多值函数解析延拓『函数 复变函数与实变函数的重要区别之一就是涉及多值函数这一概念。 回顾在复变函数定义中的表述 对于复变量在某一个区域取的每一个复数值二=x+i 按照一定的规律,有一个或多个复数值w=u+iv与之相对应 因此,可以是多个复数值与一个自变量值相对应,这就是多值函数 最简单的多值函数例子是根式函数,如平方根 人们不能像实变函数的平方根那样规定只取算术根作为平方根函数。理由很简单 对实变函数,当实自变量离开某点之后又返回该点时,平方根的函数值必然返回到原来的值 对复变函数,平方根的函数值是否回原来的值,与自变量离开再返回起点的路径有关 参见下一节的详细分析)。因此不能规定只取单一个函数值 多值函数不仅带来复杂性,还带来一定的混乱。最简单的例子是伯努利诡论 2 Ln(-=)=2 Ln= Ln(-==Ln: eLn(-=eln:=--=3 现在知道,该诡论的错误之处在于没有考虑到函数的多值性 实际上:Lnz+Lnx≠2Lnx,因为Ln是多值函数,函数值对应于一个集合(而不是单一个数),因而 Lnz+Ln为两个集合的并(和集),当然不会等于一个集合中的每一个元素都乘于2。 前面介绍的复变函数的导数、解析等概念,都是基于单值函数而言。 那么,对于多值函数,如何推广? 51多值函数及其 Riemann面 实际上,对多值函数,在能唯一确定其函数值之前,难以引入导数、解析等概念 因此,对多值函数,需要先确定函数值。而确定了函数值之后,则可以应用单值函数的概念与性质 确定多值函数的函数值,需要三个步骤:枝点,割线,上下岸。下称为三要素。 ■枝点:绕其一周回到出发点时,函数w=f()的值发生改变,称之为函数f(x)的枝点 函数之所以会出现多值,是因为在复平面上,当自变量离开某点, 在复平面上经一条闭合路径,回到原出发点时,函数值可能发生改变。例如 √=√c,其中e为=的辐角,即:e=arg
5 多值函数 解析延拓 Γ函数 复变函数与实变函数的重要区别之一就是涉及多值函数这一概念。 回顾在复变函数定义中的表述： 对于复变量在某一个区域取的每一个复数值 z = x + y， 按照一定的规律 ，有一个或多个复数值 w = u + v 与之相对应 。 因此，可以是多个复数值与一个自变量值相对应，这就是多值函数。 最简单的多值函数例子是根式函数，如平方根。 人们不能像实变函数的平方根那样规定只取算术根作为平方根函数。理由很简单： 对实变函数 ，当实自变量离开某点之后又返回该点时 ，平方根的函数值必然返回到原来的值 。 对复变函数 ，平方根的函数值是否回原来的值 ，与自变量离开再返回起点的路径有关 （参见下一节的详细分析 ）。因此不能规定只取单一个函数值 。 多值函数不仅带来复杂性，还带来一定的混乱。最简单的例子是伯努利诡论： (-z)2 = z2 ⟹ Ln(-z)2 = Ln z2 ⟹ Ln(-z) + Ln(-z) = Ln z + Ln z ⟹ 2 Ln(-z) = 2 Ln z ⟹ Ln(-z) = Ln z ⟹ Ln(-z) = Ln z ⟹ -z = z 现在知道，该诡论的错误之处在于没有考虑到函数的多值性。 实际上：Ln z + Ln z ≠ 2 Ln z，因为 Ln z 是多值函数，函数值对应于一个集合（而不是单一个数），因而 Ln z + Ln z 为两个集合的并 （和集），当然不会等于一个集合中的每一个元素都乘于 2。 前面介绍的复变函数的导数、解析等概念，都是基于单值函数而言。 那么，对于多值函数，如何推广？ 5.1 多值函数及其Riemann面 实际上，对多值函数，在能唯一确定其函数值之前，难以引入导数、解析等概念。 因此，对多值函数，需要先确定函数值。而确定了函数值之后，则可以应用单值函数的概念与性质。 确定多值函数的函数值，需要三个步骤：枝点，割线，上下岸。下称为三要素。 ◼ 枝点：绕其一周回到出发点时，函数 w = f (z) 的值发生改变，称之为函数 f (z)的枝点。 函数之所以会出现多值 ，是因为在复平面上 ，当自变量离开某点 ， 在复平面上经一条闭合路径 ，回到原出发点时 ，函数值可能发生改变 。例如： w = z 定义 z θ/2, 其中 θ 为 z 的辐角，即：θ = arg z
2205a.nb 如图,从A点出发,沿绿色闭合线走一周回A点 z的辐角θ不变,因而函数值w回到原来的数值 司样出发于A点,沿白色线走一周返到A点 辐角θ增加了2π,(行走过程辐角θ始终增加) 函数值w 不回到原来的数值 即:沿某些闭路回起始点,函数值会发生改变, 而对另外一些闭路径,函数值不变 为此,引进枝点概念区分不同的路径 上例中,z=0是函数w=V=的枝点,因为绕z=0行走一周后回到出发点,函数值发生改变 如何找出多值函数的枝点 基于定义:在枝点邻域绕行一周回到出发点,函数值发生改变。 ▲利用(实变函数的)求导法则对函数求导,导函数的奇点通常(很可能)是原函数的枝点, 当然要再对这些候选点利用枝点的定义进行判断。 z=0为w的奇点,故它可能是w的枝点,再利用枝点的定义判断 ▲与判断奇点和求留数类似,判断枝点时,别忘了绕无穷远一周判断无穷远点是否枝点 ▲一个多值函数,枝点通常多于一个 ▲若绕一周改变函数值,绕两周返回原函数值,则称为一阶枝点,绕n周回原函数值,则称为n-1阶枝点。 ▲枝点是奇点,因为枝点0是不同单值分支的公共点,〓从不同单值分支趋于0 因不同单值分支的函数值/)不同,导致极限值m(-不同 也即:极限与二趋于=0的方式有关,导数不存在—奇点 更简单的理解是:直接趋于〓0和绕〓折腾几周再趋于ˉ,接近时∫(=)不同,极限值不同,导数不存在 ■割线:连接(所有)枝点的直线或曲线 所做的割线应满足:每一个枝点都有割线连出,并且割线只能起始、终止于枝点 做完割线之后,在复平面内,任何路径都不可能不穿过割线而绕枝点一周 因此,若规定任何路径均不可穿过割线,就不存在绕枝点的路径,因而函数值就能唯一确定了。 ▲也可这样理解,当路径到达割线并继续延续时,就进入函数的另一个单值分支 进入另一个复平面,这些复平面通过割线相粘接,构成多叶 Riemann面。 ▲作完割线后,函数尽管是单值的(在复平面内任意行走,只要不穿过割线,回到出发点时,函数值还原) 但是尚不能确定是取多值集合中的哪一个函数值,因此还需要下一步 ■上下岸辐角:定义割线上岸或下岸的辐角,或者给定函数在某点的函数值 对多值函数,割线上(下)岸的辐角定义可以不同,相应的,函数值也不同 这称为选取多值函数的不同单值分支。 ■除了上述三要素之外,还有一种方法可确定函数值 即:给定某一点的函数值以及从该点出发到达任意一点的路径 即使做好割线并定义上下岸辐角值,在枝点,导数依然不存在。实际上,由于在割线的两岸函数不连续,枝点甚至 不是孤立奇点
如图，从 A 点出发，沿绿色闭合线走一周回 A 点 z 的辐角 θ 不变，因而函数值 w 回到原来的数值 同样出发于 A 点，沿白色线走一周返到 A 点， 辐角 θ 增加了 2 π，（行走过程辐角 θ 始终增加） 函数值 w ⟹ -w，不回到原来的数值 即：沿某些闭路回起始点 ，函数值会发生改变 ， 而对另外一些闭路径 ，函数值不变 。 为此，引进枝点概念区分不同的路径 。 x y A θ 上例中， z = 0 是函数 w = z 的枝点，因为绕 z = 0 行走一周后回到出发点 ，函数值发生改变 。 如何找出多值函数的枝点： ▲ 基于定义：在枝点邻域绕行一周回到出发点，函数值发生改变。 ▲ 利用（实变函数的）求导法则对函数求导，导函数的奇点通常（很可能）是原函数的枝点， 当然要再对这些候选点利用枝点的定义进行判断 。 w = z , w′ = 1 2 z , z = 0 为 w′ 的奇点，故它可能是 w 的枝点，再利用枝点的定义判断 。 ▲ 与判断奇点和求留数类似，判断枝点时，别忘了绕无穷远一周判断无穷远点是否枝点。 ▲ 一个多值函数，枝点通常多于一个。 ▲ 若绕一周改变函数值，绕两周返回原函数值，则称为一阶枝点，绕 n 周回原函数值，则称为 n - 1 阶枝点。 ▲ 枝点是奇点，因为枝点 z0 是不同单值分支的公共点， z 从不同单值分支趋于 z0， 因不同单值分支的函数值 f (z) 不同，导致极限值 lim zz0 f (z) - f (z0) z - z0 不同 也即：极限与 z 趋于 z0 的方式有关 ，导数不存在 —— 奇点 更简单的理解是 ：直接趋于 z0 和绕 z0 折腾几周再趋于 z0 ，接近 z0 时 f (z) 不同，极限值不同 ，导数不存在 。 ◼ 割线：连接（所有）枝点的直线或曲线 所做的割线应满足 ：每一个枝点都有割线连出 ，并且割线只能起始 、终止于枝点 。 做完割线之后 ，在复平面内 ，任何路径都不可能不穿过割线而绕枝点一周 。 因此，若规定任何路径均不可穿过割线 ，就不存在绕枝点的路径 ，因而函数值就能唯一确定了 。 ▲ 也可这样理解，当路径到达割线并继续延续时，就进入函数的另一个单值分支， 进入另一个复平面 ，这些复平面通过割线相粘接 ，构成多叶Riemann面 。 ▲ 作完割线后，函数尽管是单值的（在复平面内任意行走，只要不穿过割线，回到出发点时，函数值还原）， 但是尚不能确定是取多值集合中的哪一个函数值 ，因此还需要下一步 。 ◼ 上下岸辐角：定义割线上岸或下岸的辐角，或者给定函数在某点的函数值。 ▲ 对多值函数，割线上（下）岸的辐角定义可以不同，相应的，函数值也不同。 这称为选取多值函数的不同单值分支 。 ◼ 除了上述三要素之外，还有一种方法可确定函数值： 即：给定某一点的函数值以及从该点出发到达任意一点的路径 。 ◼ 即使做好割线并定义上下岸辐角值，在枝点，导数依然不存在。实际上，由于在割线的两岸函数不连续，枝点甚至 不是孤立奇点。 2 z05a.nb
z05anb 3 理解:例如函数w=v==r2e2,6=arg 做割线为从原点沿正实轴到无穷远 在二≠0的任意一点A 无论怎么折腾,只要不穿过割线 趋于A点时,辐角62=arg=没有变 函数值w的辐角Bn=argw也不变。 但对于原点(是枝点), 沿上岸接近原点与绕到下岸接近原点 (如图黄蓝线)6=arg=分别是0和2r 函数值的辐角B分别为:0与丌 不同的辐角B对函数值本身可能没有影响(模趋于0),但对函数的变化率可能产生影响 也即:以不同方式→0,变化率的极限值可能不同。因而枝点被认为导数不存在,是奇点 以下通过例题说明枝点、割线、上下岸等概念。 例题:讨论多值函数w=f()=y=2-1 解:据函数的定义:W=√=2-1=v-+Ⅱc确n,B1=ag(-1,2=ag(+1) 61=arg(2-1)等于从1到=的矢量与实轴正向的夹角 B2=arg(z+1)=arg-(-1)为从-1到z的矢量与实轴正向的夹角 要确定函数值,需要三要素:枝点、割线、上下岸。 w=√2-1=V-1+e(+,61=arg(=-1),b2=arg(+1) 枝点:试着求导:w′= 故〓=±1可能是枝点,同时别忘了判断 在〓=1邻域绕〓=1逆时针一周回出发点,6增加了2π,B2不变,w≡-1,是枝点 绕二=-1逆时针一周回出发点,的1不变,B2增加了2丌,w=-w,也是枝点 在〓=∞邻域绕〓=∞逆时针一周回出发点,的1增加了2丌,的也增加了2π,w不变,不是枝点 故:函数w=√=-1有两个枝点:=±1 割线:连接枝点(保证每一个枝点都有割线连出),为简单起见,取直线 可以选直接连接z=±1的直线,如左图紫色线段, 也可以为从〓=1,经无穷远点再到达=-1的直线,如右图蓝色的直线 上(下)岸:指定辐角值 左图,割线取为连接z=±1的直线, 62=0,2x,组合成4种情况,但(1+)了3n5 上岸:f61=兀,3r 只给出两种不同的函数值
理解：例如函数 w = z = r1/2 θ/2，θ = arg z 做割线为从原点沿正实轴到无穷远 在 z ≠ 0 的任意一点 A， 无论怎么折腾 ，只要不穿过割线 趋于 A 点时，辐角 θz = arg z 没有变 函数值 w 的辐角 θw = arg w 也 不变。 但对于原点 （是枝点）， 沿上岸接近原点与绕到下岸接近原点 （如图黄蓝线 ） θz = arg z 分别是 0 和 2 π 函数值的辐角 θw 分别为：0 与 π A x y 不同的辐角 θw 对函数值本身可能没有影响 （模趋于 0），但对函数的变化率可能产生影响 也即：以不同方式 0，变化率的极限值可能不同 。因而枝点被认为导数不存在 ，是奇点。 以下通过例题说明枝点、割线、上下岸等概念。 ☺ 例题：讨论多值函数 w = f (z) = z2 - 1 。 解：据函数的 定义：w = z2 - 1 = z - 1 z + 1 (θ1+θ2)/2, θ1 = arg(z - 1), θ2 = arg(z + 1) θ1 = arg(z - 1) 等于从 1 到 z 的矢量与实轴正向的夹角 ； θ2 = arg(z + 1) = arg[z - (-1)] 为从 -1 到 z 的矢量与实轴正向的夹角 ； x y θ2 θ1 -1 1 上岸 下岸 x y θ2 θ1 -1 1 上岸 要确定函数值 ，需要三要素 ：枝点、割线、上下岸。 w = z2 - 1 = z - 1 z + 1 (θ1+θ2)/2, θ1 = arg(z - 1), θ2 = arg(z + 1) 枝点：试着求导：w′ = 2 z z2 - 1 , 故 z = ±1 可能是枝点 ，同时别忘了判断 z = ∞ 在 z = 1 邻域绕 z = 1 逆时针一周回出发点 ，θ1 增加了 2 π，θ2 不变，w ⟹ -w, 是枝点； 绕 z = -1 逆时针一周回出发点 ，θ1 不变，θ2 增加了 2 π，w ⟹ -w, 也是枝点； 在 z = ∞ 邻域绕 z = ∞ 逆时针一周回出发点 ，θ1 增加了 2 π，θ2 也增加了 2 π，w 不变，不是枝点。 故：函数 w = z2 - 1 有两个枝点 z = ±1。 割线：连接枝点 （保证每一个枝点都有割线连出 ），为简单起见 ，取直线。 可以选直接连接 z = ±1 的直线，如左图紫色线段 ， 也可以为从 z = 1，经无穷远点再到达 z = -1 的直线，如右图蓝色的直 线 上 （下） 岸：指定辐角值 如左图，割线取为连接 z = ±1 的直线， 上岸： θ1 = π，3 π θ2 = 0, 2 π ， 组合成 4 种情况，但 (θ1 + θ2) 2 = π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 只给出两种不同的函数值 z05a.nb 3
设上岸辐角取为 61=-,从上岸的点到达:=,矢量-1)顺时针转了 B2=0+,从上岸的点到达z=,矢量(+1)逆时针转了z 1=x+,从上岸沿蓝色路径到:=-,(=-1)逆时针转了x 7丌 从上岸沿蓝色路径到z=-i,(z+1)逆时针转了 从上岸沿红色路径到=-i,(-1)顺时针转了 0--,从上岸沿红色路径到二=-i,(2+1)顺时针转了 从上岸沿蓝色路径到 岸沿红色路径到〓 计算辐角时应注意: a)需从己知辐角值的点出发,经一条不穿过割线的路径到达所需要求函数值的点 b)计算θ1和的时必须沿同一条路径,即:计算和B2都用上图的蓝色, 或都用红色路径,不可以用红色路径计算θ,却用蓝色路径计算B2。 可以验证,上岸角取为:{2函数值相同,与(属同一个单值分支 设上岸辐角取为:{6=,可以求出二=时的61与 =-√2i H(=v2i(2n2) 可以验证,上岸辐角取为:{6=3x函数值相同,与{6=7属同一个单值分支 故函数w=√=2-1有两个单值分支。至于属哪一个单值分支,可以由上岸辐角值确定 也可以由复平面上任意一点的函数值确定 例如作完割线后给定w(i)=-√2讠,就确定了单值分支,w(-)=? 设沿上图蓝色线从二=i到二=-i,依旧:B1=arg(=-1),的2=arg(+1)
设上岸辐角取为 ： θ1 = π θ2 = 0 ， 当 z = 时， θ1 = π - π 4 ，从上岸的点到达 z = ，矢量 (z - 1) 顺时针转了 π 4 θ2 = 0 + π 4 , 从上岸的点到达 z = ，矢量 (z + 1) 逆时针转了 π 4 z = - 时， θ1 = π + π 4 ，从上岸沿蓝色路径到 z = -，(z - 1) 逆时针转了 π 4 θ2 = 0 + 7 π 4 , 从上岸沿蓝色路径到 z = -，(z + 1) 逆时针转了 7 π 4 z = - 时， θ1 = π - 7 π 4 ，从上岸沿红色路径到 z = -，(z - 1) 顺时针转了 7 π 4 θ2 = 0 - π 4 , 从上岸沿红色路径到 z = -，(z + 1) 顺时针转了 π 4 故：w(z) = z2 - 1 (θ1+θ2)/2 ⟹ w() = 2 2 π-π 4 +0+π 4 = 2 w(-) = 2 2 π+π 4 +7 π 4 = - 2 从上岸沿蓝色路径到 z = - w(-) = 2 2 -3 π 4 -π 4 = - 2 从上岸沿红色路径到 z = - 计算辐角时应注意 ： a) 需从已知辐角值的点出发 ，经一条不穿过割线的路径到达所需要求函数值的点 b) 计算 θ1 和 θ2 时必须沿同一条路径 ，即：计算 θ1 和 θ2 都用上图的蓝色 ， 或都用红色路径 ，不可以用红色路径计算 θ1，却用蓝色路径计算 θ2。 可以验证，上岸辐角取为 ： θ1 = 3 π θ2 = 2 π 函数值相同 ，与 θ1 = π θ2 = 0 属同一个单值分支 。 设上岸辐角取为 ： θ1 = π θ2 = 2 π ，可以求出 z = 时的 θ1 与 θ2 故： w() = 2 2 π-π 4 +2 π+π 4 = - 2 w(-) = 2 2 π+π 4 +2 π+7 π 4 = 2 ⟹ w() = -w(-) 可以验证 ，上岸辐角取为 ： θ1 = 3 π θ2 = 0 函数值相同 ，与 θ1 = π θ2 = 2 π 属同一个单值分支 。 故函数 w = z2 - 1 有两个单值分支 。至于属哪一个单值分支 ，可以由上岸辐角值确定 。 也可以由复平面上任意一点的函数值确定 。 例如作完割线后给定 w() = - 2 , 就确定了单值分支 ，w(-) = ? - x y θ1 θ2 -1 1 上岸 下岸 + 设沿上图蓝色线从 z = 到 z = -，依旧：θ1 = arg(z - 1), θ2 = arg(z + 1) 4 z05a.nb
z05anb5 ()=vl-l1+e2+份) (6+的2) =-√2i 6+的2) 61→的=日1+矢量:-1逆时针转了2 沿蓝色线到z= 矢量+1逆时针转了 (-)=v+-11+1c2+=V2e2m1+2n=√2i 沿红色线到z=-i, →6=6 w()=√-t-1+1e2+)=√2c2-2m=√2 若取上图割线,并定义w(=-√2i,则:w(-)=-√2i=w( 若取上岸:{6=0,则:w(0=√2i=m- 若取上岸: 62=0·则:w()=-√2i=v(-i 取不同的割线,函数的“奇偶性”不同。 取直接连接二=±1的直线作为割线,w(-i)=-(i),“奇函数” 若取连接=1,∞,-1的直线作为割线,v(-i)=v(i),“偶函数” 在做割线之前,不能判断w=√=-1是否满足:m(-=0=m(a,.这点与实函数不同 目例题:为函数m=f(3)=√=-1做割线,使得当在实轴上时,w退化为:w=g x2-1,l≥1 解:需要做什么样的割线,并如何定义辐角值,才能保证f()在实轴上退化为g(x)? 上 A上岸
w() = - 1 + 1 2 (θ1+θ2) = 2 2 (θ1+θ2) = - 2 ⟹ 在 z = 处： 2 (θ1+θ2) = - 沿蓝色线到 z = -， θ1 ⟶ θ1 ′ = θ1 + π 2 矢量 z - 1 逆时针转了 π 2 θ2 ⟶ θ2 ′ = θ2 + 3 π 2 矢量 z + 1 逆时针转了 3 π 2 w(-) = - - 1 + 1 2 (θ1 ′ +θ2 ′ ) = 2 2 (θ1+θ2+2 π) = 2 沿红色线到 z = -， θ1 ⟶ θ1 ′ = θ1 - 3 π 2 θ2 ⟶ θ2 ′ = θ2 - π 2 ， w(-) = - - 1 + 1 2 (θ1 ′ +θ2 ′ ) = 2 2 (θ1+θ2-2 π) = 2 x y θ1 θ2 -1 1 上岸 若取上图割线 ，并定义 w() = - 2 ，则：w(-) = - 2 = w() 若取上岸 ： θ1 = 0 θ2 = 0 ，则：w() = 2 = w(-) 若取上岸 ： θ1 = 2 π θ2 = 0 ，则：w() = - 2 = w(-) 取不同的割线 ，函数的 “奇偶性” 不同。 取直接连接 z = ±1 的直线作为割线 ，w(-) = -w()，“奇函数” 若取连接 z = 1，∞，-1 的直线作为割线 ，w(-) = w()，“偶函数” 在做割线之前 ，不能判断 w = z2 - 1 是否满足 ：w(-z0) = w(z0)，这点与实函数不同 。 ☺ 例题：为函数 w = f (z) = z2 - 1 做割线，使得当 z 在实轴上时，w 退化为：w = g(x) = x2 - 1 , x ≥ 1 1 - x2 , x < 1 。 解：需要做什么样的割线 ，并如何定义辐角值 ，才能保证 f (z) 在实轴上退化为 g(x)? x y θ1 θ2 -1 1 上岸 下岸 θ2 x y θ1 -1 1 上岸 z05a.nb 5