + h2 x2 + … 代入微分方程 (1. 13) 式，将得到以下形如 k ck xk = 0 的幂级数形式 ， k=0 ∞ (k + ρ) (k + ρ - 1) + (k + ρ) g0 + g1 x + g2 x2 + … + h0 + h1 x + h2 x2 + … ak xk+ρ = 0 因为是解析函数的展开，由唯一性定理，各幂次的系数 ck = 0。 看最低幂次 xρ 项的系数（对应于上式的 k = 0 项）：[ρ(ρ - 1) + ρ g0 + h0] a0 = 0 由 Frobenius & Fuchs 定理，形式解的系数 a0 ≠ 0，故可得到一个关于指标的一元二次方程： ρ(ρ - 1) + g0 ρ + h0 = 0 ⟹ ρ2 + (g0 - 1) ρ + h0 = 0 称为指标方程 (1.15) 指标方程是一元二次方程，显然有两个根，以下分三种不同情况讨论。 ◼ 指标方程有两个不同的根 ρ2 ≠ ρ1，且两根之差不是整数：ρ2 - ρ1 ≠ n 由 Frobenius & Fuchs 定理，微分方程的两个解可写成 ： y1(x) = xρ1 a0 + a1 x + a2 x2 + …, y2(x) = xρ2 a0 ′ + a1 ′ x + a2 ′ x2 + …, 因为 ρ2 - ρ1 是非整数 ，故 y2(x)/ y1(x) 不可能等于常数 ，y2(x) 和 y1(x) 线性无关 ，其线性组合构成微分方程的通解 。 故指标方程 两根之差为非整数 时，微分方程的 两个线性无关解 写成： y1(x) = xρ1 k=0 ∞ ak xk, a0 ≠ 0, y2(x) = xρ2 k=0 ∞ ak ′ xk, a0 ′ ≠ 0 (1.16) 其中系数 ak 与 ak ′，可将 y1(x) 与 y2(x) 代入原微分方程来确定 （见下一节 ）。 ◼ 指标方程有重根：这时必有：ρ2 = ρ1 = (1 - g0)/ 2 由 Frobenius & Fuchs 定理，微分方程必定有一个解可写成 ： y1(x) = xρ1 a0 + a1 x + a2 x2 + …, a0 ≠ 0 (1.17) 其中系数 ak 可将 y1(x) 代入微分方程来确定 。 由 y1(x) 的形式，可导得： y1 ′ y1 = ρ1 x + q1(x), （作为练习 ，不妨试试推导 ） 这里以 qk(x) 表示仅含 x 的 0 次或正幂次的函数 （x = 0 邻域的解析函数 ）。 4 z06a.nb
z06anb5 由于当=+q(x),故x=0是当的单极点,且留数为p1 现在,如何找另一个线性无关解? 设另一个线性无关解为:y2(x)=ux)y(x),则 3=ly1 +uy, 3=y1+2uyi+l 代入微分方程:x2y"+xg(x)y+h(x)y=0,整理得 是微分方程的解此项为 ryu+2x2yud+xgy1+ry+xgy+hy1 u=o 进而得到关于u的微分方程:"+-u+u=0(注:此时y(x)看成已知函数) 代入g(x)的 Taylor展开式:g(x)=8+81x+g2x2+…,可得: ”+(2连++9()=0.其中9(0=8+gx+…,仅含x的0次或正幂次 VIx 代入式:=+9(,并利用指标方程重根p2=p1=(1-)2,上式化为 +2p+2q1(x)+qx)n +93(x)w=0 (1.19) qx)仅含x的0次或正幂次 9()两边同积分m=-hnx+q4(x),==-e≈(x, 这里q4(x)和q5(x)都只含x的0次或正幂次子项, q5()是c(的展开,q3(x)=m+96(x,其中96(x)仅含x的正幂次项 =-+q6(x)→u=mnx++k1x+k2x2+…,.(其中:m≠0,而ko来自积分常数) n2(x)=u(x)y1(x)=no yi(x)Inx+(Ko+1x+*2x2+.y(x) 故指标方程重根时,微分方程的两个线性无关解写成:(思考:为何m不见了? y(x)=x >ak, ao+0, y2(x)=y(x)Inx+xou)berk (1.20) ■指标方程两根之差为整数:p2=p1-P,其中整数p>0 类似上一种情况,我们仍有(1.17及(1.18) 把y=凸+91(x)代入(11式,并利用指标方程(115的两根之和满足:p2+p1=1-,(18)式化为: K≠0 p+I xp 命l= kp+2x2+…注意最低幂次为xP y2(x)=mr)yI C y(x)=x5ax→n()241()hx+2x,其中利用了:p=p1-p 故指标方程两根之差为整数时,微分方程的两个解写成
由于 y1 ′ y1 = ρ1 x + q1(x)，故 x = 0 是 y1 ′ y1 的单极点 ，且留数为 ρ1。 现在，如何找另一个线性无关解 ？ 设另一个线性无关解为 ：y2(x) = u(x) y1(x) ， 则 y2 ′ = u′ y1 + u y1 ′ ， y2 ″ = u″ y1 + 2 u′ y1 ′ + u y1 ″ 代入微分方程 ：x2 y″ + x g(x) y′ + h(x) y = 0，整理得： x2 y1 u″ + 2 x2 y1 ′ u′ + x g y1 u′ + x2 y1 ″ + x g y1 ′ + h y1 y1 是微分方程的解，此项为0 u = 0 进而得到关于 u 的微分方程 ： u″ + 2 y1 ′ y1 u′ + g x u′ = 0 （注：此时 y1(x) 看成已知函数 ） 代入 g(x) 的 Taylor 展开式：g(x) = g0 + g1 x + g2 x2 + …, 可得： u″ + 2 y1 ′ y1 + g0 x + q2(x) u′ = 0, 其中 q2(x) = g1 + g2 x + … ，仅含 x 的 0 次或正幂次 (1.18) 代入式： y1 ′ y1 = ρ1 x + q1(x)，并利用指标方程重根 ρ2 = ρ1 = (1 - g0)/ 2，上式化为 ： u″ + g0 + 2 ρ1 x + 2 q1(x) + q2(x) u′ = 0 ρ1=(1-g0) 2 u″ + 1 x + q3(x) u′ = 0 ， q3(x) 仅含 x 的 0 次或正幂次 (1.19) u″ u′ = - 1 x - q3(x) 两边同积分 ln u′ = -ln x + q4(x) ，⟹ u′ = 1 x q4(x) = 1 x q5(x)， 这里 q4(x) 和 q5(x) 都只含 x 的 0 次或正幂次子项 ， q5(x) 是 q4(x) 的展开，q5(x) =η0 η0≠0 + q6(x), 其中 q6(x) 仅含 x 的正幂次项 u′ = 1 x [η0 + q6(x)] ⟹ u = η0 ln x + κ0 + κ1 x + κ2 x2 + … （其中：η0 ≠ 0, 而 κ0 来自积分常数 ） y2(x) = u(x) y1(x) = η0 y1(x) ln x + κ0 + κ1 x + κ2 x2 + … y1(x) 故指标方程重根时 ，微分方程的两个线性无关解写成 ：（思考：为何 η0 不见了？线性齐次方程 ，同除以 η0 ≠ 0） y1(x) = xρ1 k=0 ∞ ak xk, a0 ≠ 0, y2(x) = y1(x) ln x + xρ1 k=0 ∞ bk xk (1.20) ◼ 指标方程两根之差为整数：ρ2 = ρ1 - p, 其中整数 p > 0 类似上一种情况 ，我们仍有 (1.17) 及 (1.18)。 把 y1 ′ y1 = ρ1 x + q1(x) 代入 (1.18) 式， 并利用指标方程 (1.15) 的两根之和满足 ：ρ2 + ρ1 = 1 - g0， (1.18) 式化为： u″ + g0 + 2 ρ1 x + q3(x) u′ = 0 利用：g0+2 ρ1 = 1+p u″ u′ = - 1 + p x + q3(x) ⟹ ln u′ = -(1 + p) ln x + q4(x) ⟹ u′ = 1 xp+1 q4(x) = κ0 xp+1 + κ1 xp + ⋯ + κp x + κp+1 + κp+2 x + ⋯ , κ0 ≠ 0 ⟹ u = - κ0 p xp - κ1 (p - 1) xp-1 + ⋯ + κp ln x + κp+1 x + 1 2 κp+2 x2 + ⋯ 注意最低幂次为 x-p y2(x) = u(x) y1 (x) y1(x) = xρ1 k=0 ∞ ak xk ⟹ y2(x) = κp y1(x) ln x + xρ2 m=0 ∞ bk xk，其中利用了 ：ρ2 = ρ1 - p 故指标方程两根之差为整数时 ，微分方程的两个解写成 ： z06a.nb 5