-8如杲有关系式1=(a),2=影:(),试求相对灵敏度",3"‘及3, 814的亵达式。 3-4如果有关系式多=f(8),B=g(a),求半相对灵敏度的表达式及♂細 3-5试以二阶灵敏度函數为例,说明为保持系钪变量y对参数及β的诱发误差dy 的不变忙,要求参数与β间的关系式a=a4(日,B3…,A),i=1,2,…,r为线性变换关 3-δ设有某RC低通滤波电路的微分方程α:+ay=,其中,为输入量,y为输 出量,参数a1=K,a2=KRC,式中K为放大因素,R为电阻值,C为电容值。假定灵敏 度函数S副,及S飄已知,议求 (1)当团K<K,团R《R,C未受摄动情况下的Sx,$及团y (2)当团K《K0,团R《R及C《C。情况下的S,S影S及团y。 3-7泯设摆长为l的桂钟在溫度为v时走得很准,此时,的摆动周期为1秒,周期 的计算公式为T=2a√M/!9,式中9为重力常数。如果室温变为v1了,则摆长将发生相应的变 化,其规律为l=l0(1+a和b),式中,常数=10-5/℃。试求: (1)绝对灵欹度Sv; (2)如果温度变化为10℃,该钟的计时会发生多大的变化。 3-8有人论证说,在应用有限字长的计算机计算二次方程ax2+bx+C≈0,a年0的根 时,用报的传统计算公式x,2= 6+v62-4ac -作为笄法是不妥当的,这里有算法的不稳 定问题。你看这是什么原因? 3-9设有图3-2所示的RLC电路,试求 (1)传递函数W (2)3,B,"。 图3-2 310图33所示系統,额定参教为;p1=-1,P2=-5,A=0,21,试求 (1)闭环传递函数M(S)y (2)8(s) (3)a=1及a=2时的|8()}及|(o)| -p)(-P) 图3-3 24 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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第四章各种常用的系统灵敏度函数 本章介绍控制工程中常用的各种灵敏度函数及基于灵敏度函数的其它系统灵敏度表示 法。由于控制系统常用时城法,频域法,及性能指标进行分析与设计,所以本章相应地研究 时域灵敏度函数和频域灵敏度函数,对性能指标灵敏度的问题仅作了一些概略的介绍。 希望对本章内容做进一步了解的读者可参看文献[6],[7] 第一节时域中的灵敏度函数 一、连禁系统的输出灵敏度函数 假如系统的数学模型直接用高于一阶的微分方程表示,这时人们感兴趣的便往往是所谓 的输出灵敏度函数。以下讨论与此有关的间题。 (一)系统的a参数输出灵敏度 设描写单变量系统输入与输出特性的微分方程为 fy,y(-),…,y,a,1=0 (4-1) 式中a定常或慢变的单a参数的额定值 —一系统的输入量。 初始条件为 y()(t2)Ay8 0,1,",”-1 注意,如果输入信号是纯粹的外加信号,则a()与参数a无关,在讨论参数对系统性能 的影响时,为书写简便起见,常常不把在方程式(4-1)中写出。反之,如果a()是系统的 反馈信号,则()就与参数a有关了。这时,在式(4-1)中,必须把u(t)写出。另外,额 定参数时的方程式(4-1)是作为系统分析与设计依据的系统额定方程。由于测量误差,辨识 不准等前面章节中提到的一系列原因,它并不完全正确地描写系统中发生的真实过程。完美 无缺地描述系统中过程的方程常称为系统的实际方程,它的特点是其中的参数值不再是a, 而是偏离额定值a的a值,即a=a+a。当然,ac的真正值是无法精确知悉的。 1.为了引出输出灵敏度的概念,假设上述系统的实际方程为 y,,a]=0 且假设初始条件不变。由于微分方程的解是a参数的连续函数,放有 y(扌,a)=y(t,a)+ y dNa a2+… (4-3) 式中y(t,a)——实际方程的解; y(,a)—额定方程的解。 在Ja《的条件下,y(的一阶近似表达式为 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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'(t, a)=y(t, a0)+ (4-4) 因此,可定义输出灵敏度函数如下 定义41输出灵敏度函数系统的输出绝对灵敏度函数为 (:)△2(40) lim、y(t,a1+da)。y(t,an) (4-5) d→0 在对da作出估计后,由于参数变化所诱发的输出量变化可求得为 Ay (t, a)Ao(, ao)4a (4-6) 应当指出几点 (1)由于一般情况下,形如方程式(4-1及式(42)的方程总能化为一阶微分方程组 ,=∫4(计,x1 所以,在保证第二章定理2-5的条件下,y(,a)是a的连续函数。实际上,只要方程式(42) 中的f是y的连续函数,y就会是a的连续函数。这个条件对a+0的连续系统而言,总是 满足的。 (2)由于式(4-2)中包含着外输入量“,所以系统的输出灵敏度是一个取决于输入信号 的时间函数。 (3)系统的输出灵敏度还取决于额定参数值a3 例4-1设有某单变量系统,它的数学模型是线性定常三阶微分方程 +3+3+a3y=以 初始条件为:y(0)=(0)=(0)=0,a(t)=8(t)。如果参数a的额定值是a,试求该系统 的输出灵敏度表达式及实际输出函数的表达式。 解由输出灵敏度的定义知,o(t,a)全y(,2 ,因此,需先解题给的三阶微分方 程式,以求得y(t,a)。由拉氏变换法,不难求得 y(, a)=t 因此,可求得输出灵敏度函数 o(,a)会PY(t1a) 于是,由式(4-6),可求得参数变化的诱发输出量变化为 dy=团y(t,a)=0(t,a)/a 2e-at ga 系统的实际输出成为 (, a)=y(t, a)+4y t2e"(1-ta) 2.假如进一步假设参数不只一个,而是个,设为a,a2,…,a,。则可将这r个参数 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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构成一个列向量a=[a1a4…a]。于是,系统的额定方程为 fCy(). y(s-1) ,…,y,t,a]=0 系统的实际方程成为 ∫y"),y-),…,yt,a3+a]=0 (4-8) 假如式(4-7)与式(48)的解分别是y(t,an)及y(t,a),则由第二章所述的纯量场知识, 可知 c4A出22 因此,可定义输出灵敏度向量为 By「cy2y (4-9) 系统输出量的诱发误差成为 小a1 ar ∑σ4(,a) 式中,(;m)会以”一对参数么1的输出灵敏度函数。 3.对于更为—般的多输出、多参数的情况,系统的输出灵敏度函数也不难求得。例如, 设有Q个输出量,于是 y(t,a)=y(,a)+0k(t,a)4a,k=1,2,…,q (4-11) 由第二章所述的向量场知识,此时 ay, aaaa, a. ay, y 于是,利用上述雅可比矩阵的知识,可定义系统的输出灵敏度矩阵为 跳1「 ay. ay, ay2 E(t,a)a oy a ca, aa aa, (4-12) ay, ay. ay DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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系统输出量的诱发误差为 g=[y1团y2…dy aa, ca 0y a2 ay2 aa Σ(,a)da (4-13) (二)系统的β参数翰出灵敏度 前已述及,把变化的初始条件作为参数,便得B参数。设初始条件的额定值为月,它的 实际值为向量β=[R月1…月-J。于是对单变量系统而言,可定义系统对参数的输出 灵敏度为 (,Bn)全 ay(t, 8) 8 (4-14) 基于上式,同理可求得由于B参数变化所诱发的输出量误差y为 dy=0(,)8 对多变量倩况,可仿照前述a参数的情况推得相应的算式。 (三)时变参数的输出灵敏度函数 如果不是定常而是时变的,这时,一般假定a(t)的变化规律为 a()=a+εg( (4-15) 式中常数; 9()一均匀有界的可积函数。 所谓均匀有界是指如果9(t的稳态值是则为使|9(t)-9q<∞而选作出发点的 9()与t无关。这点,与控制理论中讨论稳定性概念时引入均匀稳定概念的做法类同。因 此,时变a参数的输出灵敏度函数可定义郊下: 定义4-2时变a参数的出灵敏度函数如果时变a参数的变化规律为 a(t)=co+Eg(t) 式中 常数 9(t)—已知的均匀有的可积函数。 则时变a参数的输出灵敏度函数为 00(,a0,9)iny[(an+e9),-y(a1 (4-16) 基于上述公式,可求得相应的系统输出诱发误差∠y。多参数与多变量系统的桕应灵敏 度向量与灵敏度矩阵也可用类似前述的方法定义之。 上述一切对时变的参数悄况也真。 (四)一个例题 为了加深理解,现举一例说明系统输出灵敏度函数的含义及各种灵敏度函数表达法的应 用场合。 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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