S"1a:+S"32+…+S;扣,i (3-10) 式中 1,2 (3-11) 为对应于参数向量a的各分量的一阶灵敏度函数。 如果=[Aa,小,…n中的各分量A1都是很小的参数摄动量,也即,14《 a,则本法略而不计的仅是一些高阶微量,所以计算结果常能保持在工程计算要求的精度 范围之内。 2.没想把参数a进行一次函数变换 a=a4(B,B2BQ),i=1,2,…,r (3-12) 式中月,p…新的参数向量B全月,B2…B2的各元,一般,q。 于是,有 (t,a)=y(# ar y[r,a1(,B2,…,Ba),a2(B,B2y"B)…, r(B1,B2,…,,) 由多变量函数的复合求导法,可求得 a a ab1 aa 如+…a,aB1 ay aa ay, aa, aB2 aa, ◆、甲,中● 3-14) 2删+跳器+…+ 如果从y(,a)看,有关系式 d2+10++28n(61 而从(,a)=y[r,G(日,B2,…,Bp)]看,则有 =21:1D+4,BB+ [ta(Av,…)] dea 将式(314代入式(3-16),可得 dy aBr dB, F2+ aB dy aa, aa. ap1 ay, a aar ap2 aa ap2 1(就+m器 dy, aa Jdp. DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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(E微潮A (3-17) 或者,变换求和的次序,有 (222的 (2211) (3-18) 基于上述各关系式,一阶灵敏度函数法的其它特点探讨如下 (1)如果定义y对参数月的灵敏度函数为△;y对参数a的灵敏度函数定 义为S4,由式(3-17),有 aB dB 而由式(3-16),有 d=∑Sd Se1 比较以上两式,得关系式 ∑ 这个式子说明,系统变量y对两个具有任意函数关系式(3-12的参数的灵敏度函数之 间存在着相互转换的关系。 (2)出式(3-18)重新排列之,有 明 dB, ay 0002 I (3-20) 将此式与式(3-16)比较之,可见,系统变量由参数的变化而诱发的误差不论对参数·或 而言,都是一样的。换言之,系统变量由参数的变化而诱发的误差对参数的函数变换具有不 变性。 (二)几点结论 根据上述两点,可得以下两点极为重要且实用的结论 (1)可以设法通过某种函数变换,求得元个数较少的某个参数,以它来求得系统变量 的参数变异诱发误差,使得求的一阶灵敏度函数的个数尽量减少。 (2)如果已经找到组互有函数关系的系统参数,则可任选一组参数来讨论系统灵敏度 问题而仍保持所得结论的一般性。例如,由于系统的实际参数与把系统的数学模型化为典型 环节后的参数间有确定的函数关系,我们常对典型环节中的参数进行系统灵敏度讨论,这样 做常可带来不少方便。 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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例31设有系统的数学模型 a23(t)+1y()=1 其中,a=[a1a2]2为参数向量。 按物理机理建模时,实际参数是a=[a1]2。它与上述的“数学参数”a间的关系式 是 假设S"及S翻已求得,试求由于参数a1,a2变化所诱发的系统变量y的误差及S和 解由系统的微分方程,可解得系统变量y为 y=y(耳,4) 如果参数a由额定值发生变化,变为媽+擂=[a1+如,Aa2+a2x,则由它诱发的系 统变量y的误差为 dy oa 由于系统变量的误差对参数的函数变换保持不变性,所以,由实际参数诱发的系统变 量误差y必等于dy,即 4y=dy 为求S。及S,可按公式(3-19)直接计算。此时,有 a4, 由于a1=a1,a2=a1④,故 代入前式,得 S, =s41+ SP Sa,+a,s 同理 S=∑S4=∑ aa 0 S",=S:+S" aa, DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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应该指出,对高阶灵敏度函数法而言,除非参数的函数变换是线性变换,否则,系统变 量诱发误差的不变性不再存在。 第三节常用的灵敏度函数表达式 为了便于分析与计算系统灵敏度问题,常用以下三种不同的灵敏度函数:绝对灵敏度函 数,相对灵敏度函数及半相对灵敏度函数。下面以系统变量及参数皆为纯量的情况为例分述 、绝对灵敏度函数 定义3-3绝对灵敏度函数如果系统变量y与参数a的关系为 y=y(a) 则绝对灵敏度函数为 S無 d[y (a)] da (3-21) 式中a—参数a的额定值。 绝对灵敏度函数常用于进行理论研究。 相对灵教度函數 定义3-4相对灵敏度函数如果系统变量y与参数a的关系为 y=y(a) 则相对灵敏度函数为 3:A d(Iny)_dy/y d(lna) da a1ao (3-22) 相对灵敏度便于进行参数变异效应的比较,十分实用。 相对灵敏度具有类似对数的运算性质。例如,设有y1=y1(a)及y2=y2(a)两个函数关 系,研究两个函数相乘对a的灵敏虔函数n2,可得 "2|△da(x) dlna I.o d( y2) y 1 y, da da dy, y1-02+y2 a 22 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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I dy, I dy, y da dy:/y dy, /y, dayao dala lao (3-23) 也即,两个函数相乘的相对灵敏度函数等于两个函数自身相对灵敏度函数之和 上述结果说明,在系统灵敏度理论中,常可应用对数相对灵敏度频率特性,使计算工作 大为简化且形象化 三、半相对灵敏度画数 为了说明问题方便,有时应用以下两种半相对灵敏度函数S及S。它们的定义如下。 定义35半相对灵敏度函数如果系统变量y与参数a的关系为 y=y(a) 则两种半相对灵敏度函数分别为 dIn &0 2) dy dy y。da]s 及 dine (3-25) 式中,用下标“0”表示额定参数值a时的相应值 习题 3-1如果有关系式51=:(a,2=5:(a),试求相对灵敏度S台的表达式。 3-2如黑有关系式5=f(B),B=9(a),试求相对灵度S 28 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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