例42设某单变量系统的数学模型为 +a23+1y+ay y(0)=3(0)=(0)=0 其中,4(t)=1(t),a,a1,a2的额定值分别为ao=20,a10=15,a20=5试求以下各项: (1)參数向量取为=[。a”时,系统的输出灵敏度向最全叫(2,的表 达式 (2)备分量的波形图 (3)d的各分量对y(t)的影响; (4)系统输出量诱发误差的各种表达式 (5)取a/a0=0,1,用一阶灵敏度函数求系统输出量的诱发误差,并与精确值进行 比较 解(1)求全Py(t,a) 的表达式的方法是用拉普拉斯变换法或其它方法解题给 方程,然后求输出灵敏度向量 ay(a) ay(, a)ay(, a)ay( aa ca 具体计算过程由读者自行完成之。 (2)各分量(a) 及 ay(t, a) 的波形图如图4-1(a 所示。图中,为表示清晰起见,已将各量放大了100倍。 由图可见,本系统的稳态输出值为 0.05=5X10 (3)⑩对y的影响体现于y的诱发误差dy。其表达式为 ∥4会 ay(. a) aao d 由上式可见,当=[加。1a22为定常的参数变化时,da0对y的影响就直接体 现于a上了。由图可见.,,进而A只影响y的稳态值,面对超调量及上升 时闻影响不大。 同理,由图可见,由于C的值在发生超调量处为最大故对超调量有大的影响。 由 的波形图可见,它对y的斜率有彭响,所以a影响y的上升时闻。 (4)可绝对灵敏度、半相对灵敏度和相对灵敏度来表达的参数诱发误差∥y。、 用绝对灵敏度函数表达的dy算式为 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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3.0 or. 1.0 t/sec 10 137×102 3.0 d(ina,go 23 20004y 135×10-3 为了比较各种参数的变化对y的影响,宜用半相对灵敏度函数来表达 dy(t, a) ay do+ ay +Aa1+ d 21+42,舞 a+2y4 442 la2 全0 ao 4a da2 +o 如果想用无因次的量来表达参数对y的影响,则用相对灵敏度函数为宜。以y(t,1)通 除上式左右两边,得 dy(, a) y(,4}=y,a如al.+y(,a)a1l·,a (,a)aa2| DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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仝 +刃 + (5)为了对用一阶灵敏度函数分析计算灵敏度问题的精确程度有所了解,本例以 Apy=D.1.例,计算y的诱发误差的准确值和用灵敏度函数求得的近似值,并进行比较。 由图4-1(b)可见,当扌=23秒时,由-200-0y am)。曲线可查得相应的谁为274, 于是由等式 ay 2.74=-200 a(lna2)高 可求得 y 2,74 1.37×10-2 由此 dy≈0a5=-1.37×10-2×0.1=-1,37×10-3 而由图4-1(6)中的200d曲线,可查得t=2,3秒时的值为-27。于是由等式 2,7=20004y 可求得 dy 2001.35×10-3 比较以上两个计算结果可见,用灵敏度函数计算y的诱发误差的近似值与椭确的诱发误 差值是相当接近的。实际经验中指出,当参数的变化为30%以下时,用灵敏度函数分析所得 的结果是足够准确可靠的。 二、连续系統的轨迹敏度画数 (一)a,B参数的轨迹灵敏度函数 如果系统用状态变量法来描述,这时的灵敏度问题皆用所谓的轨迹灵敏度函数米处理。 具体讲,如果系统在额定参数时的额定方程为 嘉=f(x,t,,吗),x(t)=x (4-17) 而在实际参数a=a+4时的实际方程为 面=f(x,+,B,a),x(t)=x (4-1 则参数变化da所导致的诱发状态误差为 Ax(,a)会r(,a)-x(t,a) (4-19) 按泰钧公式,dx(,a的一阶近似式是 dx(;,a)≈∑ 因此,可定义所谓的轨迹灵敏度函数。 定义43轨迹灵敏度向量如果系统的状态向量是定常参数a=[a1a2…an]的连 续函数,则称 λ(,a)ea(,a) (4-2]) 31 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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为对第个参数分量的轨迹灵敏度向量 注意,由于状态向量x=[x1x2…x丁,故由矩阵分析的知识可知 { =1,2 通常,称轨迹灵敏度向量的元素为轨迹灵敏度函数,也即,轨迹灵敏度函数为 (,a)2x(t,2) i=1,2,…,nj=1,2,…,r(4-23) a 定义4-4轨迹灵敏度矩阵状态向量x对定常参数向量a=[a1a2…a的导数称为 轨迹灵敏度矩阵A,即 at ar2 ax2 A会 (4-24) au ax a2¨ar/e 显然,A阵为 A=[^12…4门] (4-25) 参数变化诱发的状态向量误差为 dx(,a)=A(t,)a=∑a1 (4-26) 如果初始条件有变,则通β参数问题。这类问题可仿效上述a参数的情况,进行类似的 处理。 例43设有伺服直流电机的微分方程 岁+ay=K 若4=0,参数a1的额定值a10=1,初始条件为y(0)=0,(0)=1,试求轨迹灵敏度向量并求 a1有10%的变化后状态向量的诱发交化4x。 解由题给微分方程转相变型的状态方程进行计算,故相应的状态变量取为x1=y, x=。动态方程成为 0 K y=[10 x(0)=0,x2(0)=1 由状态方程解的公式 x(1)=ex(0)+|c(B(r)dr 考虑=0,故有 x(t)=ex(0) DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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e4可求之如下 es=L-I[(s/-A)"1] 于是 x,(t) x(t) 取a1作为参数,即取a=a1;轨迹灵敏度向量为 a1(t,410) e(1+at)-1] ax2/aa s (e 10t 故 a[e"(1+a)-1 参数变化的诱发状态误差可由下式求之 ax /aa, Ar=m4a, ax2 aa [e04(1+a1t)-1] do te 式中, 1=10%10=0,X1=0 为了把参数变化对系统的影响看得更清楚,我们可以画出相应于额定参数的额定相迹和 参数变化后的实际相迹。为此,先求相迹方程。 由前述状态方程,考虑“t)=0,有 1=x2 之2=~ax2+K=~a12 于是,有关系式 =“a1 额定参数时的相迹可由下式求得 1010 也即 33 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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