§4.5 Lebesgue可积函数的逼近 教学目的本节考虑可积函数的逼近问题.本节要证明几个关于积分的 逼近定理主要是关于 Lebesgue积分的逼近定理 教学要点 Lebesgue可积函数可以用比较简单的函数特别是用连续函数 逼近.由于连续函数具有较好的性质,因此L可积函数的逼近性质在处理有 些问题时是很有用的应通过例题和习题掌握这种方法 设给定一个测度空间(X,,p),C是可积函数类L()的一个子类.若对任意可积 函数∫∈L()和E>0,存在一个g∈C,使得』-8du<,则称可积函数可以用C 中的函数逼近 般测度空间上积分的逼近 定理1设(X,,)是一个测度空间,∫∈L(4)则对任意E>0,存在L()中的 简单函数g,使得-8d<6 证明设∫∈L(4).由§31推论10,存在一个简单函数列{n},使得{n}处处收敛 于∫,并且n|s/,n≥1.由于f可积,因此每个f都可积注意到n-f≤2f并 且fn-f→0(m→∞),利用控制收敛定理得到 n∫ 因此存在一个m,使得∫-/<6令g=f即知定理成立 Lebesgue积分的逼近设E是R中的L可测集.用L(E)表示E上的 Lebesgue可积函 数的全体 定理2设E是R"上的一个 Lebesgue可测集,∫∈L(E).则对任意E>0,存在R 上具有紧支集的连续函数g,使得∫|-g<E 证明设∫∈L(E).先设设∫=lA是特征函数,其中AcE并且m(A)<+∞.对任
112 §4.5 Lebesgue 可积函数的逼近 教学目的 本节考虑可积函数的逼近问题. 本节要证明几个关于积分的 逼近定理.主要是关于 Lebesgue 积分的逼近定理. 教学要点 Lebesgue 可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数 逼近. 由于连续函数具有较好的性质, 因此 L 可积函数的逼近性质在处理有 些问题时是很有用的.应通过例题和习题掌握这种方法. 设给定一个测度空间 (X , F ,µ), C 是可积函数类 L(µ) 的一个子类. 若对任意可积 函数 f ∈ L(µ) 和ε > 0, 存在一个 g ∈C , 使得 − µ < ε, ∫ f g d 则称可积函数可以用C 中的函数逼近. 一般测度空间上积分的逼近 定理 1 设(X , F ,µ) 是一个测度空间, f ∈ L(µ). 则对任意ε > 0, 存在 L(µ) 中的 简单函数 g, 使得 − µ < ε. ∫ f g d 证明 设 f ∈ L(µ). 由§3.1 推论 10, 存在一个简单函数列{ }, n f 使得{ }n f 处处收敛 于 f , 并且 f ≤ f , n ≥ 1. n 由于 f 可积, 因此每个 n f 都可积. 注意到 f f f n − ≤ 2 并 且 f − f → 0(n → ∞), n 利用控制收敛定理得到 lim 0. ∫ − = →∞ f n f dµ n 因此存在一个 , n0 使得 . 0 − µ < ε ∫ f n f d 令 n0 g = f 即知定理成立.■ Lebesgue 积分的逼近 设 E 是 n R 中的 L 可测集. 用 L(E) 表示 E 上的 Lebesgue 可积函 数的全体. 定理 2 设 E 是 n R 上的一个 Lebesgue 可测集, f ∈ L(E). 则对任意ε > 0, 存在 n R 上具有紧支集的连续函数 g, 使得 . E f g dx − <ε ∫ 证明 设 f ∈ L(E). 先设设 A f = I 是特征函数,其中 A ⊂ E 并且 m(A) < +∞. 对任
意E>0,由§23定理6,存在开集G和有界闭集F,使得 FCACG,使得 m(G-F)<E.由于F是有界集,因此存在半径充分大的开球U(0,r)使得FcU(0,r) 令B=(G∩U(0,r),则B是闭集并且F∩B=.由§3.3引理3,存在R"上的连续函 数g,使得g=1,gl=0.则g是R”上具有紧支集的连续函数注意到0≤8(x)≤1 我们有 ∫J-8ak=JJ-8dk+J∫-stk ≤m(E-A)+m(A-F) m(G-F)<a 般情形由定理1,存在(E)中的简单函数9,使得∫-9<设=∑1 不妨设a1≠0,则m(A)<+∞,i=1,…k.由上面所证的结果,对每个i=1,…k,存 在R"上具有紧集的连线函数g,使得∫|14-8(< 令g= 则 2k a 是R"上具有紧支集的连续函数.我们得到 ∫J-sdk=∫-o+J dx<=+ 8 设[ab]是直线上的有界闭区间称型如f=∑a,J1的函数为b]上的阶梯函数 其中J1,Jn为[a,6的互不相交的子区间.由于阶梯函数是有界可测函数,因此每个阶梯函 数属于La,b] 定理3设∫∈La,b.则对任意E>0,存在[a,b]上的一个阶梯函数g,使得 证明设∫∈L(E)类似于定理2的证明,我们不妨设∫=lA,其中Ac[a,b并且 m(A)<+∞.由§23例3,对任意E>0,存在开集U,U是有限个开区间的并集,使得 m(A-U)∪(U-A)<E.显然我们可以设Uc(a,b),令g=lu,则g是阶梯函数 并且
113 意 ε > 0, 由 §2.3 定 理 6, 存在开集 G 和有界闭集 F, 使 得 F ⊂ A ⊂ G, 使 得 m(G − F) < ε . 由于 F 是有界集, 因此存在半径充分大的开球U(0,r) 使得 F ⊂ U(0,r). 令 ( (0, )) , c B = G ∩U r 则 B 是闭集并且 F ∩ B = ∅. 由§3.3 引理 3, 存在 n R 上的连续函 数 g, 使得 = 1, F g = 0. B g 则 g 是 n R 上具有紧支集的连续函数. 注意到 0 ≤ g(x) ≤ 1, 我们有 ( )( ) ( ). E EA A EA AF f g dx f g dx f g dx g dx f dx mE A mA F mG F ε − − − −= −+ − = + ≤ −+ − ≤ −< ∫∫ ∫ ∫ ∫ 一般情形, 由定理 1, 存在 L(E) 中的简单函数ϕ, 使得 . 2 ε −ϕ < ∫E f dx 设 . 1 Ai k i i ∑a I = ϕ = 不妨设 ≠ 0, ai 则 ( ) < +∞, m Ai i = 1,", k. 由上面所证的结果, 对每个 i = 1,", k, 存 在 n R 上具有紧支集的连续函数 , gi 使得 . 2 A i i E i I g dx k a ε ∫ − < 令 , 1 ∑= = k i g ai gi 则 g 是 n R 上具有紧支集的连续函数. 我们得到 1 . 2 22 i E EE k i Ai E i f g dx f dx g dx a I g dx ϕ ϕ ε εε ε = −= −+− <+ − <+= ∫∫∫ ∑ ∫ ■ 设[a,b] 是直线上的有界闭区间. 称型如 i J n i i f ∑a I = = 1 的函数为[a,b] 上的阶梯函数, 其中 n J ,, J 1 为[a,b]的互不相交的子区间. 由于阶梯函数是有界可测函数, 因此每个阶梯函 数属于 L[a,b]. 定理 3 设 f ∈ L[a,b] . 则对任意 ε > 0, 存在 [a,b] 上的一个阶梯函数 g , 使得 . b a f g dx − <ε ∫ 证明 设 f ∈ L(E). 类似于定理 2 的证明, 我们不妨设 , A f = I 其中 A ⊂ [a,b]并且 m(A) < +∞. 由§2.3 例 3, 对任意ε > 0, 存在开集U, U 是有限个开区间的并集, 使得 m((A −U) ∪ (U − A)) < ε.. 显然我们可以设U ⊂ (a,b), 令 , U g = I 则 g 是阶梯函数. 并且
∫-8kh≤Jxm1-l=m4-0)+mU-小<e 定理4设∫∈L(R1).则对任意E>0,存在R上的一个具有紧支集的阶梯函数g 使得f-gtx<E 证明设∫∈L(R)类似于定理2的证明,我们不妨设f=IA,其中mA)<+0.令 A=A∩[-k,k]k=1,2,…则A↑并且A=UA.于是lmm(41)=m(A)因此对 任意E>0.,存在k使得m(4)-m4)<7令9=14则o∈L-kk由定理3,存 在[点A月上的阶梯函数g,使得广0-g<2延拓g的定义使得g在点上为 零.则g是为R上的具有紧支集的阶梯函数.我们得到 ∫-gh≤J∫-+J =m-m04)+广-g<2+2=6 下面是两个关于可积函数的逼近性质应用的例子 例1( Riemann- Lebesgue引理)设∫∈Ll,b则 lim f(x)cos ndx=0 lim f(x)sin ndx=0 证明先设∫=la,,其中(a,B)c[a,b]则 In n0-sinna f(x)cos nxx=)f(x)cos nxx →0.n→ 于是由积分的线性性知道对每个阶梯函数f∫,(1)式成立.现在设∫∈L[a,b]对任意 E>0.由定理3存在一个阶梯函数g使得-8<2由上面证明的结果存在 N>0,使得当n>N时,g(x)omhE于是当n>N时有 2 fo (f(x)-g(x)cosnxdx+ g(x)cos ndx I-gldx+5<E
114 ( )( ) ( ) ( ). b A U a AU U A f g dx I I dx m A U m U A −∪− ∫ ∫ − ≤ − = −+ −< ε ■ 定理 4 设 f ∈ ). 1 L(R 则对任意ε > 0, 存在 1 R 上的一个具有紧支集的阶梯函数 g, 使得 1 f g dx − <ε. ∫R 证明 设 f ∈ ). 1 L(R 类似于定理 2 的证明, 我们不妨设 , A f = I 其中 m(A) < +∞. 令 A = A∩[−k, k], k = 1,2,". k 则 Ak ↑ 并且 . 1 ∪ ∞ = = k A Ak 于是 limm(A ) m(A). k k = →∞ 因此对 任意ε > 0, 存在 0 k 使得 . 2 ( ) ( ) 0 ε m A − m Ak < 令 . 0 Ak ϕ = I 则ϕ ∈ L[−k, k]. 由定理 3, 存 在[−k, k] 上的阶梯函数 g, 使得 . 2 k k g dx ε ϕ − ∫ − < 延拓 g 的定义使得 g 在 c [−k, k] 上为 零. 则 g 是为 1 R 上的具有紧支集的阶梯函数. 我们得到 1 11 0 () ( ) . 2 2 k k k f g dx f dx g dx m A m A g dx ϕ ϕ ε ε ϕ ε − −≤ −+ − = − + − <+= ∫∫∫ ∫ R RR ■ 下面是两个关于可积函数的逼近性质应用的例子. 例 1 (Riemann-Lebesgue 引理)设 f ∈ L[a,b]. 则 lim ( )cos 0. b n a f x nxdx →∞ ∫ = (1) lim ( )sin 0. b n a f x nxdx →∞ ∫ = (2) 证明 先设 (α,β ) f = I , 其中(α, β ) ⊂ [a,b]. 则 sin sin ( )cos ( )cos 0, . b a n n f x nxdx f x nxdx n n − ∫ ∫ = = → →∞ β α β α 于是由积分的线性性知道对每个阶梯函数 f , (1)式成立. 现在设 f ∈ L[a,b]. 对任意 ε > 0, 由定理 3, 存在一个阶梯函数 g , 使得 . 2 ε − < ∫ b a f g dx 由上面证明的结果, 存在 N > 0, 使得当n > N 时, . 2 ( ) cos ε < ∫ b a g x nxdx 于是当 n > N 时有 ( )cos ( ( ) ( ))cos ( )cos . 2 bb b aa a b a f x nxdx f x g x nxdx g x nxdx f g dx ε ε ≤− + ≤ − +< ∫∫ ∫ ∫
因此(1)成立.类似地可以证明(2)成立 例2设∫是R”上的L可积函数,则 f(x+1)-f(x)rx=0 r→0JR" 证明先设∫是具有紧支集的连续函数.则存在闭球S(0,r),使得当xgS(0,r)时 ∫=0.由于∫在S(O,r)上连续,因此∫在S(O,r)上一致连续.因此对任意E>0,存在 6>0,使得当x,x"∈SO.n,d(x,x”)<0时,成立(x)-f(x")<.记 f(x)=∫(x+1).于是当d(0.1)<δ时,我们有 ∫D-dk=J1-d<Em0) 这表明当∫是具有紧支集的连续函数时(3)成立一般情形,由定理2,存在R”上的具有紧 支集的连续函数g,使得一图k<5,由上面所证,存在6>0,使得当 d(0,1)<6时,。g1-gx<2由41例4,有 厂U-sdk=J-gd< 于是当d(0,1)<δ时,我们有 ∫-nd≤JCM-gak+J月k-gk+J-d e 8 因此(3)成立■ 小结本节证明了几个关于积分的逼近定理主要是关于 Lebesgue积分的逼近定理。本 节的结果表明 Lebesgue可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数逼近.利用积分 的逼近定理,可以把一般可积函数的问题转化为比较容易处理的连续函数的问题例1和例2 说明了可积函数的逼近定理的典型方法 习题习题四,第40题一第42题
115 因此(1)成立. 类似地可以证明(2)成立. ■ 例 2 设 f 是 n R 上的 L 可积函数, 则 0 lim ( ) ( ) 0. n t f x t f x dx → ∫ +− = R (3) 证明 先设 f 是具有紧支集的连续函数. 则存在闭球 S(0,r), 使得当 x ∉ S(0,r) 时 f = 0. 由于 f 在 S(0,r) 上连续, 因此 f 在 S(0,r) 上一致连续. 因此对任意ε > 0, 存在 δ > 0, 使得当 x′, x′′∈ S(0,r), d(x′, x′′) < δ 时 , 成 立 f (x′) − f (x′′) < ε. 记 f (x) f (x t). t = + 于是当d(0,t) < δ 时, 我们有 (0, ) ( (0, )). n t t S r f −= −< f dx f f dx m S r ε ∫ ∫ R 这表明当 f 是具有紧支集的连续函数时,(3)成立.一般情形, 由定理 2, 存在 n R 上的具有紧 支集的连续函数 g , 使 得 . 3 n f g dx ε ∫ − < R 由上面所证 , 存 在 δ > 0, 使得当 d(0,t) < δ 时, . 3 n t g g dx ε ∫ − < R 由§4.1 例 4, 有 . 3 n n t t f g dx f g dx ε ∫ ∫ − = −< R R 于是当 d(0,t) < δ 时, 我们有 . 333 n n nn t tt t f f dx f g dx g g dx g f dx εεε ε −≤ − + −+ − <++= ∫∫ ∫∫ RR RR 因此(3)成立.■ 小 结 本节证明了几个关于积分的逼近定理.主要是关于Lebesgue积分的逼近定理. 本 节的结果表明 Lebesgue 可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数逼近. 利用积分 的逼近定理, 可以把一般可积函数的问题转化为比较容易处理的连续函数的问题.例1和例2 说明了可积函数的逼近定理的典型方法. 习 题 习题四, 第 40 题—第 42 题