广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第五章 大数定律及中心极限定理 5.2 中心极限定理

第五章大数定律及中心极限定理第二节中心极限定理一、问题的引入二、 基本定理三、典型例题四、小结概率论与数理统计（第4版）

第二节 中心极限定理 一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题 四、小结

5.2中心极限定理一、问题的引入实例：考察射击命中点与靶心距离的偏差这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和，这些因素包括：瞄准误差、测量误差子弹制造过程方面（如外形、重量等）的误差以及射击时武器的振动、气象因素（如风速、风向、能见度、温度等）的作用，所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的，并且它们中每一个对总和产生的影响不大

一、问题的引入 实例: 考察射击命中点与靶心距离的偏差. 这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小 误差的总和, 这些因素包括: 瞄准误差、测量误差、 子弹制造过程方面 (如外形、重量等) 的误差以及 射击时武器的振动、气象因素(如风速、风向、能 见度、温度等) 的作用, 所有这些不同因素所引起 的微小误差是相互独立的, 并且它们中每一个对总 和产生的影响不大

5.2中心极限定理问题：某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的，其概率分布情况如何呢？

其概率分布情况如何呢？ 问题: 某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的 随机变量相加而成的

5.2中心极限定理二、 基本定理定理一（独立同分布的中心极限定理）设随机变量X,X,，·…,X，…相互独立,服从同一分布，且具有数学期望和方差：E(X,)=μ，D(X)=α2>0 (k=1,2,),则随机变量之和的ZX-EZEx,-nμXkk=1K一k=l标准化变量Y.=ngXkDk=K

            − =    = = = n k k n k k n k k n D X X E X Y 1 标准化变量 1 1   n X n n k  k − =1 = 二、基本定理 定理一（独立同分布的中心极限定理） , 设随机变量X1 ( ) 0 ( 1,2, ), D Xk =  2  k =  同一分布, , X2  , Xn , 相互独立, 服从 且具有数学期望和方差： ( ) =  , E Xk 则随机变量之和的

5.2中心极限定理的分布函数F（x）对于任意x满足Zx--nμk=1limF,(x) = lim P≤xn-8n-→00Vng2dt = dΦ(x)12元定理一表明：当n→，随机变量序列Y,的分布函数收敛于标准正态分布的分布函数

的分布函数Fn (x) 对于任意x满足 − x − t e dt 2π 1 2 2                 − = → x n X n P n k k n   1 limFn (x) lim n→ Φ( x). = = = 定理一表明: 于标准正态分布的分布函 数. 当n → , 随机变量序列Yn 的分布函数收敛