44短协方差矩险2.协方差矩阵设 n维随机变量(X,X,,,X,)的二阶混合中心矩C, =Cov(X,,X,)= E([X, -E(X,)I[X, - E(X,)]i,j=1,2,,n都存在,则称矩阵C11C12CinC21C22C2nC=Cnn)CnlCn2为n维随机变量的协方差矩阵
2. 协方差矩阵 设 n维随机变量(X1 , X2 , , Xn )的二阶混合 中心矩ij c i, j = 1,2, ,n都存在, {[ ( )][ ( )] = E Xi − E Xi X j − E X j Cov( , ) = Xi X j 则称矩阵 C = 为n维随机变量的协方差矩阵. n c c c 11 12 1 n c c c 21 22 2 n n nn c c c 1 2
44矩协方差矩防例如二维随机变量(X,X,)的协方差矩阵为C11C12C=C21C22其中 c11 = E([X, -E(X)}},C12 = E([X - E(X)][X, - E(X2)])C21 = E([X2 - E(X,)I[X, - E(X)]);C22 = E([X, - E(X,)]’}.由于 c= Cj(i,j =1,2,,n),所以协方差矩阵为对称的非负定矩阵K
例如 = 21 22 11 12 c c c c C 二维随机变量(X1 ,X2 )的协方差矩阵为 其中 11 c {[ ( )] }, 2 E X1 − E X1 = 12 c 21 c 22 c = = = {[ ( )][ ( )]}, E X1 − E X1 X2 − E X2 {[ ( )][ ( )]}, E X2 − E X2 X1 − E X1 {[ ( )] }. 2 E X2 − E X2 阵为对称的非负定矩阵. c c (i, j 1,2, ,n) , 由 于 ij = ji = 所以协方差矩