果第三章复变函数的积分$ 3.1复变函数的积分$ 3.2柯西积分定理$ 3.3柯西积分公式$ 3.4解析函数的高阶导数
第三章 复变函数的积分 §3.1 复变函数的积分 §3.2 柯西积分定理 §3.3 柯西积分公式 §3.4 解析函数的高阶导数
83.1复变函数的积分果一、复变函数积分的定义定义 3.1设函数の=f(z)在C上连续,C为复平面上以A为起点B为终点的有向光滑(或逐段光滑)曲线将C任意分成n个弧段，设分点为：A=Z0,21,22....Zk-1,k....Zn = BBJ在每个弧段 Zk-1kZ1Zkk上任取一点Sk,作和Zk-1S, =f(Gk)(zk- zk-1)Ak=12ZoZf(5)Azk0xk=1
§3.1复变函数的积分 一、复变函数积分的定义 定义 3.1 设函数 = f z( ) 在C上连续，C为复平面上 以A为起点B为终点的有向光滑(或逐段光滑)曲线， O x y A B 将C任意分成 n 个弧段，设分点为： 0 z 1 z 2 z k 1 z − k z n z 0 1 2 1 , , , , , k k n z z z z z z A = − = B 在每个弧段 k k 1 z z − 上任取一点 , k k 作和 1 1 ( )( ) n n k k k k s f z z − = = − 1 ( ) n k k k f z = =
其中△z=zzk-1，记△s,为zk-k的弧长，若不论盅对C的分法如何取法如何，只要=max{△sk}→0Sn都有相同的极限,则称此极限为f(z)在C上的积分(cf(z)dz, 即记为nZf()Azkc f(z)dz = lim1→0k=1fcf(z)dz若C为闭曲线时，记为
其中 1 , k k k z z z = − − 记 k k k 1 s z z 为 − 的弧长，若不论 对C的分法如何， k 取法如何， 1 max k k n s 只要 = → 0 n s 都有相同的极限，则称此极限为f (z)在C上的积分 记为 ( ) , c f z dz 即 0 1 ( )d lim ( ) n k k C k f z z f z → = = 若C为闭曲线时，记为 ( )d c f z z
二、积分的存在性及其计算果设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在逐段定理3.1光滑的曲线C上连续，则f(z)在C上的积分存在，[ cf(z)dz =[ cudx - vdy+if vdx + udy将曲线C任意分成n个弧段，设分点为证明Zk = X +iyr(k = 0,1,..",n) 则Nzk = zk - zZk-1 = △xk + iAyk在每个弧段上任意取点Sk=k+ink(k=1,2,,n)并记入为n个弧段长度的最大值，则
二、积分的存在性及其计算 定理3.1 设函数 f z u x y v x y ( ) ( , ) i ( , ) = + 在逐段 光滑的曲线C上连续，则 f (z)在C上的积分存在， ( ) i c c c f z dz udx vdy vdx udy = − + + 证明 将曲线 C 任意分成 n 个弧段， 设分点为 i ( 0,1, , ) k k k z x y k n = + = 则 1 i k k k k k z z z x y = − = + − 在每个弧段上任意取点 i ( 1,2, , ), k k k = + = k n 并记λ为n 个弧段长度的最大值，则
Zf(sk).Azklim果1→>0k=11Z[u(sk,nk) + iv(sk,nk)].[Ax +iAya]= lim1-→0k=1Z[u(5k,nk)Axk -v(5k, nk)Ayk]= lim元→0k=l+i2[v(5k,nk)Ax +u(5k,nk)Ay ]k=1由,f()的连续性知,u(x,J)、v(x,J)也是连续的,这样上述等式右边的两个和式的极限存在（正好是第二类曲线积分)，从而左边极限也存在，此即为(f(2)dz, 所以Jef (z)dz = J,udx- vdy +if, vdx + udy
( ) 0 1 lim n k k k f z → = ( ) ( ) 0 1 lim , , n k k k k k k k u iv x i y → = = + + ( ) ( ) 0 1 lim , , n k k k k k k k u x v y → = = − 第二类曲线积分)， 由 f (z)的连续性知，u(x , y) 、v(x , y)也是连续的， 这样上述等式右边的两个和式的极限存在（正好是 从而左边极限也存在，此即为 ( )d , c f z z ( ) ( ) 1 i , , n k k k k k k k v x u y = + + 所以 ( ) c c c f z dz udx vdy i vdx udy = − + +