多连域中复势的一般形式函数()和V(z)在多连通域中可能是多值的。而应力和位移总是单值的。如何选择这些复变函数，保证应力和位移的单值性？考察如图3-2所示多连通体，先考虑仅有一个内边界s 和一个外边界sm+1的情形。1应力单值条件由式(3-8) α, +α,=4Re()知, Pi(z)的实部单值。 虚部可多值。绕Sk一周，虚数增量为2元Ai考察Akln（z-z，其中zZk是边界sh之外的任意一点A, In(z - z) = A, In(I z- zk lei0)= A, Inz -z| + A,i烧一周后，右边有增量2元iAk。令Pi(z) = A, ln(z - zk) + P*(z)
多连域中复势的一般形式 1 ( )z 1 函数 和 ( )z 在多连通域中可能是多值的。而应力 和位移总是单值的。如何选择这些复变函数，保证应力 和位移的单值性？考察如图3-2所示多连通体，先考虑仅 有一个内边界s k和一个外边界sm+1的情形。 1 应力单值条件 k s 一周，虚数增量为 由式(3-8) 1 4Re ( ) y x + = z 知， 1 ( )z 的实部单值。虚部 可多值。绕 考察Ak ln (z-zk )，其中zk是边界sk之外的任意一点。 ln( ) ln | | ln ( ) i A z z A z z e A z z A i k k k k k k k − = − = − + 绕sk一周后，右边有增量 2 k iA 。令 1 1* ( ) ln ( ) z A z z z = − + k k ( ) (1) 2 Aik
式中%()全纯。积分，得(2)= A [(z-zk)In(z -zk)-(z-zk)]+ ( pit(z)dz +常数(2)Zo为弹性体内的任选定点，如图3-2所示。[ Pi(z)dz=c, ln(z-zk)+全纯函数。代入式(2)，并将-Aln (z-z)与SetCkln(z-z合并写成 In(z-zk)， 即得0-0O=P(z) = A,zln(z - zk)0-(3)+ Yk In(z - zk) +P1*(z),0其中P*（)全纯。Yk为复常数。xX图3-2
积分，得 x y 1 z 0 z 2 z k z m z 1 s 2 s k s m s N m 1 s + 图3-2 o z0为弹性体内的任选定点，如图3-2所 示。 * 0 1 ( )d ln( ) z k k z z z c z z = − +全纯函数。 代入式(2)，并将-Ak zk ln (z-zk )与 ck ln(z-zk )合并写成 ln( ) k k z z − ，即得 其中 1* ( )z 全纯。 k 为复常数。 1 1 ( ) ln( ) ln( ) ( ), k k k k z A z z z z z z = − + − + (3) 0 1 1* ( ) ( )ln( ) ( ) ( )d z k k k k z z A z z z z z z z z = − − − − + + 常数. (2) 式中 ( ) 全纯。 ' 1* z
又由式(3-9) -,+2it,=2[p(z)+yi(z)] 可知，函数y(2)在多连域全纯。类似地(4)Vi(z) = rh ln(z- zk) +y*(2)k为复常数，1(2)全纯。2 位移单值条件位移单值对9()及y(2)的要求。 将3.2.1 中的(1)、(3)、(4)三式代入式(3-10）有E3-v0(2) -z0(2) -V(2)u+iv1+v-V3-VA,z ln(z -zk)+ n(z -zk)+ Pix(2)(u+iv)1+1-zA, In(z -z)+p(2) /- Y, ln(z-zk)+u(2)
k 为复常数， ( ) 1 z 全纯。 又由式(3-9) 2 y x xy − + = i 2 ( ) ( ) z z z 1 1 + 可知，函数 1 ( )z 在多 连域全纯。类似地 2 位移单值条件 位移单值对 1 ( )z 1 及 ( )z 的要求。将3.2.1中的(1)、(3)、(4) 三式代入式(3-10)有 ' 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 E u iv z z z z − + = − − − + 1 3 ( ) ln( ) ln( ) ( ) 1 1 k k k k k E u iv A z z z z z z − + = − + − + − + ' ' 1 1 ln( ) ( ) ln( ) ( ) k k k k k − − + − − + z A z z z z z z 1 1* ( ) ln( ) ( ) k k z z z z = − + (4)
当z绕Sk一周后，增量为3(2元iA,=+2元i)+2元izA +2元i,=2元|3-1+1Az+-V+241+V1+V令增量为零，即3-VYk+X=0A=0，且(5)1+V3有限多连域的复势确定应力函数(3)和(4)式中的复常数及，需将式(3-11)应用于整个内边界S，积分一周得，(2)+ zp(2) +V(2) =i(Fx, +iF,(6)V+是Sk上面力主矢量。z沿S绕行的方向必须是顺时针
当z绕sk一周后，增量为： 3 ' (2 2 ) 2 2 1 k k k k iA z i izA i − + + + + 3 3 2 1 1 1 k k k i A z − − = + + + + + 令增量为零，即 3 有限多连域的复势 确定应力函数(3)和(4)式中的复常数 k k 及 ,需将式(3-11) 应用于整个内边界sk ,积分一周得, k k F iF x y + 是sk上面力主矢量。z沿sk绕行的方向必须是顺时针 Ak = 0 , 且 3 0 1 k k − + = + (5) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k x y s z z z z i F iF + + = + (6)
转向（使外法线向右），将式(1),(3)(4)代入式(6)得-2元i(-)=i(Fx, +iF,(7)由式(5)及式(7)求得1+v3-F+iFFA = 0, Yk二ykXkYK本8元8元将它们代入式(3)及式(4)，得I+v≥(F, +iF, )n(2-z)+9.(2),0(2) =8元k-l(3-13)3-VZ(F, -iF,)n(2-z)+V(2)V;(2)=8元k=l式中*(2）、(z)在多连域全纯
转向（使外法线向右），将式(1),(3),(4)代入式(6)得 由式(5)及式(7)求得 ( ) ( ) 1 3 0, , 8 8 k k k A F iF F iF k k x yk k x y + − = = − + = − 将它们代入式(3)及式(4)，得 2 ( ) ( ) k k k k x y − − = + i i F iF (7) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ln ( ), 8 3 ( ) ln ( ). 8 k k k k m x y k k m x y k k z F iF z z z z F iF z z z = = + = − + − + − = − − + (3-13) 式中 1* (z) 、 1* (z)在多连域全纯