46乘积测度与 Fubin定理 教学目的本节讨论测度空间的乘积空间,并且证明一个重要的定理 Fubini定理 本节要点乘积测度的构造利用了§22测度的延拓定理. Fubin定理是 积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分累次积分交换积 分顺序的定理 Fubini定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用 设X和Y是两个非空集,AcX,BcY.称AxB为XxY中的矩形(定义 A×=z,×B=) 例如平面可以看成是直线与直线的乘积,即R×R1=R2.当A和B是直线上的有 界区间时,A×B就是平面上的通常意义下的矩形.本节在抽象空间的情形下讨论乘积空间 但可以将R×R=R这一特殊情形作为直观模型。通过直接验证,不难证明矩形具有如 下性质(图6-1) 1).(A1×B1)∩(A2×B2)=(A1∩A2)×(B1∩B2) (2)(A1×B1)-(A2×B2)=[(41-A2)×B1]u[(A1∩A2)×(B1-B2 B E B E2 A2 A E1=(A1-A2)×B1E2=(A1∩A2)×(B1-B2) 图6-1 设(X,,p)和(Y,,v是两个测度空间.若A∈A,B∈罗,则称AxB为可测矩形.设 C是可测矩形的全体所成的集类.利用上面所列的矩形的性质,容易验证C是一个半环 由C生成的σ-代数o(C)称为4与多的乘积-代数,记为×B
116 §4.6 乘积测度与 Fubini 定理 教学目的 本节讨论测度空间的乘积空间,并且证明一个重要的定理 —Fubini 定理. 本节要点 乘积测度的构造利用了§2.2 测度的延拓定理. Fubini 定理是 积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分,累次积分交换积 分顺序的定理.Fubini 定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用. 设 X 和 Y 是两个非空集 , A ⊂ X, B ⊂ Y. 称 A× B 为 X ×Y 中 的 矩 形 ( 定 义 A×∅ = ∅, ∅ × B = ∅ ). 例如,平面可以看成是直线与直线的乘积, 即 1 R × =1 R . 2 R 当 A 和 B 是直线上的有 界区间时, A× B 就是平面上的通常意义下的矩形. 本节在抽象空间的情形下讨论乘积空间, 但可以将 1 R × =1 R 2 R 这一特殊情形作为直观模型. 通过直接验证, 不难证明矩形具有如 下性质(图 6—1): (1).( ) ( ) ( ) ( ). A1 × B1 ∩ A2 × B2 = A1 ∩ A2 × B1 ∩ B2 (2).( ) ( ) [( ) ] [( ) ( )]. A1 × B1 − A2 × B2 = A1 − A2 × B1 ∪ A1 ∩ A2 × B1 − B2 图 6-1 设 (X, A,µ) 和(Y, B,ν ) 是两个测度空间. 若 A∈A, B ∈B, 则称 A× B 为可测矩形. 设 C 是可测矩形的全体所成的集类. 利用上面所列的矩形的性质, 容易验证C 是一个半环. 由C 生成的σ − 代数 σ (C ) 称为 A 与B 的乘积σ -代数, 记为A ×B. ( ) ( ) 1 1 2 1 E 2= A1 ∩ A2 × B1 − B2 E = (A − A )× B X A1 A2 E1 B2 B1 Y E2
在C上定义一个非负值集函数如下.对任意AxB∈C,令 (4xv)(A×B)=(A)·v(B) 定理1由(1)式定义的集函数Xv是C上的测度 证明显然(Xv))=0.往证pXv在C上是可数可加的.设A×B是一个可测矩 形,{A,xBn}是一列互不相交的可测矩形使得AxB=Um14×B由于{ A xB}是 互不相交的,故成立 14(x)l2(y)=∑l2(x)(y) 对任意固定的y∈Y,将上式两边对x积分并利用单调收敛定理得到 (A)2(y)=∑(An)B() 再对y积分得到(A)H(B)=∑(4)v(Bn)这就是 (XD(AxB)=∑(x) A xB) 即yxv在C上是可数可加的.因此Xv是C上的测度■ 设界是由C生成的环,即 R={4=UE,E1,E是互不相交的可测矩形k≥l 注意由于XxY∈,故实际上是一个代数.按下面的方式将Xv延拓到上.若 E∈,E的一个分解式为E=U4×B,则令 (x)(E)=∑u(4)(B) 由§22引理7,(μxv)(A×B)的值不依赖于A×B的分解式的选取.由定理1和22定理8 立即得到如下定理 定理2由(2)式定义的集函数Xv是上的测度 设(×v)是由HXv导出的外测度,m是(×v)可测集的全体所成的a一代数 由22定理5,(4xv)在M上是一个测度,称这个测度为和v的乘积测度,仍记为
117 在C 上定义一个非负值集函数如下. 对任意 A× B ∈C , 令 (µ ×ν )(A× B) = µ(A)⋅ν (B). (1) 定理 1 由(1)式定义的集函数 µ ×ν 是C 上的测度. 证明 显然(µ ×ν )(∅) = 0 . 往证 µ ×ν 在C 上是可数可加的. 设 A× B 是一个可测矩 形, { } An × Bn 是一列互不相交的可测矩形使得 1 . n n n AB A B ∞ = ×= × ∪ 由于{ } An × Bn 是 互不相交的, 故成立 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 ∑ ∞ − = n A B A B I x I y I x I y n n 对任意固定的 y ∈Y, 将上式两边对 x 积分并利用单调收敛定理得到 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 ∑ ∞ = = n B n B A I y A I y n µ µ 再对 y 积分得到 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 ∑ ∞ = ⋅ = ⋅ n µ A ν B µ An ν Bn 这就是 ( )( ) ( )( ). 1 ∑ ∞ = × × = × × n µ ν A B µ ν An Bn 即 µ ×ν 在C 上是可数可加的. 因此 µ ×ν 是C 上的测度. ■ 设R 是由C 生成的环, 即 { : ,, , 1}. 1 1 = = ≥ = A E E E k k k i R ∪ i 是互不相交的可测矩形 注意由于 X ×Y ∈ R, 故 R 实际上是一个代数. 按下面的方式将 µ ×ν 延拓到 R 上. 若 E∈R, E 的一个分解式为 , ∪ 1 k i E Ai Bi = = × 则令 ( )( ) ( ) ( ). 1 ∑= × = ⋅ k i µ ν E µ Ai ν Bi (2) 由§2.2.引理 7, (µ ×ν )(A× B) 的值不依赖于 A× B 的分解式的选取. 由定理 1 和§2.2 定理 8 立即得到如下定理. 定理 2 由(2)式定义的集函数 µ ×ν 是R 上的测度. 设 ∗ (µ ×ν ) 是由 µ ×ν 导出的外测度, Mµ×ν 是 ∗ (µ ×ν ) 可测集的全体所成的σ − 代数. 由§2.2 定理 5, ∗ (µ ×ν ) 在Mµ×ν 上是一个测度, 称这个测度为 µ 和ν 的乘积测度, 仍记为
HxV.称测度空间(X×Y,w,xv)为(X,,)与(Y,罗,V)乘积空间.由22定理 10,测度空间(XxY,,xv)是完备的.容易证明若和V都是G-有限的,则 v也是a-有限的(其证明留作习题) 由第一章习题第26题的结果知道σ(C)=o().由.4×的定义和§22定理5 A×=0(C)=a()∈x 因此4Xv也是Ax上的测度.有时也称测度空间(X×Y,4×,Xv为(X,A,)与 (,,v)乘积空间. 下面我们将证明 Fubini定理.为此需要作一些准备.设 ECXXY,x∈X.称集 Ex={y∈Y:(x,y)∈E}为E在x的截口.类似地,对y∈Y,称集 E,={x∈X:(x,y)∈E}为E在y的截口.注意E和E,分别是Y和X的子集(图6-2) E3 图6—2 容易验证关于截口成立 (D). (UEn=U(Ex ().(E-F)=E3-Fx 同样,关于y的截口也成立类似的性质 定理3设(X,A,p)和(H,,v)是两个一有限的测度空间,E∈A×.则 ()对任意x∈X,必有Ex∈B (i1).v(E)和是(X,A,)上的可测函数.并且成立等式 (×XE)=v(E)d
118 µ ×ν . 称测度空间 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 为 (X, A,µ) 与 (Y, B,ν ) 乘积空间. 由§2.2.定理 10, 测度空间 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 是完备的. 容易证明若 µ 和ν 都是 σ − 有限的, 则 µ ×ν 也是σ − 有限的(其证明留作习题). 由第一章习题第 26 题的结果知道σ (C ) =σ (R ). 由A ×B 的定义和§2.2 定理 5, A ×B =σ (C ) =σ (R ) ⊂ Mµ×ν . 因此 µ ×ν 也是A ×B 上的测度. 有时也称测度空间(X ×Y,A ×B,µ ×ν )为(X, A,µ) 与 (Y, B,ν ) 乘积空间. 下面我们将证明 Fubini 定理. 为此需要作一些准备. 设 E ⊂ X ×Y, x ∈ X. 称集 E {y Y : (x, y) E} x = ∈ ∈ 为 E 在 x 的 截 口 . 类似地 , 对 y ∈Y, 称 集 E {x X : (x, y) E} y = ∈ ∈ 为 E 在 y 的截口. 注意 Ex 和 Ey 分别是Y 和 X 的子集(图 6—2). 图 6—2 容易验证关于截口成立 (i). ( ) ( ) , 1 1 ∪ ∪ ∞ = ∞ = = n x n x n En E (ii). ( ) . E − F x = Ex − Fx 同样, 关于 y 的截口也成立类似的性质. 定理 3 设(X, A,µ) 和(Y, B,ν ) 是两个σ − 有限的测度空间, E ∈ A ×B . 则 (i).对任意 x ∈ X, 必有 ∈B. Ex (ii). ( ) ν Ex 和是(X, A,µ) 上的可测函数. 并且成立等式 ∫ (µ ×ν )(E) = ν (E )dµ. x (3) X Y Ex Ey x y E
证明(i).设C是可测矩形的全体.令 ={E∈×:对任意x∈X,E∈h 若E=AXB∈C,则当x∈A时,Ex=B.当xgA时,Ex=②.故对任意 x∈X,E∈.因此Cc.利用截口的性质容易证明是一个-代数.因此得到 ×=o(C)∈.即对任意x∈X必有Ex∈B (i)先设v(Y)<+∞.由本定理的结论(),对任意x∈X,必有Ex∈B.故函数 v(E)有意义令 分={E∈h×:(E)是可测的} 若E=A×B是一个可测矩形,则以E)=v(B)A(x)是可测的.这表明Cc.往证 分是一个类.显然X×Y∈.设E,F∈并且EF.注意到v(F2)≤v(Y)<+∞ 我们有 V(E-F=vEr-F=VEn-V(F) 故W(E-F2)是A可测的因此E-F∈,即对包含差运算封闭再设{En}c界 并且En个.则(En)2个.于是有 v(UE))=En),)=im(E,),) 由上式看出以(UEn))是4可测的因此∪En∈,即对单调增加的集列的并运算 封闭.所以牙是包含C的一个λ类.注意到C是一个丌类.由§1.3推论12,我们有 4×=(C)c 即对任意E∈H×B,以(E2)是可测的.若v()=+∞.由于(,,v是a-有限的 因此存在Y的一列互不相交的可测集{x}使得v(H)<+并且Y=UF,对每个 n≥1,在罗上定义测度 vn(B)=v(B∩n),B∈豸 则v(Y)=(n)<+∞.设E∈×罗.则由上面所证,每个n≥1,vn(E)是A可测的 我们有 v(E2)=(U(E,n)=∑v(E2∩n)=∑vn(E2) 由此可见v(E2)是可测的 在.A×罗上定义集函数A如下 A(E)=[v(E,)du,E∈nxB
119 证明 (i).设C 是可测矩形的全体. 令 F = { ∈ A ×B : ∈ , ∈B}. X Ex E 对任意x 若 E = A× B ∈ C , 则 当 x ∈ A 时 , E B. x = 当 x ∉ A 时 , = ∅. Ex 故对任意 x∈ X , ∈B. Ex 因此C ⊂ F . 利用截口的性质容易证明 F 是一个 σ -代数. 因此得到 A ×B = σ (C ) ⊂ F . 即对任意 x ∈ X 必有 ∈B. Ex (ii) 先设ν (Y) < +∞. 由本定理的结论 (i), 对任意 x ∈ X , 必有 ∈B. Ex 故函数 ( ) ν Ex 有意义. 令 F { A B : ( )是A 可测的}. = E ∈ × ν Ex 若 E = A× B 是一个可测矩形, 则 (E ) (B)I (x) ν x =ν A 是 A 可测的. 这表明C ⊂ F . 往证 F 是一个λ 类. 显然 X ×Y ∈ F . 设 E, F ∈ F 并且 E ⊃ F. 注意到 (F ) ≤ (Y) < +∞, ν x ν 我们有 (( ) ) ( ) ( ) ( ). ν E − F x =ν Ex − Fx =ν Ex −ν Fx 故 (( ) ) ν E − F x 是 A 可测的. 因此 E − F ∈ F , 即F 对包含差运算封闭.再设{En } ⊂ F 并且 ↑ . En 则( ) ↑ . En x 于是有 (( ) ) ( ( ) ) lim (( ) ). 1 1 n x n n x n x n ν En ν E ν E →∞ ∞ = ∞ = ∪ = ∪ = 由上式看出 (( ) ) 1 x n ∪En ∞ = ν 是 A 可测的. 因此 ∈ ∞ = ∪ n 1 En F , 即F 对单调增加的集列的并运算 封闭. 所以F 是包含C 的一个λ 类. 注意到C 是一个π 类. 由§1.3.推论 12, 我们有 A ×B = σ (C ) ⊂ F . 即对任意 E ∈ A ×B , ( ) ν Ex 是 A 可测的. 若ν (Y) = +∞. 由于 (Y, B,ν ) 是σ − 有限的, 因此存在 Y 的一列互不相交的可测集{ } Yn 使得ν (Yn ) < +∞ 并且 1 . n n Y Y ∞ = = ∪ 对每个 n ≥ 1, 在B 上定义测度 ν n (B) =ν (B ∩Yn ), B ∈B. 则 ( ) = ( ) < +∞. ν n Y ν Yn 设 E ∈ A ×B . 则由上面所证, 每个 n ≥ 1, ( ) ν n Ex 是 A 可测的. 我们有 ( ) ( ( )) ( ) ( ). 1 1 1 ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = = ∩ = ∩ = n n x n x n n ν Ex ν ∪ Ex Yn ν E Y ν E 由此可见 ( ) ν Ex 是 A 可测的. 在A ×B 上定义集函数λ 如下: = ∈ ∫ λ(E) ν (Ex )dµ, E A ×B
则是非负值集函数并且m()=0.设{En}是×中的一列互不相交的集.则由单调 收敛定理得到 A(UEn=V(UEndu=v(U(E,))due u(En)M=∑(En 即是可数可加的.故λ是.A×B上的测度.若E=A×B是一个可测矩形,则 a(E)=V(E, du=]VB)(x)du =A()v(B)=(uXv)E 故在C上A=×V.测度的有限可加性蕴涵在由C生成的环上A=4Xv.由于和v 都是σ一有限的,容易知道A和Xv也是a-有限的(参见习题).由§2,2定理6知道在 4×上A=xV.这表明对任意E∈A×,(3)式成立■ 注1由定理3,我们也可以用(3)式来定义A×上的乘积测度4Xv,这样定义的 xv与我们前面定义的上的乘积测度XV在.×2上是一致的.但是这样得到的 乘积测度空间(X×Y,A×,4xV)一般说来不是完备的.本节所用的定义乘积测度的方 式的优点是直接得到了完备的乘积测度空间(XxY,m,xv),这样就避免了对 (X×Y,n×,4×v)再进行完备化的讨论 引理4设(X,H,)和(Y,Bv)是两个完备的测度空间,若E∈.,并且 (×v)(E)=0.则对几乎所有x∈X,E2∈B并且v(E)=0ae, 证明由§22定理11,存在F∈o()=4×劣,使得F→E并且 (×v)(F)=(×v)(E)=0 定理3(i)蕴涵W(F)=0ae.由于关于v是完备的,因此由ExFx得到 Ex∈罗,ae.并且v(E)=0ae.■ 定理5设(X,,)和(Y,2,v是两个完备的-有限的测度空间,E∈.MYmy,则 ().则对几乎所有x∈X,必有E,∈罗 (i).v(E2)是(X,A,)上的可测函数并且成立等式 (AXv(E)=ME, du (i)若f(x,y)是(X×y,y,xv)上的可测函数,则对几乎所有x∈X,函数 f2(y)=f(x,y)是(Y,,v上的可测函数 证明设E∈m·由§22定理13,存在F∈4×3和N∈ v(N)=0,使得E=F-N.由引理4,Nx∈,ae.并且(N)=0ae.再利用定 理3,我们有E2=Fx-Nx∈B,ae.因此()得证.由定理3,wF2)是可测的.由于
120 则 λ 是非负值集函数并且 m(∅) = 0. 设{ } En 是 A ×B 中的一列互不相交的集. 则由单调 收敛定理得到 (( ) ) ( ). ( ) (( ) ) ( ( ) ) 1 1 1 1 1 ∫∑ ∑ ∫ ∫ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = = = = = n n n n x n x n x n n n n E d E E E d E d ν µ λ λ ∪ ν ∪ µ ν ∪ µ 即λ 是可数可加的. 故λ 是 A ×B 上的测度. 若 E = A× B 是一个可测矩形, 则 (E) (E )d (B)I (x)d . (A) (B) ( )(E). λ = ν x µ = ν A µ = µ ⋅ν = µ ×ν ∫ ∫ 故在C 上λ = µ ×ν. 测度的有限可加性蕴涵在由C 生成的环R 上λ = µ ×ν. 由于 µ 和ν 都是σ − 有限的, 容易知道 λ 和 µ ×ν 也是σ − 有限的(参见习题). 由§2.2 定理 6 知道在 A ×B 上λ = µ ×ν. 这表明对任意 E ∈ A ×B, (3)式成立.■ 注 1 由定理 3, 我们也可以用(3)式来定义 A ×B 上的乘积测度 µ ×ν , 这样定义的 µ ×ν 与我们前面定义的Mµ×ν 上的乘积测度 µ ×ν 在 A ×B 上是一致的. 但是这样得到的 乘积测度空间 (X ×Y,A ×B,µ ×ν ) 一般说来不是完备的. 本节所用的定义乘积测度的方 式的优点是直接得到了完备的乘积测度空间 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × , 这样就避免了对 (X ×Y,A ×B,µ ×ν )再进行完备化的讨论. 引 理 4 设 (X, A,µ) 和 (Y, B,ν ) 是两个完备的测度空间 , 若 E ∈ Mµ×ν 并 且 (µ ×ν )(E) = 0. 则对几乎所有 x ∈ X , Ex ∈B 并且 ( ) = 0 a.e., ν Ex 证明 由§2.2 定理 11, 存在 F ∈ σ (R ) = A ×B, 使得 F ⊃ E 并且 (µ ×ν )(F) = (µ ×ν )(E) = 0. 定 理 3 (ii) 蕴 涵 ( ) = 0 a.e. ν Fx 由 于 B 关 于 ν 是完备的 , 因此由 Ex ⊂ Fx 得 到 Ex ∈B, a.e.并且 ( ) = 0 a.e. ν Ex .■ 定理 5 设(X, A,µ) 和(Y, B,ν ) 是两个完备的σ − 有限的测度空间, E ∈Mµ×ν . 则 (i).则对几乎所有 x ∈ X , 必有 ∈B. Ex ( ) ii). ( ν Ex 是(X , A,µ) 上的可测函数. 并且成立等式 ∫ (µ ×ν )(E) = ν (E )dµ. x (4) (iii).若 f (x, y) 是 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 上的可测函数, 则对几乎所有 x ∈ X , 函数 f ( y) f (x, y) x = 是(Y, B,ν ) 上的可测函数. 证 明 设 E ∈ Mµ×ν . 由 §2.2 定 理 13, 存 在 F ∈ A ×B 和 N ∈ Mµ×ν , (µ ×ν )(N) = 0,使得 E = F − N. 由引理 4, Nx ∈ B, a.e.并且 ( ) = 0 a.e. ν Nx 再利用定 理 3, 我们有 Ex = Fx − Nx ∈ B, a.e. 因此 (i) 得证. 由定理 3, ( ) ν Fx 是 A 可测的. 由于