傅里叶变换和色散关系 在所有科技类文献中,出现频率最高的术语,就是傅里叶变换, Fourier Transform 81 Fourier变换 9 Fourier级数 在实变函数中,学过下列定理 定理:任意周期为2的函数f(x),如果在每个周期中满足为 Dirichlet条件,即 (a)连续或只有有限个第一类间断点(左右极限存在但不相等,称之) (b)只有有限个极大或极小值 则:f(x)可展开为以下绝对且一致收敛的级数 f(x)= (an cos nx+ bn sinx), an=- f(x) cos nxd f(x)sin nx dx 级数在函数的连续点收敛于函数值,在第一类间断点x收敛于左右极限之平均:(x)+fx对) 若周期为2h/x+20=/0),可作变量代换:1=x→0)=/1=80→8(+2=80 得到周期为2丌的函数g(,从 28x+m小a- x nx 上式即为任意满足 Dirichlet条件且周期为2l的函数之 Fourier级数 若函数仅在[-l,区间有定义,则可做周期延拓:f(x)=f(x±2D=…,从而 定义在[-l,门区间的满足 Dirichlet条件的函数f(x),可展开为 f(x) 在间断点收敛于左右极限之平均 试将如下函数展为 Fourier级数 forr≤t≤2 f(r) A-厂
8 傅里叶变换和色散关系 在所有科技类文献中，出现频率最高的术语，就是傅里叶变换，Fourier Transform。 8.1 Fourier 变换 Fourier 级数 在实变函数中，学过下列定理 定理：任意周期为 2 π的函数 f (x)，如果在每个周期中满足为 Dirichlet 条件，即： (a) 连续或只有有限个第一类间断点（左右极限存在但不相等，称之） (b) 只有有限个极大或极小值 则：f (x) 可展开为以下绝对且一致收敛的级数 f (x) = a0 2 + n=1 ∞ (an cos n x + bn sin n x), an = 1 π -π π f (x) cos n x x, bn = 1 π -π π f (x) sin n x x, 级数在函数的连续点收敛于函数值，在第一类间断点 x0 收敛于左右极限之平均： 1 2 f (x0 -) + f (x0 +) 若周期为 2 l：f (x + 2 l) = f (x)，可作变量代换：t = π l x ⟹ f (x) = f l π t = g(t) ⟹ g(t + 2 π) = g(t) 得到周期为 2 π 的函数 g(t)，从而 g(t) = a0 2 + n=1 ∞ (an cos n t + bn sin n t), an = 1 π -π π g(t) cos n t t, bn = 1 π -π π g(t)sin n t t f (x) = a0 2 + n=1 ∞ an cos n π l x + bn sin n π l x , an = 1 l -l l f (x) cos n π x l x, bn = 1 l -l l f (x)sin n π x l x 上式即为任意满足 Dirichlet 条件且周期为 2 l 的函数之 Fourier 级数。 若函数仅在[-l, l ] 区间有定义，则可做周期延拓：f (x) = f (x ± 2 l) = ⋯，从而： 定义在 [-l, l ] 区间的满足 Dirichlet 条件的函数 f (x)，可展开为 f (x) = a0 2 + n=1 ∞ an cos n π l x + bn sin n π l x , 在间断点收敛于左右极限之平均 (1.1) ☺ 试将如下函数展为 Fourier 级数 f (x) = t for 0 ≤ t ≤ π t - 2 π for π ≤ t ≤ 2 π 解：an = 1 π -π π f (x) cos n x x = 0, bn = 1 π -π π f (x) sin n x x = (-1)n-1 2 n
2|z08 a fourier变换nb c1ear【"G1。aba1`*"] f【x_]:=If[xs丌,x,x-2丌] g[x, ns ]:= Sum[b[n] Sin[nx], [n, l, ns]]i Pot[{g【x,5],g[x,25],g[x,50],f【x]},{x,0,2丌 ends Placed [LineLegend[ [style[n= 5", Italic, 10] style["n 25", Italic, 10], Style["n 50", Italic, 10] LegendMarkerSize + [30,1]], [Scaled[[6,0.6]],[0,0. 2533]] n=50 Fourier积分 利用Euer公式:cosx=)(ex+e-2),smnx=;(ex- 周期为2/的函数之 Fourier级数可写成更为简洁的复数形式 f(x)=-+ ∑,a-b)c+(a+b)c=“ 其中cn的表达式有统一的形式: f(x)dx= f(r) 221 f(x)(cos kn x-isin ka x)dx= f(r)e-ikei dx, n>0 a-n+ib-n 1 for)(cos kn x-i sin kn x)dx f()e-ika dx, n<O 故,对周期为2l的函数f(x),有复数形式的 Fourier级数: f(x)=>Cn elks, kn= C,=2I/()e-iksdx 如何推广至非周期情况?视为周期2/且定义于[-,区间的函数,再让1→∞ 在什么条件下才能有相应的展开形式?展开形式应如何变化?
Clear["Gloabal`*"] f[x_] := If[x ≤ π, x, x - 2 π]; b[n_] := (-1)n-1 2 n ; g[x_, ns_] := Sum[b[n] Sin[n x], {n, 1, ns}]; Plot[{g[x, 5], g[x, 25], g[x, 50], f[x]}, {x, 0, 2 π}, PlotStyle {Red, Magenta, Blue, Black}, PlotLegends Placed[LineLegend[{Style["n = 5", Italic, 10], Style["n = 25", Italic, 10], Style["n = 50", Italic, 10]}, LegendMarkerSize {30, 1}], {Scaled[{.6, 0.6}], {0, 0.25}}]] n = 5 n = 25 n = 50 1 2 3 4 5 6 -4 -2 2 4 Fourier 积分 利用Euler公式：cos x = 1 2 x + - x, sin x = 1 2 x - - x, 周期为 2 l 的函数之 Fourier 级数可写成更为简洁的复数形式 f (x) = a0 2 + n=1 ∞ an cos n π l x + bn sin n π l x = a0 2 + n=1 ∞ 1 2 (an - bn) n π x/l + 1 2 (an + bn) - n π x/l = n=-∞ ∞ cn n π x/l 其中 cn 的表达式有统一的形式： c0 = a0 2 = 1 2 l -l l f (x) x = 1 2 l -l l f (x) - k0 x x cn = an - bn 2 = 1 2 l -l l f (x) (cos kn x - sin kn x) x = 1 2 l -l l f (x) - kn x x, n > 0 cn = a-n + b-n 2 = 1 2 l -l l f (x) (cos kn x - sin kn x) x = 1 2 l -l l f (x) - kn x x, n < 0 故，对周期为 2 l 的函数 f (x)，有复数形式的 Fourier 级数： f (x) = n=-∞ ∞ cn kn x, kn = n π l , cn = 1 2 l -l l f (x) - kn x x 如何推广至非周期情况？视为周期 2 l 且定义于 [-l, l] 区间的函数，再让 l ∞ 在什么条件下才能有相应的展开形式？展开形式应如何变化？ 2 z08a Fourier 变换.nb
z08 a Fourier变mb3 还是从复数形式的 Fourier级数出发 f(x)=Scnc;,k1=",1→∞时,k→0?非也!因为n从-∞到+∞求和 f(x) △kn=kn+1-kn=-=△k与n无关,且1→∞时,△kn=△k→0 Ca elkax△kn,因为△k→0,求和变为积分 ak。acd其中a=c=-1 2/()e-ikI dx 2///A(r)e-ikzdx f(x) e-ikrdxelkx dk,注意△k=△=-,2l△k=2 在l→∞时,进一步改写成 f(x)= f(Ee-iks dsledkr dk f(k) eikx dk称为 Fourier积分 J()=f(Se-iksds 那么上述一系列貌似正确的推导,在什么条件下成立 (a)函数f(x)在任意有限区间内满足 Dirichlet条件 充分条件:1(6CedE有界,或称为/(绝对可积 实际上,条件()还可弱化为平方可积,即: AvIsPas<∞,相应的,这时的收敛退化为平均值收敛,即: limf( f(k) elks dr→0 容易推广至三维 f(x,y,-)= f(r,y,s)e-i( #+k, 3+k:) d=el(x+k J+h 3), dk, dk2 (2r)3 写成三角函数形式 1 f(Se-s ds elkxdk a M/eeku-odgdk ds I(E cos k(r-4)+i 3 dE f(E) cos k(r-s)dk dk f(E)cos k(x-5ds f(a cos ke cos kxdk+ f(E)sin ksds sin kxdk I [A(K)cos kx+B(k)sin kx] dk f(S)cosksds,B()=-/(sinks da ▲写成三角函数形式有何好处 当f(x)为偶函数时:f(x) A(k)cos kxdk, A(k)= 当f(x)为奇函数时:f(x)=B(k) sin kxdx,Bk)=- f(E)sinkEd
还是从复数形式的 Fourier 级数出发 f (x) = n=-∞ ∞ cn kn x, kn = n π l , l ∞ 时，kn 0? 非也 ! 因为 n 从 - ∞ 到 + ∞ 求和。 f (x) = n=-∞ ∞ cn kn x Δkn 1 Δkn , Δkn = kn+1 - kn = π l = Δk 与 n 无关，且 l ∞ 时， Δkn = Δk 0 = 1 Δk n=-∞ ∞ cn kn x Δkn, 因为 Δk 0，求和变为积分 = 1 Δk -∞ ∞ ck k x k, 其中 ck = cn = 1 2 l -l l f (x) - kn x x = 1 2 l -l l f (x) - k x x = -∞ ∞ 1 2 l Δk -l l f (x) - k x x k x k, 注意 Δk = Δkn = π l , 2 l Δk = 2 π 在 l ∞ 时，进一步改写成 f (x) = -∞ ∞ 1 2 π -∞ ∞ f (ξ) - k ξ ξ k x k = 1 2 π -∞ ∞ f (k) k x k 称为 Fourier 积分 f (k) = -∞ ∞ f (ξ) - k ξ ξ 那么上述一系列貌似正确的推导，在什么条件下成立？ 充分条件 ： (a) 函数 f (x) 在任意有限区间内满足 Dirichlet 条件； (b) -∞ ∞ f (ξ) ξ 有界，或称为 f (x) 绝对可积 。 实际上，条件 (b) 还可弱化为平方可积，即： ∫-∞ ∞ f (ξ) 2 ξ < ∞，相应的，这时的收敛退化为平均值收敛，即： lim A+∞-∞ ∞ f (t) - 1 2 π -A A f (k) k x k 2 t 0 ◼ 容易推广至三维 f (x, y, z) = -∞ ∞ -∞ ∞ -∞ ∞ 1 (2 π)3 -∞ ∞ -∞ ∞ -∞ ∞ f (x, y, z) - (kx x+ky y+kz z) x y z (kx x+kz y+kz z) kx ky kz ◼ 写成三角函数形式 f (x) = 1 2 π -∞ ∞ -∞ ∞ f (ξ) - k ξ ξ k x k = 1 2 π -∞ ∞ -∞ ∞ f (ξ) k (x-ξ) ξ k = 1 2 π -∞ ∞ ξ f (ξ) -∞ ∞ cos k(x - ξ) 偶函数 + sin k (x - ξ) 奇函数, 积分为0 k = 1 π -∞ ∞ ξ f (ξ) 0 ∞ cos k(x - ξ) k = 1 π 0 ∞ k -∞ ∞ f (ξ) cos k(x - ξ) ξ = 0 ∞ 1 π -∞ ∞ f (ξ) cos k ξ ξ cos k x k +0 ∞ 1 π -∞ ∞ f (ξ) sin k ξ ξ sin k x k = 0 ∞ [A(k) cos k x +B(k)sin k x] k A(k) = 1 π -∞ ∞ f (ξ) cos k ξ ξ, B(k) = 1 π -∞ ∞ f (ξ)sin k ξ ξ ▲ 写成三角函数形式有何好处？ 当 f (x) 为偶函数时 ：f (x) = 0 ∞ A(k) cos k x k, A(k) = 2 π 0 ∞ f (ξ) cos k ξ ξ 当 f (x) 为奇函数时 ：f (x) = 0 ∞ B(k) sin k x x, B(k) = 2 π 0 ∞ f (ξ)sin k ξ ξ z08a Fourier 变换.nb 3
z08 a fourier变换nb 9 Fourier变换 Fourier积分 f(x)= flse-iks dslel kx 改写为 =2Cc“称为的反四变换 f(k)=f()eksd∈称为函数f(x)的 ourier变换 f()=U(x),也称像函数:f(x)=f{(),也称原函数 量子力学中,粒子状态用波函数描述。以粒子动量为自变量的波函数,是以粒子坐标为自变量的波函数之 Fourier变换 若f(x)是奇函数或偶函数,常写成三角函数形式,进行正弦变换和余弦变换 由三角函数形式的变换 f(x)= [A(k)cos kx+B(k)sin kx]dk, A()=- f(E)cos ked, B(k)=f(e sin kedE f(x)= f(E)cos ksds cos kxdk+ f(S) sin ksds sin kxdk 若f(x)为奇函数,上式第一项为0 fsf(r)I=- 2、16 sin kede=| )sin kE ds=jsk)正弦变换 Fs(sk)]==[7s(k)sin krak=f() 若f(x)为偶函数,(1.2)式第二项为0 fm=6 cos ksde=|6) cos ked=c(k)余弦变换 2 fc(k)cos kxdk=f(x) ■三维空间的 Fourier变换 +∞c 千U(x,y,=f(kx,k,k)= f(x,y, s)e-i( i+ky +kadxdyd= 于-kx,k,k)=f(x,y,)= f(kr, ky, k)e(x+ky J+k =)dkr dk, dk ■四维时空的 Fourier变换 f(x,y, ne-a krx+hr y+k=)+iw dx dy d:dt f(kr, k,, ks, w)e(k 1+k, J+k =)-iut dkr dk, dke dw (2 ■ Fourier变换的物理意义 若f(x)=0(x),则:
Fourier变换 Fourier 积分 f (x) = -∞ ∞ 1 2 π -∞ ∞ f (ξ) - k ξ ξ k x k 改写为 f (x) = 1 2 π -∞ ∞ f (k) k x k 称为 f (k) 的反 Fourier 变换 f (k) = -∞ ∞ f (ξ) - k ξ ξ 称为函数 f (x) 的 Fourier 变换 记为： f (k) = ℱ[f (x)], 也称像函数； f (x) = ℱ-1f (k), 也称原函数 量子力学中，粒子状态用波函数描述。以粒子动量为自变量的波函数，是以粒子坐标为自变量的波函数之 Fourier 变换。 若f (x) 是奇函数或偶函数，常写成三角函数形式，进行正弦变换和余弦变换。 由三角函数形式的变换 f (x) = 0 ∞ [A(k) cos k x +B(k)sin k x] k, A(k) = 1 π -∞ ∞ f (ξ) cos k ξ ξ, B(k) = 1 π -∞ ∞ f (ξ) sin k ξ ξ 即： f (x) = 1 π 0 ∞ -∞ ∞ f (ξ) cos k ξ ξ cos k x k + 1 π 0 ∞ -∞ ∞ f (ξ)sin k ξ ξ sin k x k (1.2) 若 f (x) 为奇函数，上式第一项为 0 ℱS[f (x)] = 1 2 -∞ ∞ f (ξ)sin k ξ ξ = 0 ∞ f (ξ)sin k ξ ξ = f S(k) 正弦变换 ℱS -1f S(k) = 2 π 0 ∞ f S(k)sin k x k = f (x) 若 f (x) 为偶函数，(1. 2) 式第二项为 0 ℱC[f (x)] = 1 2 -∞ ∞ f (ξ) cos k ξ ξ = 0 ∞ f (ξ) cos k ξ ξ = f C(k) 余弦变换 ℱC -1f C(k) = 2 π 0 ∞ f C(k) cos k x k = f (x) ◼ 三维空间的Fourier变换 ℱ[f (x, y, z)] = f (kx, ky, kz) = -∞ +∞ -∞ +∞ -∞ +∞ f (x, y, z) -(kx x+ky y+kz z) x y z ℱ-1f (kx, ky, kz) = f (x, y, z) = 1 (2 π)3 -∞ +∞ -∞ +∞ -∞ +∞ f (kx, ky, kz) (kx x+ky y+kz z) kx ky kz ◼ 四维时空的Fourier变换 ℱ[f (x, y, z, t)] = f (kx, ky, kz, ω) = -∞ +∞ -∞ +∞ -∞ +∞ -∞ +∞ f (x, y, z, t) -(kx x+ky y+kz z) + ω t x y z t ℱ-1f (kx, ky, kz, ω) = f (x, y, z, t) = 1 (2 π) 4 -∞ +∞ -∞ +∞ -∞ +∞ -∞ +∞ f (kx, ky, kz, ω) (kx x+ky y+kz z) - ω t kx ky kz ω ◼ Fourier变换的物理意义 若 f (x) = δ(x), 则： 4 z08a Fourier 变换.nb
z08 a fourier变换mb5 f()=fU(x)= (De-iksds= 8(Se-iksdf=l ()==16=1C1.etdx=/(=x 物理上,若将x视为时间,k视为圆频率,则(x)可视为时域的一个尖脉冲, 对应地,在频域中,f(k)=1,表明它包含了所有的各种频率分量,且各频率分量振幅和相位相等 反之,若在频域中仅仅包含一个频率分量,对应于像函数为 delta函数 域上看,有 =2厂a4ck=2的确,在时域上看,是单二频率与的时振荡 因此,若将x视为时间 Fourier变换其实是将一个随时间任意变化的函数f(x),分解为各种频率分量f(k)的叠加。 像函数f(k)给出不同频率分量的振幅及相位。这一点,将在下一节“色散关系”中展现得更为清楚。 若将x视为空间坐标,k视为波矢量,则单一个波矢量的波:y=ek充满整个空间 反过来,若一个波在局域在空间某有限区域,则它必定由波矢量不同的波叠加而成 Q求像函数、原函数例题 通过例题介绍涉及 Fourier变换的一些计算技巧,有些技巧貌似不严谨,但在物理中常用,其数学基础是广义函数论, 目例题:f(x)=e-,求f(k) AF: /()=/f()e-lkidx= e+ eikx dx=i-ik I+ik 1+k2 自例题:f(x)=6(x),求f(k)。看起来更为严格的证明。 解:f(k)=|fxe o(r)e-kx 反变换:于1y=C0dk= elk dk=d(x),怎么看起来有点怪? 这里涉及: Cauchy主值积分(是积分主值,不是积分的一般值,后者其实是不收敛的) 积分主 ekr dks lim sinx 看出”x,不同n值的图形如下 sin(n x) sin(nx) n=200 n=2000 随n增大,儿()的峰越来越高、越来越窄,似乎暗示着|x)=lm5x→6x)?然也。证据 考虑函数序列:ln(x)= ,要“证明”lim(x)→o(x),需验证以下两点 (a)随n增大,ln(x)在x=0的峰可任意高,任意窄 (b)对ln(x)的积分,在 时应(仍然)为1
f (k) = ℱ[f (x)] = -∞ ∞ f (ξ) - k ξ ξ = -∞ ∞ δ(ξ) - k ξ ξ = 1 f (x) = ℱ-1f (k) = 1 2 π -∞ ∞ 1· k x x = f (x) = δ(x) ⟹ δ (x) = 1 2 π -∞ ∞ k x x 物理上，若将 x 视为时间，k 视为圆频率 ，则 δ(x) 可视为时域的一个尖脉冲 ， 对应地，在频域中 ，f (k) = 1，表明它包含了所有的各种频率分量 ，且各频率分量振幅和相位相等 。 反之，若在频域中仅仅包含一个频率分量 ，对应于像函数为 delta 函数：δ(k - k0)，在时域上看 ，有 f (x) = 1 2 π -∞ ∞ δ(k - k0) k x k = 1 2 π k0 x 的确，在时域上看 ，是单一频率 k0 的时谐振荡 。 因此，若将 x 视为时间 ： Fourier 变换其实是将一个随时间任意变化的函数 f (x)，分解为各种频率分量 f (k) 的叠加。 像函数 f (k) 给出不同频率分量的 振幅及相位 。这一点，将在下一节 “色散关系” 中展现得更为清楚 。 若将 x 视为空间坐标 ，k 视为波矢量 ，则单一个波矢量的波 ：φ = e k z 充满整个空间 ， 反过来，若一个波在局域在空间某有限区域 ，则它必定由波矢量不同的波叠加而成 。 求像函数、原函数例题 通过例题介绍涉及 Fourier 变换的一些计算技巧，有些技巧貌似不严谨，但在物理中常用，其数学基础是广义函数论。 ☺ 例题：f (x) = -x ，求 f (k) 解： f (k) = -∞ ∞ f (x) - k x x = -∞ ∞ -x - k x x = 1 1 - k + 1 1 + k = 2 1 + k2 ☺ 例题：f (x) = δ(x)，求 f (k)。看起来更为严格的证明。 解： f (k) = -∞ ∞ f (x) - k x x = -∞ ∞ δ(x) - k x x = 1 反变换：ℱ-1f (k) = 1 2 π -∞ ∞ f (k) k x k = 1 2 π -∞ ∞ k x k = δ (x) ，怎么看起来有点怪 ？ 这里涉及 ：Cauchy 主值积分 （是积分主值 ，不是积分的一般值 ，后者其实是不收敛的 ） I(x) = 1 2 π -∞ ∞ k x k 积分主值 lim n∞ 1 2 π -n n k x k = lim n∞ sin n x π x 看 sin n x π x ，不同 n 值的图形如下 。 n = 10 -0.4 -0.2 0.2 0.4 -2 2 4 6 8 sin(n x) π x n = 200 -0.4 -0.2 0.2 0.4 -20 20 40 60 80 sin(n x) π x n = 2000 -0.10 -0.05 0.05 0.10 200 400 600 sin(n x) π x 随 n 增大，I(x) 的峰越来越高 、越来越窄 ，似乎暗示着 I(x) = lim n∞ sin n x π x δ(x)？ 然也。证据？ 考虑函数序列 ：In(x) = sin n x π x ，要 “证明” lim n∞In(x) δ(x)，需验证以下两点 ： (a) 随 n 增大，In(x) 在 x = 0 的峰可任意高，任意窄 (b) 对 In(x) 的积分，在 n ∞ 时应 （仍然） 为 1 z08a Fourier 变换.nb 5