子是 1dx1+dx2=0 积分之,即 10 得相迹方程 x+x20-1=0 取实际参数时的相迹可仿前由下式求得 故求得的相迹方程为 a2x1+x2=1 由于 10 10 100 上式成为 1.1x1+x2=1 取额定参数的相迹与实际相迹于示图4-2。 3 额定轨迹 U1+ 实际轨迹 图42 图4-3 (二)4参数问题的轨迹灵敏度问题 现在,我们来讨论与λ参数有关的一些问题。先看一个引例。 例4-4设有图43所示的枢控伺服直流电动机并假设该电机的电枢电感L很小(例 如为毫享级)试求该电机的状态方程,并说明为简化该模型而令L=0的做法会导致参 数灵敏度间题。 解参看图4-3。取该图(b)中积分器后的变量为状态变量,即 x I 由于 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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故状态方程为 o=t kAi io=(-Raio-k]+u)/L 其矩阵形式为 由于这个系统有两个状态变量,所以是个二阶系统。 为简化计算,如取小参数L=0,则上式中第二个方程右端的系数成为无穷大,所以方 程不再成立。因此,为讨论L=0的情况,必须把小参数La乘到该等式的左端去,也即, 使L与状态变量i的导数相乘。于是,为简化计算的问题,应研究的方程成为 o ike Lx 克~R 因此在简化计算的情况下,由于取La=0,上式中的第二个方程不再是微分方程,而是 代数方程了。所以,这个简化的系统模型成了一阶系统。也就是说,把小参数Ln由非零值 人为地变为零的做法使系统模型简化了,这样做的结果导致了原系统阶次的降低。 在进行控制系统设计计算时,尽管上述做法是近似的措施,这个取L=0的系统近似方 程却是作为设计计算依据的额定方程(或称名义方程,退化方程)。代表系统真实情况的原 状态方程却被看成是由于参数L由额定值L,=0变为L=L团L=0+团L0=L0后所 得者。因此,我们反而讲,小参数L由额定值L=0变为实际值L+0导致了系统阶次的 提高。从这个意义上讲,与状态向量的导数相乘的小参数是参数。参数灵敏度问题出现 在上述引例的基础上,以下以灵敏度理论的观点来较为系统地研究这种伴随着系统阶次 变化的A参数问题。 1.参数问题的提出在处理包含电感、电容、质量,惯性的系统时,常常可得以下 类型的奇异摄动型系统动态方程 =f(x,2,t,,a)其(t)=x (4-27) az=1(x,,t,,a)2(t)=20 (4-28) =g(x,2,t2a) 式中x—系统的状态向量,X=[x1x…xn]; 当参数a由其额定值a=0变为a=a+a=d小a时,增加的系统状态变量 —纯量小参数,其额定值为a0=0; 系统的输入量; y—一系统的输出量; 35 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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f,f:1y-分别为维;r维及q维的向量值函数。 注意,一般情况下,a为参数向量。这里,只是为了讨论方便起见,才设a为纯量小参 数。此外,为避免与轨迹灵敏度函数的常用符号相混淆,这里与以后的叙述中皆用a表示 λ参数 上述方程之所以被称为奇异摄动型的方程是由于其中的小参数a一反常态不与状态方程 的右端各量相乘而是与左端的状态变量导数项相乘之故。正是由于小参数在状态方程中的这 种布局,使得经典的微分方程理论方法对这种类型的方程显得无能为力。这就是术语“奇异 摄动型”方程的来由。 由于参数a很小,为分析与设计系统方便起见,常令a=0。因此,得到作为分析与设 计系统依据的系统额定方程为 to=f(, 2, t, 4, 0), r(o)=ro (4-30) 0=f1(x,za,;",0) (431) =9(x,20,t,M,0) (4-32) 式中,变量x,〃的下标“0”表示“额定量”之意。 由于方程式-31)已成为代数方程了,所以与系统的实际方程相比较,a=0时的系统 额定方程的阶次降低了r阶。或者,换言之,相对于作为设计计算依据的系统额定方程而, 言,系统的实际方程比它高了r阶。显然,这是一种对设计计算工作十分有利的情况。然 而,到底这祥做是不是合理,要由灵敏度观点来判定。也就是说,如果由于参数a的变化而 造成的系统状态向量诱发误差不大,则这样做是允许的y否则,这种降阶的做法就行不通 了 这样,我们遇到了参数问题。 2.A参数情况下的轨迹灵敏度函数由于参数情况下涉及系统的实际方程及系统的 额定方程(即x退化方程”),所以,原则上可以定义以下两种不同的A参数轨迹灵敏度函 数。基于系绕的实际方程(注意:此时a中0)。灵敏度函数可定义为 x △ a|a0+0 而基于退化方程(a=0),另一种灵敏度函数定义为 A (4-34) a a 作为系统的设计工作者来讲,当然希望用基于退化方程的灵敏度函数定义式(4-34)。这 是因为,退化方程是设计与分析系统的依据之故。因此,为要退化方程实际可用,要求由式 (4-3)与式(4-34)定义的两种灵敏度函数相等,即要求 ▲A 0=0aa 邮=0 及 02 az (4-36) 然而,满足以上两式的条件是不易求得的。这是因为,由式(4-28),有 2=f1(x,,,4,a) (4-37) DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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这个方程的右端在a→0时趋于无穷大,所以方程本身不复存在。因此,经典微分方程解的 存在与唯一性定理不再适用。在这种情况下,只好应用奇异掇动理论了[n。1948年。苏联 科学家吉洪诺夫〔A.H. TEXOEOB)与华西列也注(A,5, BacwibeBa)提出了个在a=0 时系统的非退化方程(即实际方程)的解x、2,收敛为系统退化方程的解x、21,且保证极 限关系式(435),(4-36)存在的定理。 定理4-1考虑辅助方程 da(r) =f[x,z(),t,L,0 (4-38) 式中r,—一被看成是固定的参数; f:—由方程式(4-28)定义的向量函数。 则在a→0时,系统非退化方程式(427)与式(4-28)的解x(t,a)、z(,a)趋于退化方程式 (4-30)、(431)的解x()、2(t)的条件是:辅助方程式(4-38)具有在李亚普诺夫意义下的 渐近稳定解。讲得更直接些,辅助方程式(438)有渐近稳定性的充分条件是;的一切 特征值在(x,2,t空间的某域R中皆具有负实部。 这个定理不拟证明了。以下看一个 有关的例子。 例45设有非线性被控对象如图 囚♀ 4-4所示,其中,非线性特性是U=23, 是一个假定其值很大的放大系数。如 果用k=1/来定义λ参数a,试用奇 异摄动的观点,求以A参数a表达的系 图4-4 统非退化方程及退化方程,并判定用退 化方程定义的参数灵敏度函数进行灵敏度计算的条件是否得到满足 解系统的实际方程(即非退化方程)相应于k∞。由于k垒!/,故从λ参数的观 点看,这相应于参数a÷0的情况。 以参数列写方程时,系统的状态方程为 =2 z=(4-x)-k2 若转用参数a列写。基于k=1/,有 =( aa 故得非退化方程为 2 -x=42-28 佘1(x,2,t,4,a) 系统的退化方程相应于k→∞,也即a→0。以a=0代入上述非退化方程,并引用下 标“0”表示额定状态,得退化方程为 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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于是 =20=/-x0+1 为判定用退化方程定义的A参数灵敏度函数进行计算的条件是否得到满足,需先写出辅 助方程。参看非退化方程中的第二式,可得辅助方程为 d2(r) =f1(x,2(x),t,,0) 为求验充分条件,要求OL。显然, 由于的特征值就是它本身,且它对任意的x、2、t大值皆为负,故的所有特征 值(2)牌为负定的,所以,在=∞的情况下,有 0 之之 且 ax axa da aa 02a 风aanp 也即,可用p=时的系统退化模型来表征参数的参数灵敏度函数。 三、时城中的灵敏度尺度 (一)间题的提出 一般情况下,时域灵敏度函数不仅是参数的函数,而且还是时间的函数。有时,例如在 考虑大范围的灵敏度问题时,常常希望用一个数来表征系统对有关参数变化的灵敏度,而不 希望搀杂时间变量。因此,提出了以时域灵敏度尺度作为灵敏度的另一种度量方法的问题。 常见的时域灵敏度尺度有以下几种 (1)超调灵敏度y (2)L2范数 (3)特征值灵敏度 以下分别介绍它们的含义。 二)超调灵敏度 在许多情况下,超调量是设计系统的技术指标,因此,常有必要研究参数变化对系统超 调量的影响。 显然,超调灵敏度可以由输出灵敏度函数公式中代入发生超调的时刻m求得,即 d(tn,a)=0(t,a0) 38 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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