一、主要定理和定义1.两个主要定理：定理一如果函数 f(z)在单连通域B 内处处解析那末积分(f(z)dz 与连结起点及终点的路线C 无关.由定理一可知：解函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关，（如下页图）G2:44:26
一、主要定理和定义 定理一 ( ) , ( )d . C f z B f z z C 如果函数 在单连通域 内处处解析 那末积分 与连结起点及终点的路线 无关 由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点和 终点有关, (如下页图) 1. 两个主要定理:
如果起点为Zo,终点为zl，BB5Z.010CCf(z)dz=[ f(z)dz=[ f(z)dz20C牛如果固定 zo,让 z, 在B内变动,并令 zi= z,便可确定 B 内的一个单值函数 F(z)= ~f()dVG2:44:26
B B 0 z 1 z 0 z 1 z C1 C2 C1 C2 0 1 如果起点为 , , z z 终点为 = 1 2 ( )d ( )d C C f z z f z z = 1 0 ( )d z z f z z 0 1 1 如果固定 , , , z z B z z 让 在 内变动 并令 = 0 ( ) ( )d . z z B F z f = 便可确定 内的一个单值函数
定理二如果函数,f(z)在单连通域B 内处处解析那末函数 F(z)=(~f()d 必为 B 内的一个解析函数,并且 F'(z)= f(z)证禾利用导数的定义来证设z为B内任一点B以z为中心作一含于B 内的小圆K,VG2:44:26
0 ( ) , ( ) ( )d , ( ) ( ). z z f z B F z f B F z f z = = 如果函数 在单连通域 内处处解析 那末函数 必为 内的一个解 析函数 并且 定理二 证 利用导数的定义来证. B 设 , z B 为 内任一点 z , z B K 以 为中心作一含于 内的 小圆 K
取 [△zl 充分小使 z+△z 在 K 内,由 F(z) 的定义,F(z+△z)-F(z)={2+" f()d - (" f()dg由于积分与路线无关z+Azf(S)d的积分路线可先取z到z20(注意:这一段与f(S)ds的4B路线相同）SZ0然后从z沿直线到z+△zVG2:44:26
B z K 取 , + z z z K 充分小使 在 内 z + z F(z + z) − F(z) = − + z z z z z f f 0 0 ( )d ( )d 由于积分与路线无关, 0 0 ( )d , z z z f z z + 的积分路线可先取 到 然后从 z 沿直线到 z + z, 0 z • 0 ( : ( )d ) z z f 注意 这一段与 的 路线相同 由 ( ) , F z 的定义
Z+Az于是 F(z+z)-F(z)=f()dsPz+Az3+A2因为f(z)d =f(z)d = f(z)Az,F(z+ △z) -F(z)所以f(z)zf()d-f(z)AzJBS17+47Z0[f() - f(z)]dsAz.OG2:44:26
于是 ( ) ( ) F z z F z + − = ( )d , z+z z f ( )d z z z f z + = 因为 z+z z f (z) d = f (z)z, B z K z + z 0 z • ( ) ( ) ( ) F z z F z f z z + − − 所以 ( )d ( ) 1 f f z z z z z − = + [ ( ) ( )]d 1 f f z z z z z − = +